Решение текстовых задач с экономическим содержанием

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №24»

Решение текстовых задач с экономическим содержанием

Выполнила:

Генералова Елена Григорьевна,

учитель математики высшей квалификационной категории

Саратов 2015 г.

Задачи на вычисление сложных процентов

Процент – одна из самых трудных тем для школьников. Это можно объяснить, в частности, тем, что понятие процента не является математическим, а относится к экономическим и производственным категориям.

Задачи на вычисление сложных процентов имеют особое экономическое содержание, посредством которого определяется уровень риска в процессе принятия решений по оптимизации производства; определению направления вложения ресурсов и т.д.

Только войдя в курс дела, привыкнув к новым словам, ученик может понять, почему получается такое несоответствие: если число x увеличить на число y , а затем полученный результат уменьшить на y , то снова получится x , но, если число x увеличить на 10 %, а затем полученный результат уменьшить на 10 %, то получится не x , а 0,99 x .

Метод сложных процентов

Наиболее часто проценты применяются при финансовых расчетах (банковское дело, доходы от облигаций госзаймов, вкладов в сберегательные банки и т.п.), а также при учете роста хозяйственной продукции, выполнения производственных планов, роста народонаселения и т.д.

При финансовых расчетах число, показывающее, сколько процентов дохода в установленный срок (зачастую в год) приносит та или иная сумма, называется процентной таксой (ставкой), а сама сумма дохода – процентными деньгами. Для расчета процентных денег служат формулы простых и сложных процентов.

Если проценты начисляются по отношению к исходной сумме, то такой метод называется методом простых процентов.

Если проценты начисляются по отношению к величине, включающей первоначальную сумму и проценты, начисленные за прошедший период, то такой метод называется методом сложных процентов.

Транснациональная компания «Amoco inc.» решила провести недружественное поглощение компании «First Aluminum Company» (FAC) путем скупки акций миноритарных акционеров. Известно, что «Amoco inc.» было сделано три предложения владельцам акций FAC, при этом цена покупки одной акции каждый раз повышалась на 1/3, а общее количество приобретенных «Amoco inc.» акций поглощаемой компании увеличивалось на 20%. Определите величину третьего предложения и общее количество скупленных акций «First Aluminum Company», если начальное предложение составило $27 за одну акцию, а количество акций, выкупленных по второй цене, — 15 тысяч.

Ответ. Общее количество купленных акций 45.5 тысяч, величина третьего предложения 48 долларов за акцию.

Цена покупки одной акции ($)

Цена покупки одной акции ($)

1 предложение

1 предложение

2 предложение

27

Количество выкупленных акций (тысяч)

27

Количество выкупленных акций (тысяч)

2 предложение

3 предложение

15 : 1,2 = 12,5

15 : 1,2 = 12,5

3 предложение

Общее количество акций

15

15

Общее количество акций

15 1,2 = 18

12,5 + 15 + 18 = 45,5

12,5 + 15 + 18 = 45,5

Оля хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24 000 рублей?

Решение. Коэффициент, на который умножается сумма долга в конце года, равен 1,1. Минимальное количество лет возможно при максимальной ежегодной выплате кредита.

Ответ. Оля может взять кредит на 6 лет.

Год

Долг банку (руб.)

0

1

100000

Остаток долга после выплаты (руб.)

100000∙1,1 = 110000

-

2

110000-24000 = 86000

86000∙1,1 - 94600

3

70600∙1,1 = 77660

94600 – 24000 = 70600

4

5

77660 – 24000 = 53660

53660∙1,1 = 59026

35026∙1,1 = 38528,6

59026 – 24000 = 35026

6

38528,6 – 24000 = 14528,6

14528,6∙1,1 = 15981,46

15981,46 - 15981,46 = 0

Вкладчик внёс некоторую сумму в Сбербанк под определённый процент годовых. Через год он взял половину получившейся суммы и переложил её в коммерческий банк, процент годовых которого в 32 раза выше, чем в Сбербанке. Ещё через год сумма вкладчика в коммерческом банке превысила вложенную туда первоначальную сумму на 4%. Каков процент годовых в Сбербанке?

