| Стандарт основного общего образования | Темы уроков, обеспечивающие освоение Стандарта | Класс |
| предназначено для обязательного изучения |
| Натуральные числа. Десятичная система счисления. Римская нумерация. Арифметические действия над натуральными числами. Степень с натуральным показателем. Делимость натуральных чисел. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Деление с остатком.
| Обозначение натуральных чисел Обозначение натуральных чисел Обозначение натуральных чисел. Вычитание. Умножение натуральных чисел и его свойства Деление. Деление с остатком. Порядок выполнения действий. Квадрат и куб числа. Степень числа.
Делители и кратные Признаки делимости Простые и составные числа Разложение на простые множители Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа Наименьшее общее кратное | 5
6 |
| Дроби. Обыкновенная дробь. Основное свойство дроби. Сравнение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Нахождение части от целого и целого по его части. Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной.
| Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями Деление и дроби Смешанные числа Сложение и вычитание смешанных чисел. Десятичная запись дробных чисел Сравнение десятичных дробей Сложение и вычитание десятичных дробей. Умножение десятичных дробей на натуральное число. Деление десятичных дробей на натуральное число. Умножение десятичных дробей Деление на десятичную дробь.
Основное свойство дроби Сокращение дробей Приведение дробей к общему знаменателю Сравнение дробей с разными знаменателями Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Сложение и вычитание смешанных чисел Умножение дробей Нахождение дроби от числа Взаимно обратные числа Деление дробей Нахождение числа по его дроби Дробные выражения | 5
6
|
| Рациональные числа. Целые числа: положительные, отрицательные и нуль. Модуль (абсолютная величина) числа. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с рациональными числами. Степень с целым показателем. Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы арифметических действий: переместительный, сочетательный, распределительный.
| Противоположные числа Сложение чисел с помощью координатной прямой Сложение отрицательных чисел Сложение чисел с разными знаками Вычитание Рациональные числа Свойства действий с рациональными числами Раскрытие скобок
Числовые выражения Свойства арифметических действий Правила раскрытия скобок Степень с натуральным показателем Свойства степени с натуральным показателем
Положительные и отрицательные числа
Степень с целым показателем
| 6
7
8
9 |
| Действительные числа. Квадратный корень из числа. Корень третьей степени. Понятие о корне n-ой степени из числа1. Нахождение приближенного значения корня с помощью калькулятора. Запись корней с помощью степени с дробным показателем. Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа. Десятичные приближения иррациональных чисел. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение действительных чисел, арифметические действия над ними. Этапы развития представления о числе.
| Проценты Приближенное значение чисел. Округление чисел.
Арифметический квадратный корень Действительные числа Квадратный корень из степени Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби
Арифметический корень натуральной степени Степень с рациональным показателем | 5
8
9 |
| Измерения, приближения, оценки. Единицы измерения длины, площади, объема, массы, времени, скорости. Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем мире. Представление зависимости между величинами в виде формул. Проценты. Нахождение процента от величины, величины по ее проценту. Отношение, выражение отношения в процентах. Пропорция. Пропорциональная и обратно пропорциональная зависимости. Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений. Выделение множителя – степени десяти в записи числа.
| Масштаб Отношения Пропорции Прямая и обратная пропорциональные зависимости
Приближенные значения величин. Погрешность приближения Оценка погрешности Округление чисел Относительная погрешность Практические приемы приближенных вычислений Действия над числами, записанными в стандартном виде | 6
8 |
| Алгебраические выражения. Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения. Подстановка выражений вместо переменных. Равенство буквенных выражений. Тождество, доказательство тождеств. Преобразования выражений. Свойства степеней с целым показателем. Многочлены. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности, куб суммы и куб разности. Формула разности квадратов, формула суммы кубов и разности кубов. Разложение многочлена на множители. Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Многочлены с одной переменной. Степень многочлена. Корень многочлена. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Действия с алгебраическими дробями. Рациональные выражения и их преобразования. Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях.
| Числовые и буквенные выражения Буквенная запись свойств сложения и вычитания
Алгебраические выражения Алгебраические равенства. Формулы Одночлен. Стандартный вид одночлена Умножение одночленов Многочлены Приведение подобных членов Умножение многочлена на многочлен Сложение и вычитание многочленов Деление одночлена и многочлена на одночлен Вынесение общего множителя за скобки Способ группировки Формула разности квадратов Квадрат суммы. Квадрат разности Применение нескольких способов разложения многочленов на множители Алгебраическая дробь. Сокращение дробей Приведение дробей к общему знаменателю Сложение и вычитание алгебраических дробей Умножение и деление алгебраических дробей Совместные действия над алгебраическими дробями
Деление многочленов | 5
7
9 |
| Уравнения и неравенства. Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений. Примеры решения уравнений высших степеней; методы замены переменной, разложения на множители. Уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя переменными. Система уравнений; решение системы. Система двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и алгебраическим сложением. Уравнение с несколькими переменными. Примеры решения нелинейных систем. Примеры решения уравнений в целых числах. Неравенство с одной переменной. Решение неравенства. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Квадратные неравенства. Примеры решения дробно-линейных неравенств.
