kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Арифметическая и геометрическая прогрессии в решении задач

Нажмите, чтобы узнать подробности

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Эпиграф урока

«Дороги не те знания,
которые откладываются в мозгу, как жир,
дороги те, которые превращаются
в умственные мышцы».

(Герберт Спенсер, английский философ)

  • Дайте определение арифметической прогрессии.
  • Какой буквой обозначают разность арифметической прогрессии?
  • Что означает разность арифметической прогрессии?
  • Дайте определение геометрической прогрессии.
  • Какой буквой обозначают знаменатель геометрической прогрессии?
  • Что означает знаменатель геометрической прогрессии?
  • Какая прогрессия называется возрастающей?
  • Какая прогрессия называется убывающей?

Определите вид числовой последовательности

1) 2; 5; 8; 11; 14; 17;…

2) 3; 9; 27; 81; 243;…

3) 1; 6; 11; 20; 25;…

4) - 4; - 8; -16; - 32; …

5) 5; 25; 35; 45; 55;…

6) - 2; - 4; - 6; - 8; …

Назад в историю

На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э.)

Термин «прогрессия» был введён римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. В переводе с латинского, слово progressio означает «движение вперёд». Названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида «Начала» (3 век до н.э.).

Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский)

А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Никола Шюке «Наука о числах», увидевшей свет  в 1484 году.

Работа у доски

1)            Дано: (аn) арифметическая прогрессия

                а1 = 5,    d = 3    

                Найти: а6 ; а10 ?

2)            Дано: (bn) геометрическая прогрессия

                b1= 5,    q = 3

                Найти: b3 ; b5 ?

3)            Дано: (аn) арифметическая прогрессия

                а4 = 11,    d = 2

                Найти: а1 ?

3)            Дано: (аn) арифметическая прогрессия

                а4 = 11,    d = 2

                Найти: а1 ?

4)            Дано: (bn) геометрическая прогрессия

                b4= 40,    q = 2    

                Найти: b1 ?

Физкультминутка

Характерное свойство
арифметической прогрессии

1. Дано: (аn) арифметическая прогрессия  

а4=12,5 ;  а6=17,5    

Найти: а5

Ответ: 15

Характерное свойство
геометрической прогрессии

Дано: (bn) геометрическая прогрессия, bn >0

b4=6;  b6=24    

Найти: b5 ?

Ответ: 12

Самостоятельная работа

1) Дано: (аn), а1 = - 3, а2 = 4.                                                    Найти: а16 – ?      

2) Дано: (bn), b12 = - 32, b13 = - 16.                                         Найти: q – ?

3) Дано: (аn), а21 = - 44, а22 = - 42.                                         Найти: d – ?     

4) Дано: (bn), bп > 0, b2 = 4, b4 = 9.                                         Найти: b3 – ?  

5) Дано: (аn), а1 = 28, а21 = 4.                                                   Найти: d – ?   

6) Дано: (bn),  b1=1/2, q = 2.                                                     Найти: b5 – ?           

7) Дано: (аn), а7 = 16, а9 = 30.                                                Найти: а8 – ?

Ответы:

  1. 1) 102
  2. 2) 0,5
  3. 3)2
  4. 4)6
  5. 5)-1,2
  6. 6)8
  7. 7)  23

Интересные факты

) Химия.  При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растёт по геометрической прогрессии.

2) Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.

3) Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам,  раскалывает их ещё на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.

4) Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.

5) Экономика. Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых  процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Арифметическая и геометрическая прогрессии в решении задач »

Арифметическая и геометрическая прогрессии.     Выполнила  учитель математики МОУ  «СОШ №17 г.Вольска Саратовской  области»  Сметанина Татьяна Евгеньевна   г.Вольск

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Выполнила учитель математики МОУ «СОШ №17 г.Вольска Саратовской области» Сметанина Татьяна Евгеньевна г.Вольск

 0) – последовательные члены геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда (среднее арифметическое) (среднее геометрическое)" width="640"

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

b 1 , b 2 , b 3 , ...

a 1 , a 2 , a 3 , ...