Решение. Пусть сумма вклада в Сбербанк а рублей под q% годовых.

Алгебраическая модель задачи:

0,5∙a∙(1 + 0,01q)∙(1 + 0,32q) = 0,5∙a∙(1 + 0,01q)∙1,04.

1 + 0,32q = 1,04;

q = 0,125

Ответ. Вклад в Сбербанк был вложен под 0,125% годовых.

Сумма вклада в Сбербанке (руб.)

а

Сумма вклада в Сбербанке через год (руб.)

a∙(1 + 0,01q)

Сумма вклада в коммерческом банке (руб.)

0,5∙a∙(1 + 0,01q)

Сумма вклада в коммерческом банке через год (руб.)

0,5∙a∙(1 + 0,01q)∙(1 + 0,32q)

Вкладчик внёс некоторую сумму в Сбербанк под определённый процент годовых. Через год он взял половину получившейся суммы и переложил её в коммерческий банк, процент годовых которого в 32 раза выше, чем в Сбербанке. Ещё через год сумма вкладчика в коммерческом банке превысила вложенную туда первоначальную сумму на 4%. Каков процент годовых в Сбербанке?

2-й способ. Условие можно свести к более простому.

Вкладчик некоторую сумму положил в коммерческий банк, процент годовых которого в 32 раза выше, чем в Сбербанке. Через год сумма вкладчика в коммерческом банке превысила вложенную туда первоначальную сумму на 4% . Каков процент годовых в Сбербанке?

Решение.

Процент годовых в коммерческом банке равен 4.

А в Сбербанке в 32 раза меньше, т.е. 4 : 32 = 0,125

Ответ. Вклад в сбербанк был вложен под 0,125% годовых.

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение. Пусть ежегодный платёж равен х рублей.

Сумма кредита

31 декабря 2013 г. (руб.)

9930000

Сумма долга

31 декабря 2014 г. (руб.)

9930000·1,1

Остаток долга после 1 выплаты (руб.)

Сумма долга

9930000·1,1 - х

31 декабря 2015 г. (руб.)

(9930000·1,1 – х)·1,1

Остаток долга после 2 выплаты (руб.)

(9930000·1,1 – х)·1,1 - х

Сумма долга

31 декабря 2016 г. (руб.)

((9930000·1,1 – х)·1,1 – х)·1,1

Остаток долга после 3 выплаты (руб.)

((9930000·1,1 – х)·1,1 – х)·1,1 - х

Алгебраическая модель задачи:

((9930000·1,1 – х)·1,1 – х)·1,1 – х = 0.

(9930000·1,1·1,1 – 1,1х – х)·1,1 – х = 0;

9930000·1,1·1,1·1,1 – 2,1х·1,1 – х = 0;

9930000·1,331 – 3,31х = 0;

х = 3993000.

Ответ. Сумма ежегодного платежа должна быть

3993000 рублей.

За время хранения вклада в банке  проценты по нему начислялись ежемесячно  сначала  в  размере  5%,  затем  12%,  потом 11%  и,  наконец, 12,5%  в  месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое  число  месяцев,  а  по  истечении  срока  хранения  первоначальная  сумма  вклада  увеличилась на  Определите срок хранения вклада.

х

Сумма вклада (руб.)

Сумма вклада (руб.)

Сумма вклада после ежемесячного начисления 5% в течение к месяцев (руб.)

Сумма вклада после ежемесячного начисления 5% в течение к месяцев (руб.)

Сумма вклада после ежемесячного начисления 12% в течение c месяцев (руб.)

Сумма вклада после ежемесячного начисления 12% в течение c месяцев (руб.)

Сумма вклада после ежемесячного начисления 11%

в течение m месяцев (руб.)

Сумма вклада после ежемесячного начисления 12,5%

Сумма вклада после ежемесячного начисления 12,5%

Сумма вклада по истечении срока (руб.)

Сумма вклада по истечении срока (руб.)

в течение n месяцев (руб.)

в течение n месяцев (руб.)

Алгебраическая модель задачи:

Учитывая, что k, n, m, c – натуральные числа, решим систему уравнений:

k + c + m + n = 1 + 1 +3 + 2 = 7

Ответ. 7 месяцев.

Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй – 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?

1 брокер

Первоначальное количество акций (шт.)

2 брокер

x

Первоначальная цена акций (руб.)

m

y

Стоимость акций (руб.)

m

x∙m

Общая стоимость акций (руб.)

m∙(x + y) = 3640

y∙m

Количество проданных акций (шт.)

Процент роста цены акции

0,75x

k

0,8y

Цена проданных акций (руб.)

k

m∙(1 + 0,01k)

Стоимость проданных акций (руб.)

0,75х∙m∙(1 + 0,01k)

m∙(1 + 0,01k)

Общая стоимость проданных акций (руб.)

0,8y∙m∙(1 + 0,01k)

(0,75x + 0,8y) ∙m∙(1 + 0,01k) = 3927

больше на 140%, чем у 1 брокера

2856(1 + 0,01k) = 3927;

2856 + 28,56k = 3927;

28,56k = 1071;

к = 37,5.

Ответ. Цена одной акции возросла на 37,5%.

В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года - y % годовых, причем известно, что x+y=30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Год

2000

Ставка (%)

х

2001

Коэффициент

2002

30 - х

1 + 0,01х

Сумма (руб.)

S

1 + 0,01∙(30 – х)

S∙(1 + 0,01х) - 0,2S

(S∙(1 + 0,01х) - 0,2S) ∙(1 + 0,01∙(30 – х))

Найдём точку максимума функции: f(x) = (S∙(1 + 0,01х) - 0,2S)∙(1 + 0,01∙(30 – х))

f(x) = S∙(1 + 0,01x – 0,2)∙(1 + 0,3 – 0,01x);

f(x) = S∙(0,8 + 0,01x) ∙(1,3 – 0,01х).

Графиком полученной функции является парабола, ветви которой направлены вниз.

Значит, наибольшее значение функция достигает в вершине параболы.

Нули функции в точках х = -80 и х = 130.

Вершина параболы в точке .

Ответ . Сумма вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной при

х = 25%.

Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Цена ценной бумаги (тыс. руб.)

Цена ценной бумаги (тыс. руб.)

Сумма ежегодного роста ценной бумаги (тыс. руб.)

7

Сумма ежегодного роста ценной бумаги (тыс. руб.)

7

2

2

Количество лет, в течение которых Алексей хранил ценную бумагу

Количество лет, в течение которых Алексей хранил ценную бумагу

n

Цена ценной бумаги на момент продажи (тыс. руб.)

n

Цена ценной бумаги на момент продажи (тыс. руб.)

7 + 2n

7 + 2n

Количество лет, в течение которых вложенная сумма будет находиться в банке

Количество лет, в течение которых вложенная сумма будет находиться в банке

Коэффициент ежегодного увеличения вклада

30 - n

30 - n

Коэффициент ежегодного увеличения вклада

1,1

1,1

Сумма, которую Алексей заберёт из банка

Сумма, которую Алексей заберёт из банка

(7 + 2n)∙

Найдём точку максимума функции f(n) = (7 + 2n)∙

Найдём точку максимума функции f(n) = (7 + 2n)∙

;

;

;

– точка локального экстремума. Выясним её характер.

n – точка максимума.

9

5,5

Значит, в течение 5 года Алексей должен продать ценную бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт, чтобы получить наибольшую прибыль.

Ответ. В течение 5 года.