Урок по теме "Комплексные числа"

Комплексные числа

Комплексные числа

Комплексные числа

«Комплексные числа – это пре-красное и чудес-ное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием». Г. Лейбниц

Комплексные числа

Цели урока.

• Ознакомиться с историей возникновения комплексных чисел.
• Ввести основные понятия.
• Изучить простейшие действия над комплексными числами.
• Рассмотреть геометрическое изображение комплексных чисел.
• Решать квадратные уравнения

1. Историческая справка

Впервые мнимые величины появились в работе Дж. Кардано « Великое искусство, или об алгебраических правилах » в 1545 году.

Пользу мнимых чисел при решении кубических уравнений впервые оценил итальянский ученый Р. Бом б елли (1572).

Символ i предложил российский ученый

Л. Эйлер (1777, опубликовано1794).

Задача о выражении степени n из комплексного числа была в основном решена в работах английских ученых А. Муавра (1707, 1724) и Р. Котеса (1722).

Термин « комплексное число » ввел французский ученый Л. Карно (1803).

В употребление термин вошел после работ К. Гаусса (1831).

Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе датского ученого К. Весселя (1799).

Геометрическое представление комплексных чисел называют иногда « диаграммой Аргана » в честь швейцарского ученого Ж. Аргана.

Историческая справка.

• Впервые компле-ксные числа поя-вились в работе Джероламо Кардано «Великое искусст-во, или об алгеб-раических прави-лах» в 1545 году.

Историческая справка.

Леонард Эйлер - математик, академик Петербургской акаде-мии наук. В его трудах многие математичес-кие формулы и симво-лика впервые получают современный вид (ввел обозначения e ,  , i )

imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы).

1777 (в печати 1794)

Абрамах Муавр ( Moivre) (1667 – 1754)

• Абрахам Муавр – английский математик. Муавр нашел (1707) правила возведения в n – ю степень и извлечения корня n – й степени для комплексных чисел.

Историческая справка.

Полные гражданские права мнимым числам дал немецкий матема-тик Карл Фридрих Гаусс, который наз-вал их комплексными числами, дал геометри-ческую интерпретацию

`

kompl e x

Комплексные числа

х ² + 1 = 0

х ² = – 1

Комплексные числа

х ² + 1 = 0

х ² = – 1

i

=

Комплексные числа

Комплексными числами называют выражения вида A + B· i , где A и B –действительные числа, а i – некоторый символ, такой что i ² = –1, и обозначают буквой Z .

Z = A + B i

i – комплексное число, такое, что i² = –1 называется мнимая единица.

Соглашение о комплексных числах.

• Действительное число А записывается в виде А + 0 · i (или А – 0 · i ).
• Комплексное число вида 0 + В i называется “чисто мнимым”. Запись В i обозначает то же, что 0 + В i .
• Два комплексных А + В i , А’ + В’ i считаются равными, если А = А’ , В = В’. В противном случае комплексные числа не равны.

Сложение комплексных чисел

• Определение. Суммой комплексных чисел A + B·i и А ’ + B ’ ·i называют комплексное число ( A +А ’) + ( B + B ’) i .

Пример 1. ( - 3+5i) + (4 - 8i) = 1 - 3i

Пример 2. (2+0i) + (7+0i) = 9+0i = 9

Пример 3. (0+2i) + (0+5i) = 0+7i = 7i

Пример 4. (-2+3 i ) + ( -2 –3 i ) = - 4

Пример(устно):(7+3 i)+(2-4i)=

(9-3i)+(i-2)=

7+i+2+7i=

9-i

7-2i

9+8i

Вычитание комплексных чисел.

• Определение. Разностью комплекс-ных чисел A + B·i (уменьшаемое) и А ’ + B ’ ·i (вычитаемое) называется комплексное число ( A -А ’) + ( B - B ’) i .

Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

Пример(устно) ( 2-i) – ( 3+5i) =

4i – (5+i)=

(6+7i) – (2-i)=

-1-6i

-5+3i

4+8i

Умножение комплексных чисел.