Определения

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

b n+ 1  = qb n , n = 1, 2, ...,

≠ 0, b1 ≠ 0; q – знаменатель прогрессии

a n   + 1  = a n  + d, n = 1, 2, ..., d – разность прогрессии

b n  = b 1  · q n – 1 ,

Формулы общего члена

a n  = a 1  + d · (n – 1),

n = 1, 2, ...

n = 1, 2, ...

Характеристическое свойство

a n–1 , a n , a n+1 – последовательные члены арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда

b n–1 , b n , b n+1 (b n   0) – последовательные члены геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда

(среднее арифметическое)

(среднее геометрическое)

Формулы суммы n первых членов  Арифметической Геометрической  прогрессии прогрессии

Формулы суммы n первых членов

Арифметической Геометрической

прогрессии прогрессии

Задача №1   Четвёртый член арифметической прогрессии равен 4,5,  а её двенадцатый член равен -12. Найдите двадцатый член этой прогрессии.

Задача №1 Четвёртый член арифметической прогрессии равен 4,5, а её двенадцатый член равен -12. Найдите двадцатый член этой прогрессии.

Решение  I способ  Воспользуемся формулой п -го члена арифметической прогрессии  а п = а 1 + d(n – 1) и выразим данные члены прогрессии a 4 = а 1 + 3d,  a 12 = =а 1 +11d.  Составим и решим систему уравнений:   а 1 +11d = 4,5,  а 1 + 3d = - 12;  -8d = 16,5, 8d = - 16,5 Заметим, что а 20 = a 12 + 8d ,  а 20 = - 12 – 16,5 ,  а 20 = - 28,5  II способ   Заметим , что a 12 = а 4 + 8d , a 20 = а 12 +8d . Найдём 8d.   8d = a 12 – a 4 = – 12 – 4,5 = – 16,5   а 20 = a 12 + 8d = – 12 – 16,5 = – 28,5  Ответ. – 28,5

Решение I способ Воспользуемся формулой п -го члена арифметической прогрессии а п = а 1 + d(n – 1) и выразим данные члены прогрессии a 4 = а 1 + 3d, a 12 = =а 1 +11d. Составим и решим систему уравнений: а 1 +11d = 4,5, а 1 + 3d = - 12; -8d = 16,5, 8d = - 16,5 Заметим, что а 20 = a 12 + 8d , а 20 = - 12 – 16,5 , а 20 = - 28,5 II способ Заметим , что a 12 = а 4 + 8d , a 20 = а 12 +8d . Найдём 8d. 8d = a 12 – a 4 = – 12 – 4,5 = – 16,5 а 20 = a 12 + 8d = – 12 – 16,5 = – 28,5 Ответ. – 28,5

ЗАДАЧА №2  В геометрической прогрессии  b 12 = 3 15 и b 14 = 3 17.  Найдите b 1.

ЗАДАЧА №2 В геометрической прогрессии b 12 = 3 15 и b 14 = 3 17. Найдите b 1.

Решение  По определению геометрической прогрессии   b 14 = b 12 · q 2    По формуле п-го члена геометрической прогрессии b n = b 1 · q n – 1     Если q = - 3, то   Если q = 3, то   Ответ. – 81 или 81

Решение По определению геометрической прогрессии b 14 = b 12 · q 2 По формуле п-го члена геометрической прогрессии b n = b 1 · q n – 1 Если q = - 3, то Если q = 3, то Ответ. – 81 или 81

Задача № 3  В арифметической прогрессии a 5 = - 150, a 6 = - 147. Найдите номер первого положительного члена этой прогрессии

Задача № 3 В арифметической прогрессии a 5 = - 150, a 6 = - 147. Найдите номер первого положительного члена этой прогрессии

0, то а 1 + d(n – 1) 0, значит, – 162 + 3(n – 1) 0, – 162 + 3n – 3 0, 3n 165, n 55, n = 56. Ответ. Первый положительный член этой прогрессии стоит на 56 месте." width="640"

Решение По определению арифметической прогрессии a 6 = a 5 + d, d = a 6 – a 5, d = – 147 – (–150), d = 3 По формуле п-го члена арифметической прогрессии а п = а 1 + d(n – 1), a 5 = a 1 + 4d, a 1 = a 5 – 4d, a 1 = – 150 – 12, a 1 = – 162. Так как a n 0, то а 1 + d(n – 1) 0, значит, – 162 + 3(n – 1) 0, – 162 + 3n – 3 0, 3n 165, n 55, n = 56. Ответ. Первый положительный член этой прогрессии стоит на 56 месте.

