" Характеристическое свойство арифметической прогрессии"

урок4

Название предмета алгебра

класс9

УМК Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2012 - 160 с.   Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2012 – 270

Уровень обучения базовый

Тема урока " Характеристическое свойство арифметической прогрессии"

Общее количество часов, отведенное на изучение темы 5

Место урока в системе уроков по теме 4

Цель урока: 
Знакомство с характеристическим свойством членов арифметической прогрессии.

Задачи урока:
1) Образовательные - вывести и доказать характеристическое свойство арифметической прогрессии; формировать умения применять свойство арифметической прогрессии при решении задач
2) Развивающие - вырабатывать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.
3)Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация

ожидаемые результаты: На этом уроке мы должны установить связь между членами арифметической прогрессии и решим задачи, где используются свойства арифметических прогрессий.

II. Актуализация знаний учащихся

1. Фронтальный опрос:

- Что называется арифметической прогрессией?

– Как задается арифметическая прогрессия?

– Назовите формулу п-го члена арифметической прогрессии.

2. Математический диктант.(задания раздаются на карточках)

1 вариант

№1.Дана арифметическая прогрессия

1;4;7;11;…

Найти её первый член и разность.

№2. а₁=, d= Найти а₁₁-?

№3. Найдите сумму (S) первых ста членов арифметической прогрессии (а_n), если а₁=-9, d=4

2 вариант

№1.Дана арифметическая прогрессия –

9;6;3;0;;… Найти её первый член и разность.

№2. а₁=0,2, d= .Найти а₁₁-?

№3. Найдите сумму (S) первых ста членов арифметической прогрессии (а_n), если а₁=70, d=-1

III. Изучение нового материала. (слайд 1-3)

1.Рассмотрим арифметическая прогрессия (х_п): 2; 5; 8; 11; 14.

Выясним, существует ли связь между тремя любыми последовательными членами прогрессии? Предлагаю вам, ребята, самим установить эту связь. Для этого проведем исследовательскую работу.

= (5.)

= (8.)

= (11.)

Какой вывод можно сделать о связи между членами арифметической прогрессии?

Вывод: «Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов».

2. Так как мы это предположили исходя из рассмотрения конкретной последовательности, данное утверждение следует доказать:

Пусть (х_п) – арифметическая прогрессия, тогда

х_п – х_{п – 1} = х_{п + 1} – х_п, то есть

2х_п = х_{п – 1} + х_{п + 1},

Следует обратить особое внимание учащихся, что это утверждение – свойство арифметической прогрессии. А если мы сформулируем обратное утверждение и сможем его доказать, то как будет оно называться? Это будет признак арифметической прогрессии: «Если в последовательности (х_п) каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией».

Пусть х_п = , где п ≥ 2, тогда 2х_п = х_{п – 1} + х_{п + 1,}

х_п – х_{п – 1} = х_{п + 1} – х_п, то есть разность между последующим и предыдущим членами последовательности (х_п) остается постоянной. Значит, (х_п) – арифметическая прогрессия.

IV. Формирование умений и навыков.

. Решить № 16.40 устно, используя характеристическое свойство арифметической прогрессии:

а) тогда

б) тогда а₁₈ + а₂₀ = 2  а₁₉ = 2  5 = 10;

.

2. Решить № 16.42 (б) с комментированием на месте.

Если а₁₄ + а₁₆ = –20, то а₁₅ = –20 : 2 = –10;

Если а₂₉ + а₃₁ = 40, то а₃₀ = 40 : 2 = 20;

Найдем а₁₅ + а₃₀ = –10 + 20 = 10.

О т в е т: 10.

3. Решить № 16.44 на доске и в тетрадях.

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

2у = 5у – 3; 3у = 3; у = 1.

О т в е т: 1.

4. Решить № 16.46. Решение объясняет учитель.

а) Речь идет о сумме членов конечной арифметической прогрессии 104; 112; 120; … 992. У этой прогрессии а₁ = 104; а_n = 992; d = 8. Сначала найдем n (количество членов прогрессии):

а_n = а₁ + (n –1)d; 992 = 104 + (n – 1)  8;

992 = 8n + 96; n = 112.

Имеем

О т в е т: 61376.

5. Решить № 16.48 (б; г) на доске и в тетрадях.

б) а₉ = –30; а₁₉ = –45. Найдем а_n.

а_n = а₁ + (n – 1)d = –18 + (n – 1)(–1,5) = –1,5n – 16,5.

г) а₅ = 0,2; а₁₆ = –7,5. Найдем a_n.

а_n = 3 – 0,7(n – 1).

О т в е т: б) –18 – 1,5(n – 1); г) 3 – 0,7(n – 1).

6. Решить № 16.68^. Решение объясняет учитель.

Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, получаем уравнение х – 3 =
= (х – 5)²; х² – 11х + 28 = 0; х₁ = 7; х₂ = 4 – посторонний корень, не удовлетворяющий иррациональному уравнению

О т в е т: 7.

V. Итоги урока.

Вопросы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте свойство арифметической прогрессии.

– Сформулируйте признак арифметической прогрессии.

Домашнее задание: http://test-training.ru/algebra-9-class/9-6-1-svoystva-arifmetitcheskoy-progressii.html выполнить тест