Теңсіздікке байланысты сан тізбектері

ТЕҢСІЗДІККЕ БАЙЛАНЫСТЫ САН ТІЗБЕКТЕРІ

Алматы қаласы А.Селезнев атындағы хореографиялық училищенің математика пәні мұғалімі:

Кожекенова Кулшат Мусекеновна

Тенсіздіктер теориясы орта мектепте оқушылардың логикалык ойлау кабілетін дамыта алатындай, өз алдына ғылыми-педагогикалык маңызы бар негізгі оқу материалы болып есептеледі. Ол окушыларды айкын дұрыс ойлауға, шамаларды салыстыра білуге дағдыландырады.

Соңғы кезде орта мектеп математикасындағы көптеген жақсы бетбұрыстарға карамастан теңсіздіктер жөнінде мектеп окушыларының түсініктері мардымсыз. Жоғары оку орындарына түсуге талпынатындардың басым көпшілігі тенсіздіктерді нашар біледі, шамалы білгендерінің өзін накты есептер шешуге колдана алмайды. Осы кемшілікті жою үшін теңсіздіктер теориясы мен оны үйренудік әдісін жетілдіру қажет. Педагогикалык талаптарды басшылыкка ала отырып, физика, химия, география, био­логия, және т.б. ғылымдарды қолданудың нәтижесінде шығатын әр түрлі теңсіздіктерді өрнектейтін мысал есептер кұрастырып шешу керек. Тенсіздіктер шешуді окушылар күнделікті кездестіретін айналасындағы фактілермен байланыстыруы қажет.

1-есеп. теңсіздігін дәлелде.

Дәлелдеудің 1-тәсілі. Егер (1)

онда (2)

(2) теңдікті мүшелеп қосамыз:

(3)

(1) мен (2) шығатыны, келесідегідей:

(4)

(2) теңдіктен:

(5)

(5) алынған теңдікті қосамыз, сонда төмендегі теңдікті аламыз:

(6)

(4) және (6) шығатыны, төмендегідей:

бұдан немесе (1) ескере отырып, соңғы теңсіздікті аламыз

.

Дәлелдеудің 2-тәсіл. Егер теңдігі орын алса, сандары нөлге тең болмады деп алсақ, онда

Көріп тұрғанымыздай және . Осыдан яғни

немесе бұдан

.

Дәлелдеудің 3-тәсілі.

(1)

(2)

(1) теңдікті (2) теңсіздікпен мүшелеп қосамыз, сонда шығатыны

немесе
.

2-есеп. сандар тізбегі берілген, мұндағы ( болсын),

1. және

2. егер болса, онда

3. егер болса, онда болғанда, онда сөзсіз теңсіздіктері орындалатынын дәлелдеу керек.

1. Дәлелдеуі. Алдымен болғанда болатынын көрсетейік.

Математикалық индукция әдісі бойынша және шарттарынан теңсіздіктің болғанда орындалатынын байқаймыз. Енді теңсіздік болғанда дұрыс орындалады деп жорылық. Есеп шарты мен индукциялық жоруға сай болғанда пікірдің дұрыстығын дәлелдейік.

индукциялық жоруға сай теңсіздігі құрылады, сондықтан теңсіздігі де орынды болады. Демек теңсіздігі барлық оң бүтін саны үшін дұрыс орындалады. Математикалық индукцияның екінші басқышын

Сондықтан теңсіздігі дұрыс орындалады.

Енді теңсіздігін дәлелдейік.

Есептің шартынан және ден сондықтан . Басқаша әдіспен дәлелдесе де болады. Барлық оң бүтін саны үшін

Үшінші әдіспен де дәлелдеуге болады: болғандықтан болғанда .

2. 1-тәсіл. Математикалық индукция тәсілін қолданайық. шартынан болғанда теңсіздік дұрыс орындалатыны белгілі. Енді болғанда теңсіздік дұрыс орындалады деп жорылық.

болғанда есеп шарты және болатынын ескеріп

Ал, мен индукциялық жору бойынша соңғы теңсіздік дұрыс орындалады. Сондықтан, теңсіздігі барлық оң бүтін саны үшін дұрыс болады.

2-тәсіл. Математикалық индукциямен дәлелдеудің ең соңғы басқышы болғанда теңсіздіктің дұрыс орындалатындығы төмендегіше дәлелденеді. Шарт бойынша болатыны мәлім, ал мен индукциялық жорудан шығатыны

3. Дәлелдеудің 1-тәсілі.

Әуелі егер болса, онда болатынын дәлелдейміз. Мұның себебі Соңынан қарсы жорып, дәлелдеу тәсілінен пайдаланамыз:

Егер болғанда болатын болса, онда Сондықтан жоғарыдағы дәлелденген қорытынды мен дан

яғни бұл шартқа қайшы, сондықтан берілген теңсіздік дұрыс орындалады.

Дәлелдеудің 2-тәсілі.

1-ші тәсілдегідей теңсіздігі оңай дәлелденеді. Кез келген оң бүтін сан үшін және екі түрлі жағдайы болады.

Егер болса, онда 1-бөлімнен болатынын білеміз. Сонымен,

Егер болса, онда 1-бөлімдегі қарастырылған мәселе бойынша болатынын білеміз. Осы өрнекпен жоғарыда дәлелденген қорытындыдан Сондықтан болғанда, болуы тиіс.

3-есеп. (1), мұндағы

теңсіздігі барлық оң бүтін саны үшін дұрыс орындалмайтынын дәлелдеу керек.

Дәлелдеуі. Математикалық индукция бойынша болғанда, және болғандықтан теңсіздік дұрыс орындалады.

Енді болғанда (*) дұрыс деп жориық.

Осы жоруға сүйеніп пікіріміздің үшін де яғни теңсіздігі орынды болатынын көрсетейік.

(*) теңсіздігін ескеріп,

4-есеп. әрі

деп берілген.

прогрессиясының кез келген натурал саны үшін қанағаттандыра­тынын немесе кез келген натурал саны үшін -ді қанағаттандыратынын дәлелдеу керек.

Дәлелдеу. Алдымен болғандықтан,

прогрессияның анықтамасынан болатынын білеміз. Сондықтан мен -ның таңбалары бірдей болады. (1) деп жориық.

үшін болатынын математикалық индукция арқылы дәлелдейік.

болғанда өйткені

Енді болғанда деп жориық та болатынын көрсетейік. Ол үшін сондықтан, барлық натурал санына байланысты болады.

Есептің екінші бөлігін дәлелдеуді оқырмандарға қалдырамыз.

5-есеп. сандар тізбегінің алдынғы мүшесінің қосындысы мен -нің арасындағы тәуелділік болса, онда

1) мен арасындағы тәуелділік өрнегін табыңыздар;

2) -нің және арқылы өрнектелген өрнегін табыңдар. Мұндағы өзара байланыссыз тұрақты сандар,

1-тәсіл. 1) Мұны шешсек (1) шығады.

2) (2) болғандықтан

бұл арада

(3)

(2)-ні (3)-тегі орнына қойсақ.

немесе және болса, -ге тең.

Шешудің 2-тәсілі.

1)-нің шешуі жоғарыдағы 1-тәсіл сияқты.

(1)

2) 1-шешудегі сияқты (2) болады.

(1)-ден шығады.

Енді математикалық индукция бойынша (3) болатынын дәлелдейік. болғанда (2)-ні пайдаланып (3)-ті жазуға болатыны белгілі.

болғанда дұрыс деп жорып рекурренттік формула бойынша (1)-ден

яғни болғанда да (3) теңдік дұрыс орындалады. Демек, индукция тәсілі бойынша кез келген натурал саны үшін (3) өрнек дұрыс болады. (3)-тің шешуі 1-тәсілдегідей.