Краткосрочный план урока на тему "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия".

Краткосрочный план № 37

Раздел долгосрочного плана: Раздел: Последовательности

Школа: Архиповская СШ

Дата: 04.12.19

ФИО учителя: Тарасенко Е. Л.

Класс: 9

Количество присутствующих:

отсутствующих:

Тема урока

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

9.2.3.8 применять формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии для перевода десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь;

Цели урока

Учащиеся будут:

• знать определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии;

• распознавать бесконечно убывающую геом-кую прогрессию среди данных последовательностей;

• находит сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Критерии оценивания

• Знает определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии

• Выводит формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

• Применяет формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии в решении задач

Языковые цели

Учащиеся будут:

• использовать предметную лексику и терминологию раздела при решении задач;

• аргументировать использование арифметической и геометрической прогрессий при решении задач;

• комментировать решение задач на банковский процент;

• комментировать решение задач на делимость, суммирование и доказательство неравенств.

Предметная лексика и терминология

• числовая последовательность;

• способы задания последовательностей;

• предыдущий член последовательности, последующий член последовательности;

• первый член последовательности и т.д., n-й член последовательности;

• формула n-го члена последовательности;

• рекуррентная формула;

• возрастающая, убывающая последовательность;

• бесконечно убывающая геометрическая прогрессия;

• метод математической индукции.

Серия полезных фраз для диалога/письма

• n –й член последовательности можно представить в виде формулы…;

• следующим элементом последовательности будет…;

• чтобы найти …член …прогрессии…;

• последовательность является убывающей/возрастающей, так как…;

• чтобы найти сумму …первых членов …прогрессии…;

• числа…являются членами геометрической прогрессии, так как…;

• так как а₁=…,а_n=…, то сначала нужно найти …;

• чтобы перевести периодическую дробь…в обыкновенную…;

• если утверждение истинно при …, то данное утверждение …истинно….

Межпредметные связи

геометрия, экономика

Предварительные знания

Числовая последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия

Ход урока

этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Начало урока

5 минут

- концентрация внимания учащихся. Проверка посещаемости, готовности к уроку

- проверка домашней работы

- сообщение темы и целей обучения

Середина урока

5 минут

7 минут

8 минут

5 минут

7 минут

Вопросы на повторение пройденного материала:

1. Определение арифметической прогрессии.

(Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом).

2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

( )

3. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

( или )

4. Определение геометрической прогрессии.

(Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число).

5. Формула n-го члена геометрической прогрессии

6. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Изучение новой темы.

Предложите учащимся начерить квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.

Привести учащихся к определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность. Например, последовательность площадей квадратов:

. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.

Записать определение: геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Парная работа. Дается последовательность формулой, учащиеся определяют является ли бесконечно убывающей прогрессией.

Задача №1. Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:

а)

Решение:

а) данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б) данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Практическая работа. Индивидуальная работа.

Предложите учащимся рассмотреть квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна ….

Приведите учащихся к выводу формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.   Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим сумму n первых слагаемых. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна . Если n неограниченно возрастает, то

Записать определение. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма её первых n членов при n → . Теперь получим формулу, с помощью которой будем вычислять сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Рассмотрим формулу n первых членов геометрической прогрессии.

Закрепление нового материала. Парная работа.

Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3,вторым 0,3.

Решение:

Задача №3.  Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 

Решение:

Задача №4.  Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если 

Решение:

Конец

3 минуты

Рефлексия

Я узнал ..................
Я изучил..... ......
Я запомнил .........

Домашнее задание: задание №4 по карточке

Дифференциация

Оценивание

Здоровье и соблюдение ТБ

Урок планируется таким образом, чтобы менее уверенных учеников поддерживала парная работа, где они могут в диалоге учиться у других и смотреть на подходы более уверенных обучающихся.

Формирующее оценивание посредством наблюдения за участием учеников в работе и обсуждении.

Прогресс и обратная связь от парной деятельности будет тщательно соблюдаться для измерения вклада отдельных лиц и выявления любых недоразумений.

Уровень заданий соответвует возрастной категории.

Рефлексия по уроку

Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?

Все ли учащиеся достигли ЦО?

Если нет, то почему?

Правильно ли проведена дифференциация на уроке?

Выдержаны ли были временные этапы урока?

Какие отступления были от плана урока и почему?

Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.

Цели урока были реалистичными, все учащиеся достигли целей урока.

Временные рамки не были выдержаны. Учащиеся не успели решить задание №4 по карточке, которое стало домашним заданием.

Дифференциация проведена правильно. Более уверенные в своих силах учащиеся поддерживали менее уверенных во время парной работы.