Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ К А Р Т А (план) З А Н Я Т И Я

Предмет Математика

Тема Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Вид занятия Теоретическое Время 90 минут

А. Наглядные пособия

Б. Раздаточный материал

В. Технические средства обучения

Г. Учебные места кабинет для лекционных занятий

Д. Литература

1. Алимов Ш. А. Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. – М.: Просвещение, 2001г

2. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учеб.пособие для ссузов. – М.: Дрофа, 2011.

Х О Д З А Н Я Т И Я

Содержание занятия

Приложение 1

План лекции:

1.Определение геометрической прогрессии

2.Вывод формулы п-го члена геометрической прогрессии.

3.Вывод формулы суммы n- первых членов геометрической прогрессии.

4. Определение бесконечной геометрической прогрессии.

5. Вывод формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии при | g|

1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

ЗАДАЧА.

В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении первой минуты одна из них делится на две. Запишите колонию, рожденную одной бактерией за семь минут.(см. рисунок).

.

. .

. . . .

. . . . . . . .

1). Выпишите последовательность в соответствии с условием задачи.

1;2;4;8;16;32;64.

или (b_п) - последовательность,

b₁ =1; b₂=2; b₃=4; b₄=8; b₅=16; b₆ =32; b₇ =64;

2) Найдите частное от деления последующего члена на предыдущий член.

b₃ : b₂ =4 : 2=2 ;

b₄ : b₃ =8 : 4=2;

b₅ : b₄ = 16 : 8=2; и т.д.

g -знаменатель прогрессии.

_ = b₂:b₁= b₃:b₂=b₄:b₃=…= b_п+1: b _п

3).Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.

b₂ = 2b₁

b₃= 2 b₂

b₄= 2b_3…..

b_п+1 = _ b _п

Такую последовательность в математике называют геометрической прогрессией.

4) Формулировка определения геометрической прогрессии.

Учащиеся пытаются дать определение геометрической прогрессии, а учитель помогает им.

5) Работа с учебником.

Учащиеся находят правило в учебнике, один из учащихся

читает определение вслух, учитель обращает внимание

учащихся на то, что в определение сказано «члены отличные

от нуля». Как вы думаете почему?

6).Найдите среднее геометрическое чисел 2 и 8; 4и 16; 8и 32;16и 64.

_=4

_ =8

_ = 16

_ =32

_= b_n

Из равенства _ = b₂:b₁= b₃:b₂=b₄:b₃=…= b_п: b _п-1 = b_п+1: b _п

ВЫВОД: Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое между предыдущим и последующим членами прогрессии. Отсюда и произошло название прогрессии.

7) Найдите произведение 1 и 7 членов, 2 и 6 членов, 3 и 5 членов геометрической прогрессии и сравните результаты.

b₁*b ₇ = 1 * 64=64

b₂*b ₆ = 2 * 32=64

b₃*b₅ = 4 *16=64

Вывод: b₁⋅b_п = b₂⋅b_п-1 = b₃⋅b_{n – 3} = … , т.е. произведение членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.

ЗАДАЧА.1. Дано: ( b_n )-геометрическая прогрессия, b₁ =3, _ =2.

Найти: первые пять членов прогрессии.

Решение:

b₂ = b₁* g = 3*2=6

b₃ = b₂* g =6*2=12

b₄ = b₃* g =12*2=24

b₅ = b₄* g =24*2=48

Ответ: 3; 6;12;24;48.

2.ВЫВОД ФОРМУЛЫ П-ГО ЧЛЕНА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

( b_n)-геометрическая прогрессия , b₁ , g.

b₂ = b₁* g

b₃ = b₂* g = b₁* g* g = b₁* g²

b₄ = b₃* g = b₁* g² * g = b₁* g³

b₅ = b₄* g = b₁* g³ * g = b₁* g⁴

…………………………………………….

b _n = b₁* g^n-1

- формула п-го члена геометрической прогрессии.

ЗАДАЧА.2. Дано: ( b_n)-геометрическая прогрессия, b₁ =8 , _ =_.

Найти: , b₆

Решение:

b _n = b₁* g^n-1

b ₆ = b₁* g^6-1

b ₆ = 8*( _⁵ = 8* _ = _ .

