kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Статья по теме "Действия с дробями"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Основное свойство дроби

Условимся считать, что под "действиями с дробями" на нашем уроке будут пониматься действия с обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь - это дробь, обладающая такими атрибутами, как числитель, дробная черта и знаменатель. Это отличает обыкновенную дробь от десятичной, которая получается из обыкновенной путём приведения знаменателя к числу, кратному 10. Десятичная дробь записывается с запятой, отделяющей целую часть от дробной. У нас пойдёт речь о действиях с обыкновенными дробями, так как именно они вызывают наибольшие затруднения у студентов, позабывших основы этой темы, пройденной в первой половине школьного курса математики. Вместе с тем при преобразованиях выражений в высшей математике используются в основном именно действия с обыкновенными дробями. Одни сокращения дробей чего стоят! Десятичные же дроби особых затруднений не вызывают. Итак, вперёд!

Просмотр содержимого документа
«Статья по теме "Действия с дробями"»

Основное свойство дроби

Условимся считать, что под "действиями с дробями" на нашем уроке будут пониматься действия с обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь - это дробь, обладающая такими атрибутами, как числитель, дробная черта и знаменатель. Это отличает обыкновенную дробь от десятичной, которая получается из обыкновенной путём приведения знаменателя к числу, кратному 10. Десятичная дробь записывается с запятой, отделяющей целую часть от дробной. У нас пойдёт речь о действиях с обыкновенными дробями, так как именно они вызывают наибольшие затруднения у студентов, позабывших основы этой темы, пройденной в первой половине школьного курса математики. Вместе с тем при преобразованиях выражений в высшей математике используются в основном именно действия с обыкновенными дробями. Одни сокращения дробей чего стоят! Десятичные же дроби особых затруднений не вызывают. Итак, вперёд!

Две дроби  и  называются равными, если .

Например, , так как 

Равными также являются дроби  и  (так как ),  и  (так как).

Очевидно, равными являются и дроби  и . Это означает, что если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной: .

Это свойство называется основным свойством дроби.

Основное свойство дроби можно использовать для перемены знаков у числителя и знаменателя дроби. Если числитель и знаменатель дроби  умножить на -1, то получим . Таким образом, значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:

;

.

Сокращение дробей

Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем. Такую замену называют сокращением дроби.

Пусть, например, дана дробь . Числа 36 и 48 имеют наибольший общий делитель 12. Тогда

.

В общем случае сокращение дроби возможно всегда, если числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если числитель и знаменатель - взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.

На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.

Итак, сократить дробь - это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Всё вышесказанное применимо и к дробным выражениям, содержащим переменные.

Пример 1. Сократить дробь

.

Решение. Для разложения числителя на множители, представив предварительно одночлен - 5xy в виде суммы - 2xy - 3xy, получим

Для разложения знаменателя на множители используем формулу разности квадратов:

.

Таким образом,

.

Далее, изменяя знаки в числителе и знаменателе дроби, получим

Приведение дробей к общему знаменателю

Пусть даны две дроби  и . Они имеют разные знаменатели: 5 и 7. Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить эти дроби другими, равными им, причём такими, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели. Умножив числитель и знаменатель дроби  на 7, получим

.

Умножив числитель и знаменатель дроби  на 5, получим

.

Итак, дроби приведены к общему знаменателю:

.

Но это не единственное решение поставленной задачи: например, данные дроби можно привести также к общему знаменателю 70:

,

и вообще к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 5 и 7.

Рассмотрим ещё один пример: приведём к общему знаменателю дроби  и . Рассуждая, как в предыдущем примере, получим

,

.

Но в данном случае можно привести дроби к общему знаменателю, меньшему, чем произведение знаменателей этих дробей. Найдём наименьшее общее кратное чисел 24 и 30: НОК(24, 30) = 120.

Так как 120:4=5, то чтобы записать дробь  со знаменателем 120, надо и числитель, и знаменатель умножить на 5, это число называется дополнительным множителем. Значит .

