Урок – лекция по теме «Комплексные числа и операции над ними»

Цель данной работы познакомить учащихся с понятием комплексного числа; рассмотреть основные действия над комплексными числами.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Урок – лекция по теме «Комплексные числа и операции над ними»»

Урок – лекция по теме «Комплексные числа и операции над ними»

Цель урока: познакомить учащихся с понятием комплексного числа; рассмотреть основные действия над комплексными числами.

Задачи урока.

Образовательные:

Ввести понятие комплексного числа.
Показать алгебраическую и тригонометрическую формы комплексного числа.
Рассмотреть геометрическую интерпретацию комплексных чисел.
Познакомить с действиями над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах.

Развивающие:

Развивать мышление в процессе выполнения практических заданий.
Развивать пространственные представления.

Воспитывающие:

Воспитывать культуру записей в тетради.
Воспитывать аккуратность, усидчивость, внимательность в процессе прослушивания лекции.

Тип урока: обзорная лекция.

План урока.

Организационный момент.
Изложение материала.
Домашнее задание.
Подведение итогов урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Изложение материала.

1. Мотивация.

Расширение множества вещественных чисел состоит в том, что к действительным числам присоединяются новые числа (мнимые). Введение этих чисел связано с невозможностью во множестве действительных чисел извлечения корня из отрицательного числа.

2. Введение понятия комплексного числа.

Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i ² = - 1.

Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b - действительные числа. При этом выполняются условия:

а) Два комплексных числа a₁ + b₁i и a₂ + b₂i равны тогда и только тогда, когда a₁=a₂, b₁=b₂.

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

(a₁ + b₁i) + (a₂ + b₂i) = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) i.

в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

(a₁ + b₁i) (a₂ + b₂i) = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂ - a₂b₁) i.

3. Алгебраическая форма комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i = a.

Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi: 0 + bi = bi.

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

1) Сложение.

Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1 i и z2 = a2 + b2 i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел z1 и z2 , то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.

Числа z1 и z2 называются слагаемыми.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. Ассоциативность: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).

3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Вычитание.

Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 = z1.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственна.

Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Умножение.

Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2 i называется комплексное число z, определяемое равенством:

z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1) i.

Числа z1 и z2 называются сомножителями.

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z1z2 = z2z1.

2º. Ассоциативность: (z1z2)z3 = z1(z2z3)

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

(z1 + z2) z3 = z1z3 + z2z3.

4º. z · = (a + bi) (a – bi) = a² + b²- действительное число.

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2 5 – 3 (- 7)) + (2 (- 7) + 3 5)i =

= (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2 5 + 2 (- 7i) + 3i 5 + 3i (- 7i) =

= 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Деление.

Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z₁ = a₁ + b₁i, z₂ = a₂ + b₂i, тогда

+ .

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное .

1 способ. .

2 способ. .

5) Возведение в целую положительную степень.

а) Степени мнимой единицы.

Пользуясь равенством i² = -1, легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:

i³= i²i = -i,

i⁴= i²i² = 1,

i⁵ = i⁴i = i,

i⁶= i⁴i² = -1,

i⁷= i⁵i² = -i,

i⁸ = i⁶i² = 1 и т. д.

Это показывает, что значения степени iⁿ, где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

Пример 5. Вычислите: (i ³⁶ + i ¹⁷) · i ²³.

i ³⁶ = (i ⁴)⁹= 1 ⁹ = 1,

i ¹⁷= i ⁴^⁴⁺¹ = (i ⁴)⁴ i = 1 · i = i.

i ²³ = i ⁴^⁵⁺³ = (i ⁴)⁵ i³ = 1 · i³ = - i.

(i ³⁶ + i ¹⁷) · i ²³ = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.

Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) ³

(4 + 2i) ³= 4 ³ + 3 4² 2i + 3 4 (2i)² + (2i)³ = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

5. Геометрическое изображение комплексных чисел.

а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b) (рис.1).

Рисунок 1

б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).

Рисунок 2

Пример 7. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; - i; - 1 + i; 2 – 3i (рис.3).

Рисунок 3

6. Тригонометрическая запись комплексных чисел.

Комплексное число z = a + bi можно задать с помощью радиус – вектора с координатами (a; b) (рис.4).

Рисунок 4

Определение. Длина вектора , изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается или r.

Для любого комплексного числа z его модуль r = | z | определяется однозначно по формуле .

Определение. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Аrg z или φ.

Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк, где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π; π], то есть -π arg z ≤ π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0; 2π)).

a = r · cos φ, b = r · sin φ.

Следовательно, комплексное число z = a + bi можно записать в виде:

z = r · cos φ + i r · sin φ или z = r · (cos φ + i sin φ).

Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа.

Пример 8. Представить в тригонометрической форме комплексное число 1– i.

a = 1, b = -1.

φ = .

1 – i = (cos + i sin ).

7. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

1) Умножение.

Пусть два числа заданы и в алгебраической и в тригонометрической формах:

z₁= a₁ + b₁i = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁), z₂ = a₂ + b₂i = r₂ (cos φ₂ + i sin φ₂).

На основании исходного определения правила умножения и формулы косинуса и синуса суммы получаем:

z_1·z₂ = r_{1 ·}r₂ (cos (φ₁ + φ₂) + i sin (φ₁ + φ₂)); r_{1 ·}r₂0.

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z₁z₂ = z₂z₁

2º. Ассоциативность: (z₁z₂) z₃ = z₁ (z₂ z₃).

Пример 9. Найти произведение комплексных чисел z₁ = 2cos 50º + 2 i sin 50º,

z₂ = cos 40º + i sin 40º.

Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

z₁ = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z₂ = 1· (cos 40º + i sin 40º).

Тогда z₁· z₂ = 1· 2 · (cos (50º + 40º) + i sin (50º + 40º)) = 2(cos 90º + i sin 90º) = 2(0 + i) = 2i.

2) Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

Деление в поле комплексных чисел на числа, отличные от нуля, всегда выполнимо. Если числа z₁ и z₂ заданы в тригонометрической форме

z₁ = r₁ (cos φ₁ + i sin φ₁), z₂ = r₂ (cos φ₂ + i sin φ₂), причем z₁≠ 0, то комплексное число = [cos (φ₂ - φ₁) + i sin (φ₂- φ₁)] является частным чисел z₁ и z₂(то есть z₁y = z₂).

Пример 10. Найти частное комплексных чисел z₁ = 2cos 50º + 2 i sin 50º,

z₂ = cos 40º + i sin 40º.

Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

z₁ = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z₂ = 1· (cos 40º + i sin 40º).

Тогда (cos (50º - 40 º) + i sin (50º - 40º)) = 2(cos 10º + i sin 10º).

3) Возведение в степень.

Определение. n – ой степенью комплексного числа z называется комплексное число, получающееся в результате умножения числа z самого на себя n раз.

Число z называется основанием степени, а натуральное число n – показателем степени.

Возвести комплексное число в n – ую степень можно по формуле:

z ⁿ = (r ⁿ) [cos (nφ) + i sin (nφ)].

Эту формулу при r =1 часто называют формулой Муавра:

(cos φ + i sin φ) ⁿ = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N.

Пример 11. Вычислите (1 + i)¹⁰⁰.

Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.

a = 1, b = 1.

.

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i)¹⁰⁰= [(cos + i sin)]¹⁰⁰= ()¹⁰⁰(cos·100 + i sin·100) = = 2⁵⁰(cos 25π + i sin 25π) = 2⁵⁰(cos π + i sin π) = - 2⁵⁰.

4) Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

При извлечении квадратного корня из комплексного числа a + bi имеем два случая:

если b о, то ;

если b , то .

Так как из комплексного числа всегда можно извлечь квадратный корень, то любое квадратное уравнение всегда будет иметь решения во множестве комплексных чисел. Решения квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 можно найти по известной формуле: .

Пример 12. Вычислите .

Так как b , то воспользуемся формулой

= = .

= ,

= .

III. Домашнее задание.

Дома учащимся предлагается выполнить задание на повторение и закрепление пройденного материала.

Вариант 1.

1. Выполните действия.

а) ;

б) ;

в) .

2. Решите уравнения.

а) x²– 4x + 5 = 0;

б) y³ – 6y + 9 = 0.

Вариант 2.

1. Выполните действия.

а) ;

б) ;

в) .

2. Решите уравнения.

а) x²+ 6x + 12 = 0;

б) y³ – 12y + 16 = 0.

IV. Подведение итогов урока.