Задача №4  Существует ли геометрическая прогрессия, в которой  b 2 = - 6, b 5 = 48 и  b 7 = 192

Задача №4 Существует ли геометрическая прогрессия, в которой b 2 = - 6, b 5 = 48 и b 7 = 192

Решение   По определению геометрической прогрессии    b 5 = b 2 · q 3     b 7 = b 5 · q 2 , b 7 = 48 · 4 = 192.     Ответ. Существует.

Решение По определению геометрической прогрессии b 5 = b 2 · q 3 b 7 = b 5 · q 2 , b 7 = 48 · 4 = 192. Ответ. Существует.

Задача № 5  Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 160, которые не делятся на 4.

Задача № 5 Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 160, которые не делятся на 4.

Решение  1. Найдём сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 160.  1, 2, 3, … - арифметическая прогрессия, в которой a 1 = 1, d =1,   a 160 = 160. Воспользуемся формулой .    2. Найдём сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 160.  последовательность (с n ) чисел, кратных 4, задаётся формулой c n = 4n .  (c n ) - арифметическая прогрессия, в которой c 1 = 4, d = 4, c n = 160 , n = 160 : 4.  n = 40.    3. Найдём сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 160, которые не делятся на 4. Эта сумма равна сумме всех натуральных чисел, не превосходящих 160, без суммы натуральных чисел, кратных 4, т.е.  12 880 – 3280 = 9600.  Ответ. Сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 160, которые не делятся на 4, равна 9600.

Решение 1. Найдём сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 160. 1, 2, 3, … - арифметическая прогрессия, в которой a 1 = 1, d =1, a 160 = 160. Воспользуемся формулой . 2. Найдём сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 160. последовательность (с n ) чисел, кратных 4, задаётся формулой c n = 4n . (c n ) - арифметическая прогрессия, в которой c 1 = 4, d = 4, c n = 160 , n = 160 : 4. n = 40. 3. Найдём сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 160, которые не делятся на 4. Эта сумма равна сумме всех натуральных чисел, не превосходящих 160, без суммы натуральных чисел, кратных 4, т.е. 12 880 – 3280 = 9600. Ответ. Сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 160, которые не делятся на 4, равна 9600.

Задача № 6   В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 132, а сумма второго и третьего членов равна 110. Найдите первые три члена этой прогрессии.

Задача № 6 В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 132, а сумма второго и третьего членов равна 110. Найдите первые три члена этой прогрессии.

Решение  По характеристическому свойству геометрической прогрессии    По условию задачи b 1 + b 2 = 132, b 1 = 132 – b 2 ,   b 2 + b 3 = 110 , b 3 = 110 – b 2 .   Перемножив уравнения, получим b 1 · b 3 = (132 – b 2 )( 110 – b 2 ) .  Полученное уравнение перепишем в виде:       132 b 2 + 110 b 2 = 14520 ,   242 b 2 = 14520 ,    b 2 = 60 .  Тогда b 1 = 132 – 60 = 72,   b 3 = 110 – 60 = 50.  Ответ. 72, 60, 50

Решение По характеристическому свойству геометрической прогрессии По условию задачи b 1 + b 2 = 132, b 1 = 132 – b 2 , b 2 + b 3 = 110 , b 3 = 110 – b 2 . Перемножив уравнения, получим b 1 · b 3 = (132 – b 2 )( 110 – b 2 ) . Полученное уравнение перепишем в виде: 132 b 2 + 110 b 2 = 14520 , 242 b 2 = 14520 , b 2 = 60 . Тогда b 1 = 132 – 60 = 72, b 3 = 110 – 60 = 50. Ответ. 72, 60, 50

Предостережение.  74% всех участников экзамена не приступали или не смогли решить это задание (наивысший балл получили 23% участников экзамена).  Записав в ответ только два члена прогрессии, можно потерять один балл.  Обратите внимание на критерии проверки: одна арифметическая ошибка – потеря одного балла, а две и более арифметических ошибок – потеря всех баллов за это задание