Далее, получаем 120:30=4. Умножив числитель и знаменатель дроби  на дополнительный множитель 4, получим .

Итак, данные дроби приведены к общему знаменателю.



Для дробных выражений, в которые входят переменные, общим знаменателем является многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.

Пример 2. Найти общий знаменатель дробей  и .

Решение. Общим знаменателем данных дробей является многочлен , так как он делится и на , и на . Однако этот многочлен не единственный, который может быть общим знаменателем данных дробей. Им может быть также многочлен , и многочлен , и многочлен  и т.д. Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на выбранный без остатка. Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем.

В нашем примере наименьший общий знаменатель равен . Получили:

;

.

Нам удалось привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Это произошло путём умножения числителя и знаменателя первой дроби на , а числителя и знаменателя второй дроби - на . Многочлены  и  называются дополнительными множителями, соответственно для первой и для второй дроби.

Сложение и вычитание дробей

Сложение дробей определяется следующим образом:

.

Например,

.

Если b = d, то

.

Это значит, что для сложения дробей с одинаковым знаменателем достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Например,

.



Теперь рассмотрим пример сложения дробных выражений с переменными.

Пример 3. Преобразовать в одну дробь выражение

.

Решение. Найдём наименьший общий знаменатель. Для этого сначала разложим знаменатели на множители:

1) ;

2) ;

3) .

Наименьший общий знаменатель:

Дополнительные множители, на которые умножаются числители дробей:

1) 6;

2) ;

3) .

Таким образом, получаем

.

Далее, раскрывая скобки и выполняя тождественные преобразования, получаем

.

Умножение и деление дробей

Произведение двух дробей  и  равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей, т. е. .

Например,

.

При делении дроби на дробь числитель делимого умножается на знаменатель делителя, а знаменатель делимого - на числитель делителя, т. е. .

Например,

.

Свойства пропорции

1. Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов, т. е. если , то .

2. Из пропорции  вытекают следующие пропорции: , т. е. в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

3. Чтобы найти неизвестный средний (крайний) член пропорции, нужно произведение крайних (средних) членов пропорции разделить на известный средний (крайний) член пропорции:  и 




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Прочее

Целевая аудитория: 11 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Статья по теме "Действия с дробями"

Автор: Аблизова Гулинур Иминжановна

Дата: 24.01.2017

Номер свидетельства: 383303

Похожие файлы

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(191) "Конспект метапредметного урока по теме: "Действия с обыкновенными дробями.70-летию Победы посвящается".". "
    ["seo_title"] => string(119) "konspiekt-mietapriedmietnogho-uroka-po-tiemie-dieistviia-s-obyknoviennymi-drobiami-70-lietiiu-pobiedy-posviashchaietsia"
    ["file_id"] => string(6) "238596"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1444589419"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(71) "Правила умножения обыкновенных дробей"
    ["seo_title"] => string(43) "pravila-umnozhieniia-obyknoviennykh-drobiei"
    ["file_id"] => string(6) "318235"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1460542258"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(128) "арифметические действи с обыкновенными дробями и смешанными числами."
    ["seo_title"] => string(77) "arifmietichieskiie-dieistvi-s-obyknoviennymi-drobiami-i-smieshannymi-chislami"
    ["file_id"] => string(6) "308344"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1458568125"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(114) "«Умножение и деление десятичных дробей на натуральные числа» "
    ["seo_title"] => string(71) "umnozhieniie-i-dielieniie-diesiatichnykh-drobiei-na-natural-nyie-chisla"
    ["file_id"] => string(6) "107957"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1403514787"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(170) "Конспект урока математики "Деление обыкновенных дробей 5 класс", с презентацией к урокуацией "
    ["seo_title"] => string(103) "konspiekt-uroka-matiematiki-dielieniie-obyknoviennykh-drobiei-5-klass-s-priezientatsiiei-k-urokuatsiiei"
    ["file_id"] => string(6) "205777"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1430025922"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства