Научно-исследовательский проект по математике "Комплексные числа"

КГУ «Зевакинский комплекс общеобразовательная средняя школа детский сад».

Научный проект:

Комплексные числа.

Подготовила: ученица 10 класса - Черских А.

Проверила: учитель математики – Кожевникова Н.А.

г. Шемонаиха 2015-16 уч. г.

Введение.

1. Несколько высказываний знаменитых ученых о комплексных числах.

1. Несколько слов о появлении комплексных чисел.

2. Понятие комплексного числа.

3. Геометрическая форма комплексного числа.

4. Тригонометрическая форма комплексного числа.

5. Графическое решение систем уравнений и неравенств комплексных чисел, содержащих параметр.

6. Заключение.

7. Литература.

Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием.

Г. Лейбниц

Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают все более широкое распространение.

Ф. Клейн.

Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств.

Л. Карно.

Несколько слов о появлении комплексных чисел.

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Древнегреческие ученые считали «настоящими» только натуральные числа, но в практических расчетах за тысячелетия до н. э. в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте уже использовались дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было появление отрицательных величин. Их ввели китайские ученые за два века до н. э. а древнегреческий математик Диофант в третьем веке н.э. уже умел производить действия над отрицательными числами. В 13 веке стали извлекать квадратные корни из положительных чисел и установили, что с числами отрицательными эта операция невозможна. Но в 16 веке в связи с изучением кубических уравнений математики столкнулись с этой проблемой. Поэтому итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 году в своем труде «Великое искусство, или «Об алгебраических правилах» предложил ввести числа новой природы. Он назвал эти величины «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными», но считал их совершенно бесполезными и стремился не пользоваться ими. Однако в 1572 году его соотечественник Р. Бомбелли выпустил книгу, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Название «мнимые числа» в 1637 году было введено французским математиком и философом Р. Декартом. А в 1777 году один из крупнейших алгебраистов 18 века – Л. Эйлер – предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа I = √-1. Сам же термин «комплексное число» ввел в 1803 году Л. Карно, но в употребление он вошел только благодаря работам К. Гаусса. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже 17 – 18 веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, а полное геометрическое истолкование «мнимым» величинам дали в своих работах К. Вессель и Ж. Арган.

В конце 18 века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняю мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Также с помощью «мнимых» величин были решены прикладные задачи, связанные с картографией и гидродинамикой.

Цель исследования - изучить алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа.

Задачи исследования:

Ввести понятие «Комплексное число» (немного об истории).

Алгебраическое нахождение «комплексного числа».

Гипотеза: Я предполагаю, что данная тема является интересной и познавательной для учащихся старших классов.

Понятие комплексного числа.

Алгебраическая форма z = a + b∙I , a € R? b€ R? i² = -1

a = Re z - действительная часть числа z (вещественная);

b = Im z – мнимая часть числа z. Определения

Формально комплексное число  — это пара вещественных чисел  со введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения:

• 

• 

Мнимая единица в такой системе представляется парой . Поэтому ошибочно определение числа  как единственного числа, удовлетворяющего уравнению , так как число  также удовлетворяет этому уравнению.

Матричная форма 

Комплексные числа можно также идентифицировать с семейством вещественных матриц вида

с обычным матричным сложением и умножением.

Связанные определения 

Комплексная переменная обычно обозначается . Пусть  и  суть вещественные числа, такие, что . Тогда

• Комплексное число  называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к .

• Числа  или  и  или  называются соответственно вещественной и мнимой частями .

  • Если , то  называется мнимым или чисто мнимым.

• Число  называется модулем числа , а

• Угол  такой, что  и , называется аргументом .

Представление комплексных чисел  Алгебраическая форма 

Запись комплексного числа  в виде  называется алгебраической формой комплексного числа.

Показательная (экспоненциальная) форма 

Для целей комплексного анализа также может быть полезна следующая форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической

Формула Муавра 

Формула Муавра — формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

,

где  — модуль, а  — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Л. Эйлером в 1722 году.

потреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Р. Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть в XVI­­­­-XVII вв. «мнимыми». Однако даже для многих крупных учёных XVII в. алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием».

Задача о выражении корней степени  из данного числа была в основном решена в работах А. Муавра(A. de Moivre, 1707, 1724) и Р. Котеса (R. Cotes, 1722). Символ  предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. Он же высказал в 1751 мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел, к такому же выводу пришел Д' Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Он же ввёл в употребление термин «комплексное число» в 1831. Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе К. Весселя (С. Wessel, 1799). Геометрическое представление комплексных чисел, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806 и 1814 работы Ж. Р. Аргана (J. R. Argand), повторявшей независимо выводы К. Весселя.

Арифметическая теория комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена У. Р. Гамильтоном (1837). Ему же принадлежит обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.

Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число

называется модулем комплексного числа z и обозначается символом |z|.

Число

называем аргументом комплексного числа z и обозначаем символом θ = arg z. При заданном r углы, отличающиеся на , соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываем  называем главным значением аргумента.

Числа r и θ называют полярными координатами комплексного числа z. В этом случае

z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r(cos θ + i sin θ)

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если z₁ = (r₁ cos θ₁, r₁ sin θ₁), z₂ = (r₂ cos θ₂, r₂ sin θ₂), то

z₁z₂ = (r₁r₂ cos(θ₁ + θ₂), r₁r₂ sin(θ₁ + θ₂)),

Для n-й степени числа z = (r cos θ, r sin θ) формула приобретает вид zⁿ = (rⁿ cos nθ, rⁿ sin nθ).

При r = 1 соотношение приобретает вид zⁿ = (cos nθ, sin nθ) и называется формулой Муавра.

Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

 

Тригонометрическая форма комплексного числа.  

Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть  и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем: 

Отсюда получается 

z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

Пример 1

Записать число  в тригонометрической форме.

Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) иz₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂). Имеем: 

Видно, что в тригонометрической форме операции умножения и деления производятся особенно просто: для того, чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) их аргументы.

Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ₁, φ₂, ..., φ_n – аргументы чисел z₁, z₂, ..., z_n, то 

В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.

Пример 2

Вычислить  если 

Число z называется корнем степени  из комплексного числа w, если  Корень степени  обозначается  Пусть теперь число w фиксировано. Найдём z из уравнения 

Если w = 0, то у уравнения  существует единственное решение z = 0.

Если w ≠ 0, то положим, что нам известно тригонометрическое представление числа w = r₀ (cos φ₀ + i sin φ₀), и будем искать число z также в тригонометрической форме: z = r (cos φ + i sin φ). Из определения аргумента и геометрической интерпретации комплексных чисел следует, что два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на угол, кратный 2π. Имеем: 

откуда получается: 

Итак, все решения уравнения  задаются формулой 

Заметим, что если в эту формулу подставлять натуральные числа k, то при k = 0, 1, ..., n мы будем получать разные комплексные числа, а при k = n имеем: 

Значит, и в дальнейшем значения корней будут повторяться. Следовательно, существует ровно n корней уравнения  и все они задаются одной формулой.

Вторая формула Муавра:

Графическое решение систем уравнений и неравенств комплексных чисел, содержащих параметр.

Рассмотрим уравнение

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x),

где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а₀, b = b₀, c = c₀, …, k = k₀, x = x₀,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Алгоритм решения.

1. Находим область определения уравнения.

2. Выражаем a как функцию от х.

3. В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

1. Записываем ответ.

Примеры.

I. Решить уравнение

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

или

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а  (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .

Если а  , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем

и .

Если а  , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Ответ:

Если а  (-;-1](1;+), то ;

Если а  , то , ;

Если а  , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .

В системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Поскольку график функции – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную

Ответ: .

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

имеет решения.

Решение.

Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полу парабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

и

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полу парабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полу парабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полу параболы”, которая касается

прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полу параболы” совпадает с точкой А, то .

Случай касания “полу параболы” с прямой определим из условия существования единственного решения системы

В этом случае уравнение

имеет один корень, откуда находим :

Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при или имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а  (-;-3] (;+).

Заключение.

В процессе исследования была создана обучающая программа которую можно использовать для индивидуального обучения. Эту программу можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя математики могут использовать ее как методическое пособие при изложении данной темы, а также для контроля знаний учащихся.

Этой программой могут воспользоваться и те, кто хочет знать математике больше, чем рядовой школьник.

Литература.

1.Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г,

2.Колмагоров А.Н., Абрамов, Дудицин/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г

3.НикольскийС.М., Потапов Н.К, и др. Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г