Задачи на движение по окружности

Движение по окружности

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут

следом за ним отправился мотоциклист.Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз.

Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/

Решение. Пусть х - скорость велосипедиста. Т.к. до первой встречи велосипедист ехал 30+10=40 мин, а мотоциклист 10 мин, то скорость мотоциклиста будет в четыре раза больше, т.е. 4х.

Дальше выражаем минуты в часах.

0,5х - это расстояние, которое проехал велосипедист после первой встречи до второй встречи за полчаса.30+0,5х - проехал мотоциклист после первой встречи до второй встречи. Это же расстояние равно 4х*0,5 км.Уравнение: 30 + 0,5x = 4x*0,5

30+0,5x=2x1,5x=30

x = 20 км/ч - скорость велосипедиста 4·20 = 80 км/ч - скорость мотоциклиста.

Ответ: 20 и 80.

Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в противоположных направлениях - через каждые 16мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?

Решение. Пусть скорость первого тела х м/мин, а второго у м/мин, и пусть длина окружности равна L.Тела начинают двигаться одновременно из одной точки.

За 112 мин первое тело пройдет дугу 112х, а второе 112у.

Причем, второе проходит окружность + дугу 112х. Уравнение 112у - 112х =L (1)

При движении в противоположных направлениях : 16у + 16х = L (2)

40 - 26 = 14 метров тела прошли навстречу друг другу за 12сек=1/5 мин : 12(х + у) = 14 (3)

Вычтем из (1) - (2). Получим 96у -128х = 0 -- 3у = 4х -- х= 3у/4.

Подставим в (3): 1/5 *(3у/4 +у) =14 у=40, х=30 - скорости тел.

Из (2) найдем L: 16(у+х) = 16(40 + 30) = 1120 - длина окружности.

Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг.

Решение.

Пусть длина окружности равна S метров (в этой задаче и спорте её называют круговой лыжней и кругом).Пусть первый лыжник проходит 1 круг за х минут, тогда второй - за х+2 минуты. Скорость первого лыжника S/x м/мин, а второго S/(x+2) м/мин.

За 1 час первый проходит 60*S/x метров, а второй 60*S/(x+2) метров. А т.к. первый проходит на 1 круг больше, т.е. на S метров, то получаем уравнение:

60·S/x - 60·S/(x+2) = S, разделим обе части на S.

60/x - 60(x+2) =1 -- x2 + 2x - 120 = 0 -- x=10 (х=–12 не удовл. усл.)

Первый проходит круг за 10 минут, а второй за 12. Ответ: 12.

Два тела движутся по окружности в одну сторону. Первое проходит круг на 3 минуты быстрее второго и догоняет второе каждые полтора часа. За сколько минут первое тело проходит один круг?

Решение. Пусть длина окружности S.

Пусть первое тело проходит 1 круг за t минут, тогда за 1 минуту тело проходит путь S/t, аналогично второе — за минуту S/ (t+3) за 90 минут первое - 90*S/t, второе 90*S/(t+3).

составим уравнение:90S/t = 90S/(t+3) + S

90/t - 90/(t+3) = 1

t2 +3t - 270 = 0

t=15, t=-18 (не подходит)Ответ: 15.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 20 км. Через сколько минут мотоциклы поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 12 км/ч больше скорости другого?

Решение.Изначально расстояние между мотоциклистами равно 20:2 = 10 км.

Пусть второй догонит первого через t часов (первый раз). У первого скорость х км/ч, а у второго х+12 км/ч.

Разница пройденного пути 10 км. t(x+12) - tx = 10 tx +12t - tx = 10

12t = 10; t=10/12 часа = 10*60/12 минут = 50 минут.

Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. Первое тело к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второе, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 16 минут после встречи.

Решение. Пусть второе тело проходит до встречи х км, тогда первое проходит х+100 км. После встречи первое за 9 минут пройдет х метров со скоростью v1=x/9, а второе за 16 минут пройдет х+100 метров со скоростью v2=(х+100)/16.

До встречи время первого (х+100)/v1 = 9(x+100)/x, время второго до встречи х/v2= 16x/(x+100).

Приравняем 9(х+100)/х = 16х/(х+100)

9(х+100)2 = 16х2

3(х+100)=4х

3х+300=4х х=300

Весь путь равен х+х+100=700 Ответ: 700.

Ответ: 50.