| Уравнения
Подобные слагаемые Решение уравнений
Уравнение и его корни Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным Решение задач с помощью уравнений Системы уравнений Способ подстановки Способ сложения Графический способ решения систем уравнений Решение задач с помощью систем уравнений Неравенства с одним неизвестным Решение неравенств Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки Модуль числа. Уравнения и неравенства , содержащие модуль Квадратное уравнение и его корни Неполные квадратные уравнения Метод выделения полного квадрата Решение квадратных уравнений Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета Уравнения, сводящиеся к квадратным Решение задач с помощью квадратных уравнений Решение простейших систем, содержащих уравнения второй степени Квадратное неравенство и его решение Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции Метод интервалов
Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными Решение алгебраических уравнений Уравнения, сводящиеся к алгебраическим Различные способы решения систем уравнений Решение задач с помощью систем уравнений Неравенства и уравнения, содержащие степень | 5
6
7
8
9 |
| Числовые неравенства и их свойства. Доказательство числовых и алгебраических неравенств. Переход от словесной формулировки соотношений между величинами к алгебраической. Решение текстовых задач алгебраическим способом.
| Числовые неравенства Основные свойства числовых неравенств Сложение и умножение неравенств Строгие и нестрогие неравенства | 8 |
| Числовые последовательности. Понятие последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий. Cложные проценты.
| Числовая последовательность Арифметическая прогрессия Сумма п первых членов арифметической прогрессии Геометрическая прогрессия Сумма п первых членов геометрической прогрессии | 9 |
| Числовые функции. Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции. График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства. Чтение графиков функций. Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональную зависимости, их графики. Линейная функция, ее график, геометрический смысл коэффициентов. Гипербола. Квадратичная функция, ее график, парабола. Координаты вершины параболы, ось симметрии. Степенные функции с натуральным показателем, их графики. Графики функций: корень квадратный, корень кубический, модуль. Использование графиков функций для решения уравнений и систем. Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы: колебание, показательный рост. Числовые функции, описывающие эти процессы. Параллельный перенос графиков вдоль осей координат и симметрия относительно осей.
| Функция Функция у = кх и её график Линейная функция и её график
Определение квадратичной функции Функция у=х² Функция у=ах² Функция у=ах²+вх +с Построение графика квадратичной функции
Область определения функции Возрастание и убывание функции Чётность и нечётность функции Функция у =k /х | 7
8
9 |
| Координаты. Изображение чисел точками координатной прямой. Геометрический смысл модуля числа. Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч. Формула расстояния между точками координатной прямой. Декартовы координаты на плоскости; координаты точки. Координаты середины отрезка. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие параллельности прямых. Уравнение окружности с центром в начале координат и в любой заданной точке. Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и их систем, неравенств с двумя переменными и их систем.
| Шкалы и координаты Меньше и больше.
Координаты на прямой Модуль числа Координатная плоскость Сложение чисел с помощью координатной прямой
Простейшие задачи в координатах Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности Уравнение прямой Формулы для вычисления координат точки | 5
6
9 |
| Начальные понятия и теоремы геометрии Возникновение геометрии из практики. Геометрические фигуры и тела. Равенство в геометрии. Точка, прямая и плоскость. Понятие о геометрическом месте точек. Расстояние. Отрезок, луч. Ломаная. Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла и ее свойства. Параллельные и пересекающиеся прямые. Перпендикулярность прямых. Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Перпендикуляр и наклонная к прямой. Многоугольники. Окружность и круг. Наглядные представления о пространственных телах: кубе, параллелепипеде, призме, пирамиде, шаре, сфере, конусе, цилиндре. Примеры сечений. Примеры разверток.
| Окружность и круг. Прямоугольный параллелепипед Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда. Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник
Перпендикулярные прямые Параллельные прямые
Введение в предмет. Точки, прямые, отрезки Луч. Угол Сравнение отрезков и углов Длина отрезка. Единицы измерения Градусная мера угла. Измерение углов Смежные и вертикальные углы Перпендикулярные прямые Признаки параллельности двух прямых Практические способы построения параллельных прямых Аксиома параллельных прямых Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Расстояние от точки до прямой Расстояние между параллельными прямыми | 5
6
7
7 |
| Треугольник. Прямоугольные, остроугольные и тупоугольные треугольники. Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника. Равнобедренные и равносторонние треугольники; свойства и признаки равнобедренного треугольника. Признаки равенства треугольников. Неравенство треугольника. Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника. Зависимость между величинам сторон и углов треугольника. Теорема Фалеса. Подобие треугольников; коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников. Теорема Пифагора. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°; приведение к острому углу. Решение прямоугольных треугольников. Основное тригонометрическое тождество. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла. Теорема косинусов и теорема синусов; примеры их применения для вычисления элементов треугольника. Замечательные точки треугольника: точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан. Окружность Эйлера.
| Треугольник Первый признак равенства треугольников Медианы, биссектрисы и высоты треугольника Свойства равнобедренного треугольника Второй признак равенства треугольников Третий признак равенства треугольников Теорема о сумме углов треугольника Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники Некоторые свойства прямоугольных треугольников Признаки равенства прямоугольных треугольников
Теорема Пифагора Определение подобных треугольников Первый признак подобия треугольников Второй признак подобия треугольников Третий признак подобия треугольников Средняя линия треугольника Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45, 60 Четыре замечательные точки треугольника. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения. Теорема о площади треугольника Теорема синусов Теорема косинусов Решение треугольников | 7
8
9
|
| Четырехугольник. Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки. Трапеция, средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция.
| Параллелограмм. Свойства параллелограмма Признаки параллелограмма Трапеция Прямоугольник Ромб и квадрат
Средняя линия трапеции
| 8
9 |
| Многоугольники. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника. Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники.
| Многоугольники
Окружность, описанная около правильного многоугольника Окружность, вписанная в правильный многоугольник Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности | 8
9 |
| Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр. Дуга, хорда. Сектор, сегмент. Центральный, вписанный угол; величина вписанного угла. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Касательная и секущая к окружности; равенство касательных, проведенных из одной точки. Метрические соотношения в окружности: свойства секущих, касательных, хорд. Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника. Вписанные и описанные четырехугольники. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника.
| Взаимное расположение прямой и окружности Касательная к окружности Центральный угол Вписанная окружность Описанная окружность | 8 |
| Измерение геометрических величин. Длина отрезка. Длина ломаной, периметр многоугольника. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Длина окружности, число ; длина дуги. Величина угла. Градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности. Понятие о площади плоских фигур. Равносоставленные и равновеликие фигуры. Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции (основные формулы). Формулы, выражающие площадь треугольника: через две стороны и угол между ними, через периметр и радиус вписанной окружности, формула Герона. Площадь четырехугольника. Площадь круга и площадь сектора. Связь между площадями подобных фигур. Объем тела. Формулы объема прямоугольного параллелепипеда, куба, шара, цилиндра и конуса.
| Длина окружности и площадь круга Шар
Площадь многоугольника Площадь параллелограмма, треугольника Площадь трапеции
Длина окружности Площадь круга Площадь кругового сектора | 6
8
9 |
| Векторы Вектор. Длина (модуль) вектора. Координаты вектора. Равенство векторов. Операции над векторами: умножение на число, сложение, разложение, скалярное произведение. Угол между векторами.
| Понятие вектора. Равенство векторов Откладывание вектора от данной точки Сумма векторов. Законы сложения векторов Правило параллелограмма. Сумма нескольких векторов Вычитание векторов Решение задач на сложение и вычитание векторов Произведение вектора на число Применение векторов к решению задач Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Координаты вектора Связь между координатами вектора и координатами его конца и начала Угол между векторами Скалярное произведение в координатах. Свойства скалярного произведения | 9 |
| Геометрические преобразования Примеры движений фигур. Симметрия фигур. Осевая симметрия и параллельный перенос. Поворот и центральная симметрия. Понятие о гомотетии. Подобие фигур.
| Осевая и центральная симметрии
Отображение плоскости на себя Понятие движения Наложения и движения Параллельный перенос Поворот | 8
9 |
| Построения с помощью циркуля и линейки Основные задачи на построение: деление отрезка пополам, построение треугольника по трем сторонам, построение перпендикуляра к прямой, построение биссектрисы, деление отрезка на n равных частей. Правильные многогранники.
| Построения циркулем и линейкой. Примеры решения задач на построение Построение треугольника по трём элементам
Построение правильных многоугольников Многогранники Тела и поверхности вращения | 7
9 |
| ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ, КОМБИНАТОРИКИ,
СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Доказательство. Определения, доказательства, аксиомы и теоремы; следствия. Необходимые и достаточные условия. Контрпример. Доказательство от противного. Прямая и обратная теоремы. Понятие об аксиоматике и аксиоматическом построении геометрии. Пятый постулат Эвклида и его история. Множества и комбинаторика. Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера. Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения. Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результатов измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий. Вероятность. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности. | Различные комбинации из трёх элементов Таблица вариантов Подсчёт вариантов с помощью графов
События. Вероятность Решения вероятностных задач с помощью комбинаторики Геометрическая вероятность Относительная частота и закон больших чисел Таблицы распределения Полигоны частот Генеральная совокупность и выборка Размах и центральные тенденции Множества Высказывания. Теоремы | 7
9 |
