kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Задачи для повторения геометрии треугольника

Нажмите, чтобы узнать подробности

Предлагаются задачи на повторении геометрии треугольника. Ко всем задачам даны чертежи и решения.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Задачи для повторения геометрии треугольника»

Задачи для повторения геометрии треугольника


Средняя линия трапеции равна 10 см и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми равна 4 см. Найдите основания трапеции.

Дано: ABCD-трапеция, MN- ср. линия,

MN=10 см, KN-MK=4 см

Найти: BC, AD

Решение.


1) Рассмотрим AВС; МK-ср. линия (т. Фалеса, MN-ср. линия трапеции) . BC=2·MK (*)

2) Аналогично, AD=2·KN (**).

3) Пусть МK=x, тогда KN=x+4, MK+KN=MN, что

по условию равно 10 см..

Составляем уравнение: x+(x+4)=10, откуда x=3.

x+4=7, т. е. KN=7. Из равенств (*) и (**) следует, что BC=6 см, а AD=14 см.

Ответ: 6 см, 14 см.


В треугольнике АВС проведена медиана СМ. Найдите площадь треугольника АВС, если ВС =5 м, АВ = 10 м, BCM = 45°.

Дано: ABC, СМ- медиана, ВС=5м, АВ=10 м,

ВСМ=45º.

Найти: SАВС


Решение.


Рассмотрим МВС; МВ=5 м (т.к. СМ-медиана)

Пусть МС=x, тогда по теореме косинусов:

МВ2=ВС2+МС2- 2·ВС· МС· cosВСМ,

25=50+x2-2·x·5·,

x2-10x+25=0,

x=5, т.е. МС=5

SАВС=2· SМВС (медиана МС делит ABC на два равновеликих треугольника)

SМВС =ВС ·МС· sin 450=·5√2 ·5 ·=.

SАВС=25м2.

Ответ: 25 м2.



Найдите периметр ромба, если известно, что один из его углов равен 60°, а высота ромба равна см.

Дано: ABCD-ромб, ADC=60º, AK-высота

ромба, AK=см.

Найти: PABCD

Решение.


Рассмотрим ADK- прямоугольный (AKDC),

sinADK=sin60º=. Отсюда следует, что =.

Следовательно, AD=2, значит, PABCD=8 см.

Ответ: 8 см


В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 15 м, вписана окружность радиуса 4,5 м. Найдите площадь трапеции.

Дано: ABCD-равноб. трапеция, AB=15 м,

ON=r=4,5 м

Найти: SАВСD


Решение.


BK=2r=9 м (как высота трапеции, в которую вписана окружность радиуса r)

ABK-прямоугольный, по т. Пифагора AK==12 м.

ABK= МCD (как прямоугольные треугольники, по гипотенузе и катету, а именно: AB=CD, BK=CM), откуда следует, что AK=MD.

BKAD, CMAD, значит KBCM-прямоугольник.

Пусть BC=x, тогда по свойству описанного около окружности четырехугольника: AD+BC=AB+CD, т.е. 12+x+12+x=15+15. Отсюда следует, что x=3, значит BC=3 м, AD=27 м

SАВСD = ·BK, SАВСD=135 м2.

Ответ: 135 м2

Найдите сторону правильного шестиугольника, вписанного в круг, если площадь круга равна 9 см2.

Дано: ABCDMN-правильный шестиугольник, вписан в круг

Sкр.=9см2.

Найти: AB

Решение.


Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, связана с радиусом этой окружности следующим соотношением: AB=R, где R-радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности найдем из равенства: . R2=9, где R2-площадь круга. AB=R=3


Ответ: 3 см


Большее основание равнобедренной трапеции равно 10 м, боковая сторона равна 8 м, а диагональ равна 12 м. Найдите меньшее основание трапеции.


Дано: ABCD-равноб. трапеция, AB=8 м,

AD=10 м, BD=12 м.

Найти: BC


Решение.


Проведем BKAD, CMAD (BKMC- прямоугольник) . Пусть AK=x, тогда из прямоугольного ABK по т. Пифагора BK2= AB2-AK2. Из прямоугольного DBK по т. Пифагора BK2=BD2-KD2.

ABK= МCD (как прямоугольные треугольники, по гипотенузе и катету, а именно: AB=CD, BK=CM), откуда следует, что MD= AK=x. Имеем 82-x2=122-(10-x)2, откуда x=1, а значит, BC=8 (м).

Ответ: 8 м


В окружность вписан прямоугольник, стороны которого равны 5 см и 12 см. Найдите длину этой окружности.

Дано: ABCD-прямоугольник, вписан в окружность,

AB=5 см, BC=12 cм

Найти:


Решение.


AC- диаметр окружности, т.к. ABC-прямоугольный. По т. Пифагора AC2= AB2+BC2, откуда АС=13 см.

=·d, где d-диаметр окружности, т.е. =·13=13

Ответ: 13см


Найдите площадь параллелограмма ОМРК, если его сторона КР равна 10 м, а сторона МР, равная 6 м, составляет с диагональю МК угол, равный 45°.

Дано: OMPK- параллелограмм.,

KP=10 м, MP=6 м, PMK=45º.

Найти:SOMPK


Решение.

I способ

Пусть MK=x. По теореме косинусов: PK2=MK2+ MP2 – 2MK·MP·cos 45º, т.е.

102=x2+62– 2x·6·, откуда x=3+. SOMPK =2 SMPK ( параллелограмм диагональю MK разбивается на два равных треугольника). SOMPK=2··6·(3+)·sin45º, откуда

SOMPK=18+3≈56 м2.

II способ


Пусть MK=x. По теореме синусов:=, откуда sin=0,4226, а значит, MKP=25º.


PMO=45º+25º=70º. SOMPK=MO·MP·sin70º=10·6·0,94≈56 м2.


Ответ: 56 м2.


В прямоугольнике точка пересечения диагоналей удалена от меньшей стороны на 8 см дальше, чем от большей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 112 см.


Дано: ABCD-прямоугольник, OM-OK=8 см,

PABCD=112 см.

Найти: AB и BC

Решение.


Пусть AM=x см, AK=y см. Тогда, согласно условию, имеем:

y-x=8 и 2x+2y=56, откуда x=10, y=18. следовательно,

AB=20 см, BC=36 см.

Ответ:20 см, 36 см.


Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если средняя линия трапеции равна 18 м, а косинус угла при основании трапеции равен .

Дано: ABCD-равноб. трапеция, MN-ср. линия,

MN=18 м, cos BAK=.

Найти: r


Решение.


По свойству описанного около окружности четырехугольника: AD+BC=AB+CD. Т.к. ABCD-равноб. трапеция, то AB=CD, а значит AD+BC=2AB. Откуда, AB= =MN=18 м.

BK=2r (как высота трапеции, в которую вписана окружность радиуса r)

ABK-прямоугольный, BK=ABsinBAK.

sinBAK==.

BK=18·=14,4 м, а значит, r=7,2 м.

Ответ: 7,2 м.



Найдите периметр ромба, если известно, что один из углов ромба равен 120°, а меньшая диагональ равна 7 см.


Дано: ABCD-ромб, BAD=120º, AC=7см.


Найти: PABCD

Решение.


AO=OC (по свойству диагоналей), откуда АО=3,5 см.

Рассмотрим AOB- прямоугольный (ACBD), ABO=30º, а значит , AB=7 см (по свойству катета, лежащего против угла в 30 градусов AO=AB). PABCD=4AB=28 см.

Ответ: 28 см


Площадь равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равна 160м2, боковая сторона равна 20 м. Высоты ВК и АН пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника АВО.



Дано: ABC-равнобедр, SАВС=160 м2, AВ=20 м,

Найти: SАВO


Решение.

SАВС= AC ·BK, BK= SАВС: AC=160:10=16 м.

ABK-прямоугольный, AK2=AB2-BK2

AK2=400-256, AK=12 м, тогда KC=8 м.

sinAВK====0,6.

3) BCK-прямоугольный, BC2= BK2+KC2,

BC2=162+82=320, BC=.

