Задачи для повторения геометрии треугольника

Задачи для повторения геометрии треугольника

Средняя линия трапеции равна 10 см и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми равна 4 см. Найдите основания трапеции.

Дано: ABCD-трапеция, MN- ср. линия,

MN=10 см, KN-MK=4 см

Найти: BC, AD

Решение.

1) Рассмотрим AВС; МK-ср. линия (т. Фалеса, MN-ср. линия трапеции) . BC=2·MK (*)

2) Аналогично, AD=2·KN (**).

3) Пусть МK=x, тогда KN=x+4, MK+KN=MN, что

по условию равно 10 см..

Составляем уравнение: x+(x+4)=10, откуда x=3.

x+4=7, т. е. KN=7. Из равенств (*) и (**) следует, что BC=6 см, а AD=14 см.

Ответ: 6 см, 14 см.

В треугольнике АВС проведена медиана СМ. Найдите площадь треугольника АВС, если ВС =5 м, АВ = 10 м, BCM = 45°.

Дано: ABC, СМ- медиана, ВС=5м, АВ=10 м,

ВСМ=45º.

Найти: S_АВС

Решение.

Рассмотрим МВС; МВ=5 м (т.к. СМ-медиана)

Пусть МС=x, тогда по теореме косинусов:

МВ²=ВС²+МС²- 2·ВС· МС· cosВСМ,

25=50+x²-2·x·5·,

x²-10x+25=0,

x=5, т.е. МС=5

S_АВС=2· S_МВС (медиана МС делит ABC на два равновеликих треугольника)

S_МВС =ВС ·МС· sin 45⁰=·5√2 ·5 ·=.

S_АВС=25м².

Ответ: 25 м².

Найдите периметр ромба, если известно, что один из его углов равен 60°, а высота ромба равна см.

Дано: ABCD-ромб, ADC=60º, AK-высота

ромба, AK=см.

Найти: P_ABCD

Решение.

Рассмотрим ADK- прямоугольный (AKDC),

sinADK=sin60º=. Отсюда следует, что =.

Следовательно, AD=2, значит, P_ABCD=8 см.

Ответ: 8 см

В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 15 м, вписана окружность радиуса 4,5 м. Найдите площадь трапеции.

Дано: ABCD-равноб. трапеция, AB=15 м,

ON=r=4,5 м

Найти: S_АВСD

Решение.

BK=2r=9 м (как высота трапеции, в которую вписана окружность радиуса r)

ABK-прямоугольный, по т. Пифагора AK==12 м.

ABK= МCD (как прямоугольные треугольники, по гипотенузе и катету, а именно: AB=CD, BK=CM), откуда следует, что AK=MD.

BKAD, CMAD, значит KBCM-прямоугольник.

Пусть BC=x, тогда по свойству описанного около окружности четырехугольника: AD+BC=AB+CD, т.е. 12+x+12+x=15+15. Отсюда следует, что x=3, значит BC=3 м, AD=27 м

S_АВСD = ·BK, S_АВСD=135 м².

Ответ: 135 м²

Найдите сторону правильного шестиугольника, вписанного в круг, если площадь круга равна 9 см².

Дано: ABCDMN-правильный шестиугольник, вписан в круг

S_кр.=9см².

Найти: AB

Решение.

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, связана с радиусом этой окружности следующим соотношением: AB=R, где R-радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности найдем из равенства: . R²=9, где R²-площадь круга. AB=R=3

Ответ: 3 см

Большее основание равнобедренной трапеции равно 10 м, боковая сторона равна 8 м, а диагональ равна 12 м. Найдите меньшее основание трапеции.

Дано: ABCD-равноб. трапеция, AB=8 м,

AD=10 м, BD=12 м.

Найти: BC

Решение.

Проведем BKAD, CMAD (BKMC- прямоугольник) . Пусть AK=x, тогда из прямоугольного ABK по т. Пифагора BK²= AB²-AK². Из прямоугольного DBK по т. Пифагора BK²=BD²-KD².

ABK= МCD (как прямоугольные треугольники, по гипотенузе и катету, а именно: AB=CD, BK=CM), откуда следует, что MD= AK=x. Имеем 8²-x²=12²-(10-x)², откуда x=1, а значит, BC=8 (м).

Ответ: 8 м

В окружность вписан прямоугольник, стороны которого равны 5 см и 12 см. Найдите длину этой окружности.

Дано: ABCD-прямоугольник, вписан в окружность,

AB=5 см, BC=12 cм

Найти:

Решение.

AC- диаметр окружности, т.к. ABC-прямоугольный. По т. Пифагора AC²= AB²+BC², откуда АС=13 см.

=·d, где d-диаметр окружности, т.е. =·13=13

Ответ: 13см

Найдите площадь параллелограмма ОМРК, если его сторона КР равна 10 м, а сторона МР, равная 6 м, составляет с диагональю МК угол, равный 45^°.

Дано: OMPK- параллелограмм.,

KP=10 м, MP=6 м, PMK=45º.

Найти:S_OMPK

Решение.

I способ

Пусть MK=x. По теореме косинусов: PK²=MK²+ MP² – 2MK·MP·cos 45º, т.е.

10²=x²+6²– 2x·6·, откуда x=3+. S_{OMPK =}2 S_MPK ( параллелограмм диагональю MK разбивается на два равных треугольника). S_OMPK=2··6·(3+)·sin45º, откуда

S_OMPK=18+3≈56 м².

II способ

Пусть MK=x. По теореме синусов:=, откуда sin=0,4226, а значит, MKP=25º.

PMO=45º+25º=70º. S_OMPK=MO·MP·sin70º=10·6·0,94≈56 м².

Ответ: 56 м².

В прямоугольнике точка пересечения диагоналей удалена от меньшей стороны на 8 см дальше, чем от большей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 112 см.

Дано: ABCD-прямоугольник, OM-OK=8 см,

P_ABCD=112 см.

Найти: AB и BC

Решение.

Пусть AM=x см, AK=y см. Тогда, согласно условию, имеем:

y-x=8 и 2x+2y=56, откуда x=10, y=18. следовательно,

AB=20 см, BC=36 см.

Ответ:20 см, 36 см.

Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если средняя линия трапеции равна 18 м, а косинус угла при основании трапеции равен .

Дано: ABCD-равноб. трапеция, MN-ср. линия,

MN=18 м, cos BAK=.

Найти: r

Решение.

По свойству описанного около окружности четырехугольника: AD+BC=AB+CD. Т.к. ABCD-равноб. трапеция, то AB=CD, а значит AD+BC=2AB. Откуда, AB= =MN=18 м.

BK=2r (как высота трапеции, в которую вписана окружность радиуса r)

ABK-прямоугольный, BK=ABsinBAK.

sinBAK==.

BK=18·=14,4 м, а значит, r=7,2 м.

Ответ: 7,2 м.

Найдите периметр ромба, если известно, что один из углов ромба равен 120°, а меньшая диагональ равна 7 см.

Дано: ABCD-ромб, BAD=120º, AC=7см.

Найти: P_ABCD

Решение.

AO=OC (по свойству диагоналей), откуда АО=3,5 см.

Рассмотрим AOB- прямоугольный (ACBD), ABO=30º, а значит , AB=7 см (по свойству катета, лежащего против угла в 30 градусов AO=AB). P_ABCD=4AB=28 см.

Ответ: 28 см

Площадь равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равна 160м², боковая сторона равна 20 м. Высоты ВК и АН пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника АВО.

Дано: ABC-равнобедр, S_АВС=160 м², AВ=20 м,

Найти: S_АВO

Решение.

S_АВС= AC ·BK, BK= S_АВС: AC=160:10=16 м.

ABK-прямоугольный, AK²=AB²-BK²

AK²=400-256, AK=12 м, тогда KC=8 м.

sinAВK====0,6.

3) BCK-прямоугольный, BC²= BK²+KC²,

BC²=16²+8²=320, BC=.

4)ABC- равнобедр, AH-медиана ( высота равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию является медианой), а значит, BH=·BC=0,5

5) BOH~BCK (прямоугольные, KВH-общий)

=, =, откуда BO=10 м.

S_АВO= AB·BO· sinAВK=·20·10·0,6=60 м².

Ответ: 60 м²

Найдите высоту равнобедренной трапеции, если известно, что ее основания равны 24 см и 34 см, а боковая сторона равна 13 см.

Дано: ABCD-равноб. трапеция, AB=13 см,

AD=34 см, BC=24 см.

Найти: BK

Решение.

Проведем BKAD, CMAD (BKMC- прямоугольник), а

значит KM=BC=24 см.

Из прямоугольного ABK по т. Пифагора BK²= AB²-AK².

ABK= МCD (как прямоугольные треугольники, по гипотенузе и катету, а именно: AB=CD, BK=CM), откуда следует, что MD= AK=(34-24):2=5 см.

Имеем BK²=13²-5²=144. Тогда BK=12 см.

Ответ: 12 см

В треугольнике СЕН C = 60°, точка Т делит сторону СЕ на отрезки СТ =4м и ЕТ=5м, CHT = CEH. Найдите площадь треугольника СНТ.

Дано: CEH, CHT=CEH, CT=4 м, ET=5 м

Найти: S_CHT

Решение.

1) CEH~CTH (по двум углам, С-общий, CHT=CEH), а значит

=, откуда CH²=CT·CE

CH²=4·9=36, т.е. CH=6 м

2) S_CHT= CT·CH· sin60º=·4·6·=6м².

Ответ: 6м².

Найдите площадь круга, описанного около квадрата со стороной 8 см.

Дано: ABCD-квадрат, вписан в окружность,

AB=8 см

Найти:S_кр.

Решение.

1) Сторона квадрата, вписанного в окружность, и радиус R этой окружности связаны соотношением: R=, где a-сторона квадрата. R==4см.

2) S_кр.= ·R²=32 см².

Ответ: 32 см²

В остроугольном треугольнике MNK на стороне MK отмечена точка P, такая, что K = MNP. Найдите сторону MN, если известно, что сторона MK = 16 м, а отрезок MP = 4 м.

Дано: MNK-остроугольный,K=MNP,

MK=16 м, MP=4 м

Найти: MN

Решение.

MNP~MNK (по двум углам, M-общий, K=MNP), а значит

=, откуда MN²=MP·MK=64, MN=8 м

.

Ответ: 8 м.