Ответ: b ₆ = _ .

3.ВЫВОД ФОРМУЛЫ СУММЫ n- ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

ЗАДАЧА-ПРОБЛЕМА 1.

Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: « Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000 рублей. А ты мне в первый день за 100 000 рублей дашь 1копейку, во второй день за 100 000 рублей – 2копейки и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в два раза. Если выгодна сделка тебе, то с завтрашнего дня и начнем». Купец обрадовался такой сделке. Он подсчитал, что за 30дней получит от незнакомца 3 000 000 рублей. На следующий день они пошли к нотариусу и узаконили сделку. Кто в этой сделке проиграл?

В этой задаче дана последовательность 1,2,4,8,16,32,64,128,256, ...,которая является геометрической прогрессией. Надо найти сумму тридцати первых членов этой геометрической прогрессии.

ЗАДАЧА-ПРОБЛЕМА.2.

По преданию, индийский принц Сирам, восхищенный остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, позвал к себе ее изобретателя ученого Сету и сказал ему: « Я желаю достойно вознаградить тебя за эту прекрасную игру. Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твое желание». Сета попросил принца положить на первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, на вторую- 2зерна, на третью-4зерна и т. д. Сможет ли принц расплатиться с ученым?

В этой задаче дана последовательность 1,2,4,8,16,…, которая является геометрической прогрессией. Надо найти сумму 64-х первых членов этой геометрической прогрессии.

( b_n) -геометрическая прогрессия , b₁ , g.

S_n - сумма п первых членов геометрической прогрессии

S_n = b₁ + b₂ + b₃ + b₄ + b₅+… + b_n-1 + b_n

S_n * g = b₁*g + b₂*g + b₃ *g+ b₄ *g + b₅ *g+… + b_n-1 *g+ b_n*g

S_n *g= b₂ + b₃ + b₄ + b₅+… + b_n + b_n *g

S_n *g - S_n = b_n *g - b₁

S_n (g-1) = b_n *g - b₁

S_n = _

формула суммы п первых членов геометрической прогрессии.

b _n = b₁* g^n-1

S_n = _

S_n = _

S_n = _

формула суммы п первых членов геометрической прогрессии.

Вернемся к предложенным задачам –проблемам .

К задаче 1.

S₃₀ = _ = _ =1073741824 -1 = 1 073 741 823 ( коп)

К задаче 2.

S₆₄ = _ = _ = 18 446 744 073 709 551 615 _ 18,5 *10¹⁸

Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности земли, считая и моря и океаны и горы и пустыни и Арктику и Антарктику и получить удовлетворительный урожай, то за пять лет он бы смог рассчитаться с изобретателем шахмат.

Задача 3 . Дано: ( b_n)-геометрическая прогрессия, b₁ =8 , _ =_.

Найти: S_5.

Решение:

S_n = _

S₅ = _

S₅ = _=8* ( - _) * ( -_) =15,5

Ответ: 15,5.

Задача 4 . Дано: 3; - 6; …. - геометрическая прогрессия.

Найти: S₆

Решение:

S_n = _

g = b₂:b₁= -6:3=-2.

S₆ = _

S₆ = _=_

Ответ: - 63.

4.БЕСКОНЕЧНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ.

ЗАДАЧА-ПРОБЛЕМА.

Ученик идет от стола учителя к двери. Первый шаг он делает длиной 1 метр, другой - полметра, третий- четверть метра и т.д. Дойдет ли ученик до двери, если до нее 3 метра?

Получили последовательность 1,1/2,1/4, 1/8,….Данная последовательность является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем g = _

Определение: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой |q|   первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа .

Найдем сумму всех членов геометрической прогрессии, т.е.

S_n = 1+_ +_ + _ +…..+ _

S_n = _

S_n = _= -2 * ( (_)ⁿ -1 ) = 2 - _ 2, т.к. при п ∞ вычитаемое стремится к нулю.

Ответ: ученик не сможет дойти до стола учителя.

5. ВЫВОД ФОРМУЛЫ СУММЫ БЕСКОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ПРИ | g|