4)ABC- равнобедр, AH-медиана ( высота равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию является медианой), а значит, BH=·BC=0,5

5) BOH~BCK (прямоугольные, KВH-общий)

=, =, откуда BO=10 м.

SАВO= AB·BO· sinAВK=·20·10·0,6=60 м2.

Ответ: 60 м2


Найдите высоту равнобедренной трапеции, если известно, что ее основания равны 24 см и 34 см, а боковая сторона равна 13 см.


Дано: ABCD-равноб. трапеция, AB=13 см,

AD=34 см, BC=24 см.

Найти: BK


Решение.


Проведем BKAD, CMAD (BKMC- прямоугольник), а

значит KM=BC=24 см.

Из прямоугольного ABK по т. Пифагора BK2= AB2-AK2.

ABK= МCD (как прямоугольные треугольники, по гипотенузе и катету, а именно: AB=CD, BK=CM), откуда следует, что MD= AK=(34-24):2=5 см.

Имеем BK2=132-52=144. Тогда BK=12 см.

Ответ: 12 см


В треугольнике СЕН C = 60°, точка Т делит сторону СЕ на отрезки СТ =4м и ЕТ=5м, CHT = CEH. Найдите площадь треугольника СНТ.

Дано: CEH, CHT=CEH, CT=4 м, ET=5 м

Найти: SCHT


Решение.


1) CEH~CTH (по двум углам, С-общий, CHT=CEH), а значит


=, откуда CH2=CT·CE

CH2=4·9=36, т.е. CH=6 м

2) SCHT= CT·CH· sin60º=·4·6·=6м2.

Ответ: 6м2.


Найдите площадь круга, описанного около квадрата со стороной 8 см.

Дано: ABCD-квадрат, вписан в окружность,

AB=8 см

Найти:Sкр.


Решение.


1) Сторона квадрата, вписанного в окружность, и радиус R этой окружности связаны соотношением: R=, где a-сторона квадрата. R==4см.

2) Sкр.= ·R2=32 см2.

Ответ: 32 см2


В остроугольном треугольнике MNK на стороне MK отмечена точка P, такая, что K = MNP. Найдите сторону MN, если известно, что сторона MK = 16 м, а отрезок MP = 4 м.


Дано: MNK-остроугольный,K=MNP,

MK=16 м, MP=4 м

Найти: MN

Решение.


MNP~MNK (по двум углам, M-общий, K=MNP), а значит

=, откуда MN2=MP·MK=64, MN=8 м

.

Ответ: 8 м.



Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Прочее

Целевая аудитория: 9 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Задачи для повторения геометрии треугольника

Автор: Зубавленко Людмила Алексеевна

Дата: 06.02.2017

Номер свидетельства: 388607

Похожие файлы

object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(120) "Задачи на построение. Построение треугольника по трем элементам. "
    ["seo_title"] => string(72) "zadachi-na-postroieniie-postroieniie-trieughol-nika-po-triem-eliemientam"
    ["file_id"] => string(6) "210734"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1431495949"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(71) "9 класс рабочая программа по геометрии "
    ["seo_title"] => string(44) "9-klass-rabochaia-proghramma-po-ghieomietrii"
    ["file_id"] => string(6) "222913"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1436954922"
  }
}
object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(94) "Аннотация к рабочей программе по геометрии 9 класс. "
    ["seo_title"] => string(59) "annotatsiia-k-rabochiei-proghrammie-po-ghieomietrii-9-klass"
    ["file_id"] => string(6) "218117"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1433660425"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(170) "Конспект урока геометрии по теме "Построение треугольника по трем элементам" с презентацией "
    ["seo_title"] => string(106) "konspiekt-uroka-ghieomietrii-po-tiemie-postroieniie-trieughol-nika-po-triem-eliemientam-s-priezientatsiiei"
    ["file_id"] => string(6) "122600"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1414307092"
  }
}
object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(161) "конспект урока на тему "Решение задач на применение признаков равенства треугольников" "
    ["seo_title"] => string(97) "konspiekt-uroka-na-tiemu-rieshieniie-zadach-na-primienieniie-priznakov-ravienstva-trieughol-nikov"
    ["file_id"] => string(6) "167717"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1423132835"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства