Задачи экономического содержания

Бутко Сергей Васильевич-учитель математики высшей категории К.Г.У. Вечерняя средняя общеобразовательная школа при Е.С. учреждение 164\3 г Петропавловска Сев.Каз.обл.

Прикладные задачи экономического содержания

Глубокие связи, существующие между математи­кой и экономикой на научном уровне, должны най­ти адекватное отражение в связях между соответ­ствующими учебными дисциплинами, особенно при подготовке учащихся для поступления в учебные заведения, где изучают экономику. Поэтому учителю математики при изучении раз­личных математических понятий и фактов целесооб­разно предлагать учащимся задачи, иллюстрирующие приложение изучаемой теории для решения эконо­мических задач. Решение таких задач позволит уча­щимся на конкретных примерах увидеть, как абст­рактные математические понятия и факты можно эффективно применять в профильной для них дис­циплине, что будет способствовать развитию положи­тельной мотивации учащихся в математической под­готовке.

Приведу несколько примеров прикладных за­дач экономического содержания, которые можно предлагать учащимся, как на уроках математики, так и на внеклассных заня­тиях.

1. При цене билета на футбольный матч в 450 тг. на стадион вместимостью 40 тысяч человек пришло 5 тысяч зрителей. При снижении цены билета до 200 тг. на матч с участием тех же команд число бо­лельщиков, решивших посетить матч, увеличилось до 30 тысяч человек. На основе анализа статистичес­ких данных было установлено, что спрос на билеты задается линейной функцией. Определите, какую цену на билет должна установить администрация стадио­на, чтобы во время игры данных команд стадион был заполнен полностью.

Решение. Перед составлением математической мо­дели данной задачи учащиеся должны вспомнить из курса экономики, что функцией спроса на данный товар называют сложившуюся на определенный мо­мент времени зависимость между ценой товара р. и величиной спроса на него q

Перейдем теперь к составлению математической модели ситуации, описанной в задаче.

Пусть q (тыс. шт.) — количество купленных биле­тов, а р (р.) — цена одного билета. По условию зада­чи зависимость количества купленных билетов от цены характеризуется линейной функцией, поэтому функция спроса на билеты имеет вид: q = kp + с.

Так как при р = 450 q = 5, а при р = 200 q = 30, то для нахождения k и с имеем систему 450k + с = 5,

200k + с = 30.

Решением системы являются k = -0,1 и с = 50.

Следовательно, спрос на билеты описывается сле­дующей функцией:

q = -0,1р + 50.

Теперь можем ответить на вопрос задачи.

Для этого составим уравнение -0,1р + 50 = 40, решив которое, заключаем, что q = 40 при р = 100.

Итак, болельщики заполняют стадион полностью, если администрация установит за билет цену в раз­мере 100 тг.

Рассмотрим теперь примеры задач, позволяющих оценить возможные последствия и направления ре­гулирования цен на различных рынках (на валют­ном рынке, на рынке товара и рынке труда), если известны соответствующие функции спроса и пред­ложения.

Начнем с рассмотрения мероприятий, связанных с регулированием валютного рынка.

2. На валютном рынке сложилась следующая си­туация: при курсе 100 тг../долл. объем рыночного пред­ложения валюты равен нулю, а величина спроса со­ставляет 300 млн. долл. Кроме того, известно, что при курсе 150 тг./долл. рынок находится в равновесии и равновесный объем продаж валюты составляет 40 млн. долл. Исследования финансовых аналитиков показали, что зависимости величины спроса и объе­ма предложения валюты от ее цены характеризуются линейными функциями. Определите, какой объем валюты должен продать или купить Центральный банк, чтобы снизить равновесный курс до 125 тг./долл.?

Решение. Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо знать объемы спроса и предложения при курсе 125 тг./долл., то есть нужно определить значе­ния функций спроса и предложения при данном ва­лютном курсе. Для этого потребуется общий вид фун­кций спроса и предложения.

Здесь учащимся необходимо вспомнить некоторые экономические понятия и факты.

Как было отмечено выше, функция спроса на то­вар характеризует зависимость между ценой товара и величиной спроса на него. Аналогично определяется и функция предложения товара — это функция ,

описывающая сложившуюся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже. Состояние: равновесия на рынке характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса на товар совпадает с величиной его предложения.

Так как по условию задачи спрос и предложение задаются линейными функциями, то можно записать, что функция спроса имеет вид

q =k₁р+с₁, а функция предложения q =k₂р + с₂, где р — цена валюты в тг./долл., q— объем покупки/продажи валюты в млн долл.

Учитывая условие задачи, для нахождения значений k₁ , k₂, с₁ и с₂ составим две системы:

100k₁ + c₁ = 300, 100k₂ +c₂ = 0,

150k₁ + c₁ = 200; 150k₂ + c_{2 =} 200;

Решив первую систему, получим, что k₁ = -2. c_{1 =} 500. Таким образом, функция спроса на валюту имеет следующий вид: q = -2р +500.

Решением второй системы является пара k₂ = 4, с₂ = -400.

Таким образом, предложение валюты зада­ется функцией q = 4р - 400.

Рассчитаем объем спроса и объем предложения при курсе валюты 125 тг./долл.

Если р =125, то, подставив данное значение р в функцию спроса, имеем q = 250, то есть величина спро­са на валюту при данном курсе составит 250 млн долл. Аналогично, подставив р=125 в функцию предложе­ния, получаем q = 100, то есть объем предложения валюты равен 100 млн долл.

Таким образом, при курсе 125 тг./долл. величина спроса на валюту превышает объем ее предложе­ния на 150 млн долл., то есть на рынке валюты на­блюдается избыточный спрос. Откуда заключаем, что для того, чтобы снизить равновесный курс дол­лара до 125 тг./долл., Центральному банку необхо­димо увеличить предложение валюты, продав для этого 150 млн долл.

Рассмотрим теперь примеры оценки последствий государственного регулирования рыночных цен на рынке товара.

3. В сентябре спрос на персики в городе М. задает­ся следующей функцией: q = 700 - 2р, а предложе­ние — функцией q = 100+ 4р, где р — цена 1 кг персиков тенге, q — количество персиков в кило­граммах.

а) Определите параметры рыночного равновесия на
рынке персиков.

б) Что произойдет на рынке данного товара, если
акимат города М., заботясь о здоровье граждан, решит
стимулировать потребление населением персиков и с:
этой целью зафиксирует верхний предел цены персиков на уровне 75тг. за 1 кг?

Решение. Параметры рыночного равновесия определяем из системы

q =700 – 2р,

q= 100 + 4р.

Решением системы являются р =100, q = 500.

Таким образом, равновесная цена персиков равна 100 р. за 1 кг, а равновесный объем продаж составля­ет 500 кг.

б) Понижение цены до 75 р. за килограмм приве­дет к стимулированию потребительского спроса до 550 кг и к одновременному снижению величины пред­ложения до 400 кг. Другими словами, при снижении цены потребители действительно захотят увеличить потребление персиков до 550 кг, но купить смогут ровно столько, сколько продавцы им продадут, то есть 400 кг. При этом величина спроса на персики превы­сит величину их предложения на 150 кг, то есть сни­жение цены приведет к тому, что в городе М. возник­нет дефицит персиков в размере 150 кг.

4. Функция спроса на некоторый товар имеет вид q = 1200 - Зр, а предложение данного товара задается функцией q = 7р - 800, где р — цена единицы товара в тенге, q — количество товара в штуках.

а) Чему равны равновесные значения цены и количества?

б) Допустим, что государственными органами кон­троля рыночных цен установлен верхний предел цены на данный товар в размере 150 тг. Охарактеризуйте последствия данной меры качественно и в количественном выражении.

Решение, а) Для определения равновесных значений количества товара и цены единицы товара составляем систему

q = 1200 – 3p.

q = 7p -800;

решив которую по­лучаем, что р = 200, q = 600.

Итак, имеем, что равновесие достигается при цене 200 тг. за единицу товара и количестве товара 600 шт.

б) Для ответа на второй вопрос задачи вычислим величину спроса и величину предложения при цене 150тг.: если р = 150, то потребители готовы купить 750 шт., а производители готовы продать 250 шт.

Таким образом, в результате действий со стороны государства возникнет дефицит данного товара в ко­личестве 500 шт.

6