Комплексные числа

Комплексные числа – это числа вида , где – действительные числа, – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению . — комплексное число, действительной частью которого является вещественное число, а мнимой частью – вещественное число . Комплексные числа являются расширением действительных (вещественных) чисел.

Сложение комплексных чисел

Пример 1

Сложить два комплексных числа  , 

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса:   – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

Найти разности комплексных чисел   и  , если  , 

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная:  . Для наглядности ответ можно переписать так:  .

Рассчитаем вторую разность:

Здесь действительная часть тоже составная: 

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью:  . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел   , 

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что   и быть внимательным.

Повторим, omg, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что 

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство:  .

В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.

Деление комплексных чисел

Пример 4

Даны комплексные числа  ,  . Найти частное  .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем бородатую формулу   и смотрим на наш знаменатель:  . В знаменателе уже есть  , поэтому сопряженным выражением в данном случае является  , то есть 

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на  , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число  :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой   (помним, что  и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:

Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде  .

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел:  . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы:  . Для любителей порешать приведу правильный ответ: 

Редко, но встречается такое задание:

Пример 5

Дано комплексное число  . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме  ).

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу  . В знаменателе уже есть  , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение  , то есть на  :

Пример 6

Даны два комплексных числа  ,  . Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Выполнить действия над комплексными числами: 

1.421.  (2+3i)(3−i).

1.424. (2i−i²)²+(1−3i)²

Предмет теории вероятностей и математической статистики.

Роль теории вероятностей в экономических исследованиях

Теория вероятностей – специальный раздел курса высшей математики,занимающийся изучением математических закономерностей массовых однородных случайных явлений. Следует особо подчеркнуть, что методы теории вероятностей по самой своей природе не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.

Методы теории вероятностей широко используются в экономике, в теории надежности, теории информации, теории массового обслуживания, в теории принятия решений, в физике, астрономии и др. дисциплинах. Теория вероятностей лежит в основе математической статистики, которая, в свою очередь, используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, контроле качества продукции и т.д. Математическая статистика – наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для осуществления научно обоснованных прогнозов и практических рекомендаций.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Пример – лед плавится при температуре выше нуля. (Приведите примеры еще)

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет при выполнении определенной совокупности условий. Пример – лед не может существовать при 100 градусах Цельсия, Земля не может без влияния извне прекратить свое вращение.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий может произойти, либо не произойти. Пример – выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости, попадание снаряда в цель, выход из строя технического устройства, получение определенной прибыли фирмой и т.п.

Объектами изучения теории вероятностей и математической статистики являются именно случайные события, величины и функции, которые характеризуют рассматриваемое случайное явление. Случайное событие характеризуется определенной вероятностью его наступления. Под вероятностью понимается числовая мера степени возможности появления данного события при определенных условиях.

Каждое случайное событие есть следствие очень многих причин, учесть влияние которых на результат очень сложно (а часто и невозможно). Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие, или нет, а лишь выявляет определенные закономерности появления какого-либо результата в большом числе испытаний.

Принципиально важным структурным компонентом курса ТВ и МС является набор типовых схем взаимодействия случайных событий. Они позволяют получить соотношения для вероятностей прикладных ситуаций (схема Бернулли, схема Байеса).

Определение вероятностей конкретных событий является отдельной проблемой ТВ. За исключением особо простых случаев, когда вероятность может быть определена исходя из соображений симметрии или здравого смысла, как правило, используется частотный подход, позволяющий подсчитывая частоту наступления случайного события, судить о его вероятности. При этом предельные теоремы ТВ устанавливают возможные границы ошибки.

Еще одним важным структурным компонентом ТВ являются случайные величины. Случайные величины характеризуются законами распределения, которые связывают значение случайной величины с ее вероятностью. Это позволяет установить закономерности изменения случайных величин в различных типовых ситуациях. Такие закономерности отображают функция распределения вероятности случайной величины и плотность вероятности случайной величины.

Примером такой закономерности является так называемый нормальный закон распределения случайных величин (закон Гаусса).

В прикладном аспекте основные закономерности ТВ используются в математической статистике. Одним из основных в МС является понятие генеральной совокупности – полной численной характеристики исследуемых объектов, а также понятие выборки – частичной, достаточной для практики, совокупности данных (пример 1 – проверить знание студента – спросить все 80 вопросов (генеральная совокупность) или ограничиться 3-5 (выборка); другой пример – необходимо оценить процент бракованных спичек в продукции спичечной фабрики).

Математическая статистика оперирует также с оценками законов распределения случайных величин, выявляя такие характеристики, как математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия (разброс), а также занимается решением прикладных задач, которые позволяют, в частности, оценить вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал значений.

Математическая статистика, используя специальный математический аппарат регрессионного и корреляционного анализа, помогает установить форму зависимости результативного признака от параметров и оценить степень их важности и взаимосвязи. Крайними (предельными) случаями в этом плане являются некоррелированные (несвязанные) и функционально связанные величины.

Возникновение теории вероятности, как науки, было обусловлено потребностью практики. Формирование интереса к задачам, связанным с вероятностями, происходило не только в связи с азартными играми в кости и карты (Паскаль, Ферма). Задачи на вычисление вероятностей ставили начавшее развиваться страховое дело, службы по изучению статистики народонаселения, которые нуждались в теоретически обоснованных методах обработки наблюдений. Таким образом, в начале семнадцатого века, под влиянием возникающих новых экономических отношений и новых научных проблем начала формироваться наука, изучающая:

ü особого рода законы, которым подчиняются случайные величины;

ü свойства случайных массовых событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий и т.д.

Традиционные методы теории вероятностей и математической статистики – теория оценивания и проверки гипотез, лежат в основе эконометрики, которая устанавливает и исследует количественные закономерности и взаимозависимости в экономике. Эконометрика позволяет строить экономические модели и оценивать их параметры, проверять гипотезы о свойствах экономических показателей и формах их взаимосвязи, что служит основой для экономического анализа и прогнозирования и создает возможность принятия обоснованных экономических решений.

Следует отметить, что используемые в менеджменте методы теории принятия решений, также базируются на ТВ и МС. В управлении приходится иметь дело с явлениями, на которые оказывает влияние множество факторов, не поддающихся строгому учету и контролю. Влияние этих факторов вызывает некоторый неконтролируемый разброс (случайное рассеяние) количественных признаков, будь то качество продукции, производительность технологической линии, объем валовой продукции предприятия, продолжительность какой-либо технологической операции или заработок отдельных рабочих.

Объективное суждение менеджера о закономерностях такого рода стохастических или вероятностныхпроцессов, выбор и обоснование решения возможны лишь на основе вероятностно – статистического анализа исследуемого явления.

Приведем лишь два примера использования ТВ и МС в менеджменте.

Формирование оптимального портфеля ценных бумаг. В портфель могут входить акции, облигации, депозитные сертификаты, недвижимость и т.п. Главная цель в формировании портфеля состоит в достижении оптимального сочетания между риском и доходом инвестора, т.е. в снижении до минимума риска потерь и максимизации дохода (Гарри Марковиц – Нобелевская премия по экономике). Решение данной задачи может быть получено только при использовании аппарата ТВ – стандартного отклонения ставок дохода по портфелю (ассоциируется с риском портфеля) и матрицы ковариации

Принятие решений в условиях неопределенности. Решение может приниматься на основе максимизации наиболее вероятных доходов.

Например, пусть фирма поставляет на рынок и продает некоторый скоропортящийся продукт. Фирма может продать от 1 до 5 единиц товара.

Количество единиц товара, закупаемого в день

Частота

Относительная частота (вероятность) 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

Максимальный доход (прибыль) 0,6 1,2 1,8 2,4 3,0

На основании анализа вероятностей и величины дохода менеджер может принять решение о поставке на рынок 4 единиц товара.