• Определение.   Произведением комплексных чисел А + В i и А’ + В’ i называется комплексное число (АА’ – ВВ’) + (АВ’ + ВА’)i

Пример 1. (1–2i)(3+2i) = 3 + 2i – 6i– 4i ² = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i

Пример 2. (3–2i)(3+2i) = 9 + 6i – 6i – 4i ² = 9 + 4 = 13

Сопряженные числа

Определение. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Z= a + ib

Z= a - ib

(a + bi)(a – bi) = a ² + b ²

сопряженные

Пример:

25+3i и 25-3i

-6+i и -i-6

Деление комплексных чисел.

• Определение. Разделить комплекс-ное число А + В i на комплексное число А’ + В’ i – значит найти такое число Х + Уi , которое, будучи помно-жено на делитель, даст делимое.

Пример

(7 - 4 i)

(3 - 2 i)

21 -12 i -14i + 8i ²

7 - 4 i

=

=

=

3 + 2 i

(3 - 2 i)

9+4

(3 + 2 i)

13-26i

13 26i

=

=

-

=

1-2i

13

13 13

Геометрическое изображение.

Im

Z

Re

0

Z = A + B i

A

В

Геометрическое изображение.

Im

Z 1 =2+3i

Z 1

3 i

Z 2 =-1+2i

Z 2

Z 3 = -3 -i

2 i

Z 4 =5-3i

1 i

5

-3

-1

1

0

2

Re

-1 i

Z 3

Z 4

-3 i

3 . Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Комплексные числа на плоскости изображаются в прямоугольной декартовой системе координат либо точкой М(а; b )-аффикс, либо радиус – вектором этой точки

r = ОМ =(а; b ).

y

M( а; b)

b

r



0

x

a

Модуль и аргумент комплексного числа

Модуль комплексного числа

Аргумент комплексного числа

Arg z =   n ,

n  z ,

    arctg b / a ,

- π

Задание №1

Вычислить:

Вариант 2

Вариант 1

Z 2 =-1+2i

Z 1 = 1 + 7 i

Z 1 = 5 + 6 i

Z 2 =- 2 + 3 i

Z 1 + Z 2 =

-1 + 10 i

4 + 8 i

6 + 4 i

3 + 4 i

Z 1 − Z 2 =

-17 + 4 i

- 23 - 11 i

Z 1· Z 2 =

Z 1 : Z 2 =

19/13 - i · 17/13

7/5 – i· 16/5

7/61 +i · 16/61

Z 2 : Z 1 =

19/50 + i · 17/50

Задание №2

Верно ли утверждение?

1. Разность сопряженных чисел есть чисто мнимое число.

2. Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.

3. Сумма двух комплексных чисел может быть равна действительному числу.

4. Произведение комплексных чисел не может быть равно действительному числу.

5. Частное двух чисто мнимых чисел есть число мнимое.

да

да

да

нет

нет

Im

1 Вариант

Задание №3

Z 1 = 3 +i

Z 5

Z 2 =- 3 + 3 i

Z 1

Z 2

3 i

Z 3 =- 2 - 3 i

Z 2

Z 4 = 4 - 2 i

2 i

Z 5 = 4 i

Z 1

2 Вариант

Z 5

-3

-1

5

0

Z 1 = 5 +3i

2

Re

Z 2 =- 2 +2i

-1 i

Z 3

Z 4

Z 3 = - 1 -i

Z 4 = 2 -3i

Z 5 = 1

Z 3

-3 i

Z 4

Задание №4

Верно ли утверждение?

1. Чисто мнимые числа не могут располагаться на действительной оси .

2. Числа, лежащие на оси Re являются действительными числами .

3. Сумма двух комплексных чисел 2+ 4 i и 5-4i располагается на мнимой оси.

4. Произведение комплексных чисел 5+i и 5-i располагается на мнимой оси .

5. Точки, изображающие сопряженные числа, симметричны относительно действительной оси .

да

да

нет

нет

да

0; 3) имеет имеет два комплексных корня: z 1,2 = ± √ a· i . , если а На множестве комплексных чисел квадратное уравнение всегда имеет хотя бы один корень ." width="640"

Решение квадратных уравнений

z ² = a , где а - заданное число, z – неиз-вестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1) имеет один корень z = 0, если а = 0;

2) имеет два действительных корня z 1,2 = ± √ а   , если а0;

3) имеет имеет два комплексных корня: z 1,2 = ± √ a· i . , если а

На множестве комплексных чисел квадратное уравнение всегда имеет хотя бы один корень .

Итог урока

Образование - это то, что остается, когда забываешь все, что изучал в школе.

Альберт Эйнштейн