Техника интегрированияю Непосредственное интегрирование

ПрактическАЯ РАБОТА№ 7

Тема: Техника интегрирования. Непосредственное интегрирование

Цели:

• изучить формулы и правила для вычисления неопределенного интеграла

• научиться решать примеры на непосредственное интегрирование

Оснащение занятия: конспект лекций.

Критерии оценок

оценка «5» ставится за верное выполнение всех заданий работы

оценка «4» ставится за выполнение задания 1 и верное решение любых десяти примеров из задания 2.

оценка «3» ставится за выполнение задания 1 и верное решение любых семи примеров из задания 2.

Порядок выполнения работы

Задание 1.

- Ознакомиться с лекцией № 9

- Пользуясь лекциями, ответить на вопросы и ответы записать в тетрадь:

1.Какие свойства неопределенного интеграла вы знаете?

2. Выписать в основные формулы интегрирования

3. Какие случаи возможны при непосредственном интегрировании?

Задание 2.

Решить примеры для самостоятельного решения

Лекция 9.

Тема «Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование»

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F '(x) = f(x).

Любая непрерывная функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Общее выражение F(x) +С совокупности всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции:

dx = F(x) +С, если d(F(x) +С) = dx

Основные свойства неопределенного интеграла

1⁰.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции и дифференциал от него равен подынтегральному выражению:

(dx)' = d(dx) =f(x) dx

2⁰. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

3⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

dx = kdx

4⁰.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых функций:

+ dx

5⁰. Если а – постоянная, то справедлива формула

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)

1.

2. = + C (n

3. = ln + C

4.

5.

6.

7.

8. = tgx + C

9. = - ctgx + C

10. = ln + C

11. = ln + C

12. = arcsin + C

13. = arctg + C

При применении формул (3), (10). (11) знак абсолютной величины пишется только в тех случаях, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, может иметь отрицательное значение.

Каждую из формул легко проверить. В результате дифференцирования правой части получается подынтегральное выражение.

Непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:

1) данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;

2) данный интеграл после применения свойств 3⁰ и 4⁰ приводится к одному или нескольким табличным интегралам;

3) данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 3⁰ и 4⁰ приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Примеры.

1.

На основании свойства 3⁰ постоянный множитель 5 выносится за знак интеграла и, используя формулу 1, получим

= 5

2.

Решение. Используя свойство 3⁰ и формулу 2, получим

= = 6

3. - х + 3)

Решение. Используя свойства 3⁰ и 4⁰ и формулы 1 и 2, имеем

- х + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12х + С = + 12х + С

Постоянная интегрирования С равна алгебраической сумме трех постоянных интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную постоянную (С₁ – С₂ + С₃ = С)

4.

Решение. Возводя в квадрат и интегрируя каждое слагаемое, имеем

= х -

5.

Используя тригонометрическую формулу 1 + ctg²x =

= = - ctgx – x + C

6.

Решение. Вычитая и прибавляя в числителе подынтегральной функции число 9, получим

= = + = - =

= -х + 9 + С = - х +

Примеры для самостоятельного решения

Вычислите интегралы, используя непосредственное интегрирование:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Контроль знаний обучающихся:

• проверить практическую работу;

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ

Работу сдать после занятия