Арифметическая и геометрическая прогрессии в решении задач

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Выполнила учитель математики МОУ «СОШ №17 г.Вольска Саратовской области» Сметанина Татьяна Евгеньевна г.Вольск

 0) – последовательные члены геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда (среднее арифметическое) (среднее геометрическое)" width="640"

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

b 1 , b 2 , b 3 , ...

a 1 , a 2 , a 3 , ...

Определения

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

b n+ 1  = qb n , n = 1, 2, ...,

q  ≠ 0, b1 ≠ 0; q – знаменатель прогрессии

a n   + 1  = a n  + d, n = 1, 2, ..., d – разность прогрессии

b n  = b 1  · q n – 1 ,

Формулы общего члена

a n  = a 1  + d · (n – 1),

n = 1, 2, ...

n = 1, 2, ...

Характеристическое свойство

a n–1 , a n , a n+1 – последовательные члены арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда

b n–1 , b n , b n+1 (b n   0) – последовательные члены геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда

(среднее арифметическое)

(среднее геометрическое)

Формулы суммы n первых членов

Арифметической Геометрической

прогрессии прогрессии

Задача №1 Четвёртый член арифметической прогрессии равен 4,5, а её двенадцатый член равен -12. Найдите двадцатый член этой прогрессии.

Решение I способ Воспользуемся формулой п -го члена арифметической прогрессии а п = а 1 + d(n – 1) и выразим данные члены прогрессии a 4 = а 1 + 3d, a 12 = =а 1 +11d. Составим и решим систему уравнений: а 1 +11d = 4,5, а 1 + 3d = - 12; -8d = 16,5, 8d = - 16,5 Заметим, что а 20 = a 12 + 8d , а 20 = - 12 – 16,5 , а 20 = - 28,5 II способ Заметим , что a 12 = а 4 + 8d , a 20 = а 12 +8d . Найдём 8d. 8d = a 12 – a 4 = – 12 – 4,5 = – 16,5 а 20 = a 12 + 8d = – 12 – 16,5 = – 28,5 Ответ. – 28,5

ЗАДАЧА №2 В геометрической прогрессии b 12 = 3 15 и b 14 = 3 17. Найдите b 1.

Решение По определению геометрической прогрессии b 14 = b 12 · q 2 По формуле п-го члена геометрической прогрессии b n = b 1 · q n – 1 Если q = - 3, то Если q = 3, то Ответ. – 81 или 81

Задача № 3 В арифметической прогрессии a 5 = - 150, a 6 = - 147. Найдите номер первого положительного члена этой прогрессии

0, то а 1 + d(n – 1) 0, значит, – 162 + 3(n – 1) 0, – 162 + 3n – 3 0, 3n 165, n 55, n = 56. Ответ. Первый положительный член этой прогрессии стоит на 56 месте." width="640"

Решение По определению арифметической прогрессии a 6 = a 5 + d, d = a 6 – a 5, d = – 147 – (–150), d = 3 По формуле п-го члена арифметической прогрессии а п = а 1 + d(n – 1), a 5 = a 1 + 4d, a 1 = a 5 – 4d, a 1 = – 150 – 12, a 1 = – 162. Так как a n 0, то а 1 + d(n – 1) 0, значит, – 162 + 3(n – 1) 0, – 162 + 3n – 3 0, 3n 165, n 55, n = 56. Ответ. Первый положительный член этой прогрессии стоит на 56 месте.

Задача №4 Существует ли геометрическая прогрессия, в которой b 2 = - 6, b 5 = 48 и b 7 = 192

Решение По определению геометрической прогрессии b 5 = b 2 · q 3 b 7 = b 5 · q 2 , b 7 = 48 · 4 = 192. Ответ. Существует.

Задача № 5 Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 160, которые не делятся на 4.

Решение 1. Найдём сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 160. 1, 2, 3, … - арифметическая прогрессия, в которой a 1 = 1, d =1, a 160 = 160. Воспользуемся формулой . 2. Найдём сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 160. последовательность (с n ) чисел, кратных 4, задаётся формулой c n = 4n . (c n ) - арифметическая прогрессия, в которой c 1 = 4, d = 4, c n = 160 , n = 160 : 4. n = 40. 3. Найдём сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 160, которые не делятся на 4. Эта сумма равна сумме всех натуральных чисел, не превосходящих 160, без суммы натуральных чисел, кратных 4, т.е. 12 880 – 3280 = 9600. Ответ. Сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 160, которые не делятся на 4, равна 9600.

Задача № 6 В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 132, а сумма второго и третьего членов равна 110. Найдите первые три члена этой прогрессии.

Решение По характеристическому свойству геометрической прогрессии По условию задачи b 1 + b 2 = 132, b 1 = 132 – b 2 , b 2 + b 3 = 110 , b 3 = 110 – b 2 . Перемножив уравнения, получим b 1 · b 3 = (132 – b 2 )( 110 – b 2 ) . Полученное уравнение перепишем в виде: 132 b 2 + 110 b 2 = 14520 , 242 b 2 = 14520 , b 2 = 60 . Тогда b 1 = 132 – 60 = 72, b 3 = 110 – 60 = 50. Ответ. 72, 60, 50

Предостережение. 74% всех участников экзамена не приступали или не смогли решить это задание (наивысший балл получили 23% участников экзамена). Записав в ответ только два члена прогрессии, можно потерять один балл. Обратите внимание на критерии проверки: одна арифметическая ошибка – потеря одного балла, а две и более арифметических ошибок – потеря всех баллов за это задание

Задача № 7 Последовательность ( a n ) – арифметическая прогрессия. Известно, что а 5 + а 9 = 40. Найдите а 3 + а 7 + а 11 .

Задача № 8 Сумма третьего и тринадцатого членов арифметической прогрессии равна 11. Найдите сумму первых пятнадцати её членов

Задача № 9 Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии на 200 больше суммы следующих её членов. На сколько сумма первых десяти членов этой прогрессии больше суммы следующих десяти её членов?

Задача № 10 Числа являются четвёртым и седьмым членами геометрической прогрессии Найдите сумму четвёртого и десятого членов этой прогрессии .

Совет Формулы арифметической и геометрической прогрессий, используемые для решения, обязательно записывайте и в бланке, и на черновике. Закончив решение, запишите ответ, перечитав вопрос задания. Если останется время, проверьте ещё раз, что полученные числа образуют арифметическую или геометрическую прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Спасибо за внимание!