Предостережение. 74% всех участников экзамена не приступали или не смогли решить это задание (наивысший балл получили 23% участников экзамена). Записав в ответ только два члена прогрессии, можно потерять один балл. Обратите внимание на критерии проверки: одна арифметическая ошибка – потеря одного балла, а две и более арифметических ошибок – потеря всех баллов за это задание

Задача № 7  Последовательность  ( a n ) – арифметическая прогрессия.  Известно, что а 5 + а 9 = 40. Найдите а 3  + а 7 + а 11 .

Задача № 7 Последовательность ( a n ) – арифметическая прогрессия. Известно, что а 5 + а 9 = 40. Найдите а 3 + а 7 + а 11 .

Задача № 8  Сумма третьего и тринадцатого членов арифметической прогрессии равна 11. Найдите сумму первых пятнадцати её членов

Задача № 8 Сумма третьего и тринадцатого членов арифметической прогрессии равна 11. Найдите сумму первых пятнадцати её членов

Задача № 9  Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии на 200 больше суммы следующих её членов. На сколько сумма первых десяти членов этой прогрессии больше суммы следующих десяти её членов?

Задача № 9 Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии на 200 больше суммы следующих её членов. На сколько сумма первых десяти членов этой прогрессии больше суммы следующих десяти её членов?

Задача № 10  Числа являются четвёртым и седьмым членами геометрической прогрессии Найдите сумму четвёртого и десятого членов этой прогрессии .

Задача № 10 Числа являются четвёртым и седьмым членами геометрической прогрессии Найдите сумму четвёртого и десятого членов этой прогрессии .

Совет  Формулы арифметической и геометрической прогрессий, используемые для решения, обязательно записывайте и в бланке, и на черновике.  Закончив решение, запишите ответ, перечитав вопрос задания. Если останется время, проверьте ещё раз, что полученные числа образуют арифметическую или геометрическую прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Совет Формулы арифметической и геометрической прогрессий, используемые для решения, обязательно записывайте и в бланке, и на черновике. Закончив решение, запишите ответ, перечитав вопрос задания. Если останется время, проверьте ещё раз, что полученные числа образуют арифметическую или геометрическую прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Спасибо за внимание!

Спасибо за внимание!


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 9 класс

Скачать
Арифметическая и геометрическая прогрессии в решении задач

Автор: Иманкулова Гульзария Арипкуловна

Дата: 06.03.2015

Номер свидетельства: 182892

Похожие файлы

object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(155) "Конспект урока по математике на тему: «Арифметическая и геометрическая прогрессии» "
    ["seo_title"] => string(95) "konspiekt-uroka-po-matiematikie-na-tiemu-arifmietichieskaia-i-ghieomietrichieskaia-proghriessii"
    ["file_id"] => string(6) "115169"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1411884612"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(122) "Формула суммы  n первых членов  конечной геометрической прогрессии"
    ["seo_title"] => string(70) "formulasummynpiervykhchlienovkoniechnoighieomietrichieskoiproghriessii"
    ["file_id"] => string(6) "297802"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1456239243"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(98) "Разработка урока по теме "Геометрическая прогрессия" "
    ["seo_title"] => string(60) "razrabotka-uroka-po-tiemie-gieomietrichieskaia-proghriessiia"
    ["file_id"] => string(6) "154072"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1421090542"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(135) "Контрольная работа для 9 класса на тему "Последовательности и прогрессии" "
    ["seo_title"] => string(78) "kontrol-naia-rabota-dlia-9-klassa-na-tiemu-posliedovatiel-nosti-i-proghriessii"
    ["file_id"] => string(6) "148031"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1419547323"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(159) "Урок систематизации и обобщения по теме " Арифметическая и геометрическая прогрессии" "
    ["seo_title"] => string(103) "urok-sistiematizatsii-i-obobshchieniia-po-tiemie-arifmietichieskaia-i-ghieomietrichieskaia-proghriessii"
    ["file_id"] => string(6) "172738"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1423849102"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства