При подготовке к экзаменам по математике глаза учеников наполняются грустью и разочарованием, если попадается задача на доказательство. В помощь детям и их учителям был составлен сборник задач на доказательство. Прорешав все задачи из сборника, ученику становится по силам решение практически любой задачи на доказательство. Самое главное в таких задачах- увидеть приём, с помощью которого можно решить задачу. Успехов Вам и Вашим ученикам.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Сборник задач на доказательство »
Министерство образования Российской Федерации
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа № 1
с углублённым изучением английского языка
Сборник задач по геометрии
«96 задач на доказательство»
Составитель
Учитель математики
Синицына Е.Ю.
Г. Рыбинск
Авторский задачник
Задачи на доказательство равенства двух отрезков
Задача 1. В четырёхугольнике MPKH угол PMK и угол НКМ равны, прямые РК и МН параллельны. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, пересекающая стороны РК и МН в точках А и В соответственно. Докажите, что АР=НВ.
Задача 2. Даны два ромба АВСД и АВ1С1Д1 имеют общую вершину острого угла, при чем угол САС1 равен 900, а лучи ВД и В1Д1 пересекаются в точке Е. О - точка пересечения диагоналей ромба АВСД. ОР- биссектриса ∆ВОС. Докажите, что РА=РЕ.
Задача 3: Противоположные стороны квадрата АВСД пересечены двумя взаимно перпендикулярными прямыми ℓ и m, ℓ пересекает ВС и АД в точках К и L, m пересекает АВ и СД в точках М и N. Доказать, что KL=MN.
Задача 4: В треугольнике АВС проведена биссектриса угла А, которая пересекает ВС в точке Д. Через точку Д проведена прямая, пересекающая АС в точке Е так, что углы СДЕ и ВАС равны. Докажите, что отрезки ВД и ДЕ равны между собой.
Задача 5: Доказать, что если медианы АА1и ВВ1треугольника АВС равны, то СА и СВ равны.
Задача 6. Около треугольника ∆АВС описана окружность с центром О. Окружность, проходящая через А,В,О касаются прямой АС в точке А. Докажите, что отрезки АВ и АС равны.
Задача 7. В равнобедренном треугольнике АВС точки М- на стороне АС и N- на стороне ВС делят эти стороны так, что выполнено СМ+CN=АС, КL- средняя линия, KL и MN пересекаются в точке О. Доказать, что МО=ОN.
Задача 8. Две окружности пересекаются в точках А и В. В точке А к обеим окружностям проведены касательные, пересекающие их в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности ещё раз в точках Р и Q(P лежит на прямой ВМ, а Q- на прямой BN). Докажите, что отрезки МР и NQ равны
Задача 9:На хорде АВ окружности с центром в точке О взята точка С. Д-вторая точка пересечения окружности с окружностью, описанной около треугольника АСО. Доказать, что отрезки СД и СВ равны между собой.
Задача 10: В треугольнике АВС проведена биссектриса угла А, которая пересекает ВС в точке Д. Через точку Д проведена прямая, пересекающая АС в точке Е так, что СДЕ=ВАС. Докажите, что отрезок ВД равен отрезку ДЕ.
Задача 11: Через вершину С треугольника АВС проведена прямая, параллельная биссектрисе АА1 и пересекающая прямую АВ в точке Д. Докажите, что отрезок АС равен АД.
Задача 12: На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок AF пересекает медиану ВД в точке Е так, что АЕ=ВС. Докажите, что AE=BC. Докажите, что BF=FE.
Задача 13: в треугольнике АВС проведены медианы АД и ВЕ. Углы САД и СВЕ равны 300. Докажите, что отрезки АВ и ВС равны между собой.
Задача 14:Дан выпуклый четырёхугольник АВСД и точка О внутри него. Известно, что углы АОВ и СОД равны 1200, АО=ОВ, СО=ОД. Пусть K,L, M- середины отрезков АВ, ВС, СД соответственно. Докажите, что KL=LM.
Задача 15: Окружности S1 и S2 с центрами в точках О1 и О2 пересекаются в точках А и В. Луч О1А пересекает окружность S2 в точке М, луч О2А пересекает окружность S1 в точке N, а прямая MN вторично пересекает эти окружности в точках Е и F. Докажите, что отрезки АЕ и AF равны
Задача 16: В равнобедренном треугольнике АВС(АВ=ВС) проведена биссектриса СД и проходящая через центр описанной около треугольника АВС окружности, пересекает ВС в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е, параллельно СД пересекает АВ в точке F. Докажите, что ВЕ=FД.
Задача 17: Две окружности пересекаются в точках М и К. Через точку К проведена проведены прямые к и ℓ, образующие одинаковые углы с хордой МК и пересекающие окружности, кроме точки К ещё в двух точках: прямая к- в точках А и В, прямая ℓ- в точках С и Д. Докажите, что АВ=СД.
Задача 18.Диагонали трапеции пересекаются в точке Е, продолжение боковых сторон пересекаются в точке F. Докажите, что прямые ЕF делит основания трапеции пополам
Задача 19: В трапеции АВСД(АД и ВС - основания), точка К лежит на стороне СД, причем СК:КД=1:2. АК пересекает ВД в точке О. Докажите, что ВС:АД=1:2, ВО=ОД.
Задача 20: Доказать, что медианы треугольника, пересекая соответствующую среднюю линию, делятся точкой пересечения пополам
Задача 21: На окружности, центром которой является точка О, отмечены в одном направлении точки А, В, С, Д так что углы АОВ и СОД равны. Докажите, что равны отрезки АС и ВД
Задача 22: AL- биссектриса треугольника АВС, К- точка на стороне АС такая, что СК=СL. Прямая LK и биссектриса угла В пересекаются в точке Р. Докажите, что АР=РL.
Задача 23: На катетах СА и СВ равнобедренного прямоугольного треугольника АВС выбраны соответственно точки Д и Е так, что ДС=СЕ. Продолжения перпендикуляров, опущенных из точки Д и С на прямую АЕ, пересекают гипотенузу АВ соответственно в точках К и L. Докажите, что KL=LB.
Задача 24: Две окружности пересекаются в точках А и В, на продолжении их общих хорд АВ выбрана точка М. Из этой точки проведены касательные МЕ и МF к этим окружностям(Е и F-точки касания). Докажите, что отрезки МЕ и МF равны
Задача 25: Прямая ℓпересекает окружность диаметра АВ в точке С и Д, отличных от А и В. Из точек А и В к прямой ℓ проведены перпендикуляры АЕ и ВF соответственно. Докажите, что длины отрезков СЕ и ДF равны.
Задачи на доказательство принадлежности трёх точек одной прямой.
Задача 26: Докажите, что если биссектрисы углов ÐАВС и ÐСВД перпендикулярны, то точки А, В, Д лежат на одной прямой.
Задача 27: На плоскости проведены две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О. Последовательно отражая точку А относительно одной из этих прямых, а затем, полученную точку, относительно другой, получим точку А1. Докажите, что точки А, А1 и О лежат на одной прямой.
Задача 28: Три окружности имеют общую точку М, попарно пересекаются в точках P,Q,R и расположены на плоскости так, как показано на рисунке. Через произвольную точку А одной из окружностей, лежащей на дуге PQ, не содержащей точку М окружности, проведены прямые, вторично пересекающие эти две окружности в точках В и С. Докажите, что точки В,С, R лежат на одной прямой.
Задача 29: Даны ΔАВС и точки M и N. Середина отрезка ВM является серединой стороны АС, а середина отрезка СN является серединой АВ. Докажите, что точки А, M, N лежат на одной прямой.
Задача 30: докажите, что точки А(4;-2), В(1;2), С(-2;6) лежат на одной прямой.
Задача 31: Продолжения сторон АВ и СД выпуклого четырёхугольника АВСД пересекаются в точке Р, а продолжения сторон ВС и АД- в точке Q. Докажите, что если каждая из трёх пар биссектрис: внешних углов треугольника при вершинах А и С, внешних углов при вершинах В и Д, а так же внешних углов при вершинах Q и P(треугольников QAB и РВС соответственно) имеет точку пересечения, то эти три точки лежат на одной прямой.
Задача 32:Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.
Задача 33: Докажите, что вершина Д четырёхугольника АВСД, точка G- точка пересечения его средней и центроид М ∆АВС лежат на одной прямой
Задача 34:В параллелограмме АВСД точка N є АС, М є АД, AN:NC=1:5, AM:MD=1:4. Докажите, что точки В, N, M принадлежат одной прямой.
Задача 35: На плоскости проведены две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О. Последовательно отражая точку А относительно одной из этих прямых получили точку А1. Докажите, что А,А1, О лежат на одной прямой.
Задача 36:В параллелограмме АВСД точка N є АС, М є АД, AN:NC=1:5, AM:MD=1:4. Докажите, что точки В, N, M принадлежат одной прямой
Задача 37: Через точку О, лежащую внутри данного треугольника проведены три окружности равных радиусов, каждая из которых лежит внутри треугольника и касается двух его сторон. Доказать, что точка О, центр окружности, описанной около этого треугольника и центр вписанной в него окружности, лежат на одной прямой
Задача 38:Точки K и L на сторонах АВ и АС остроугольного треугольника АВС таковы, что KL││BC. M-точка пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках K и L к отрезкам АВ и АС. Докажите, что точки А, М, и центр О, описанной около треугольника АВС окружности лежат на одной прямой.
Задача 39: Даны ΔАВС и точки M и N. Середина отрезка ВM является серединой стороны АС, а середина отрезка СN является серединой АВ. Докажите, что точки А, M, N лежат на одной прямой
Задача 40:∆АВС вписан в окружность ω. I-центр треугольника АВС. Проведены биссектрисы трех углов так, что AI∩ω=K, BI∩ω=N, CI∩ω=T. Известно, что D=KN∩AC, Q=KT∩AB. Докажите, что D, I, Q лежат на одной прямой.
Задача 41: Из точки M, лежащей на окружности, описанной около треугольника АВС, опущены перпендикуляры на прямые, содержащие стороны этого треугольника. Докажите, что основания этих перпендикуляров принадлежат одной прямой
Задача 42:Биссектрисы внешних углов треугольника АВС при вершинах А,В,С пересекают прямые ВС,СА, АВ соответственно в точках А1, В1, С1. Докажите, что А1, В1, С1 лежат на одной прямой
Задача 43:Докажите, что точки пересечения прямых, содержащих стороны треугольника, с касательными к описанной окружности в противоположных вершинах лежат на одной прямой.
Задача 44:Докажите, что прямая, разбивающая данный треугольник на два многоугольника равной площади и равного периметра, проходит через цент окружности, описанной около ∆АВС
Задача 45:На сторонах АВ,ВС,СД и ДА прямоугольника АВСД взяты точки К, L, M, N, отличные от вершин. Известно, что KL││MN KM перпендикулярно NL. Докажите, что точка пересечения отрезков KM, LN лежат на диагонали ВД прямоугольника
Задача 46:Окружности с центрами О1 и О2 одинакового радиуса касаются друг друга в точке А. Окружность с центром О3 вдвое больше радиуса содержит внутри себя окружность с центром О1, касаясь её в точке В, а окружность с центром О2 пересекает в точках Р и Q. Докажите, что прямая АВ проходит или через точку Р, или через точку Q.
Задача 47:На сторонах АД и ДС ромба АВСД построены правильные треугольники АКД и ДМС так, что точка К лежит по ту же сторону от АД, что и прямая ВС, а точка М – по другую сторону от ДС, чем АВ. Докажите, что точки В, К, М лежат на одной прямой.
Задача 48:На диагонали ВД параллелограмма АВСД взяли точки А' и С' так что, АА'││СС'. Точка К принадлежит отрезку А'С, прямая АК пересекает прямую С'С в точке L. Через точку К проведена прямая, параллельная ВС, через точку С проведена прямая, параллельная ВД. Эти две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что точки Д, М,L лежат на одной прямой
Задача 49:В ромбе АВСД на отрезке ВС нашлась точка Е такая, что АЕ=СД. Отрезок ЕД пересекается с описанной окружностью треугольника АЕВ в точке F. Докажите, что точки А,F, C лежат на одной прямой
Задача 50:На одной из сторон данного угла зафиксирована точка А. Рассматриваются всевозможные окружности, касающиеся этой стороны в точке А и пересекающие другую сторону в двух точках В и С(каждая окружность в своей паре точек, обозначаемых через В и С). Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники АВС, лежат на одной прямой
Задачи на доказательство параллельности двух прямых
Задача 51: На окружности даны точки А,В, М, N. Из точки М проведены хорды МА1 и МВ1, перпендикулярные прямым NB и NA соответственно. Доказать, что прямые АА1 и ВВ1.
Задача 52:В треугольнике АВС угол А равен сорок градусов, а угол В-70. Через вершину В проведена прямая ВД так, что луч ВС- биссектриса угла АВД. Докажите, что прямые АС и ВД параллельны
Задача 53:В треугольнике АВС ВД- медиана, М- произвольная точка., лежащая на медиане. Прямые АМ и СМ пересекают стороны треугольника соответственно в точках Е и К. Докажите, что ЕК и АС параллельны
Задача 54:Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точки А и В проведены секущие MAN и PBQ( точки М и Р лежат на первой окружности, точки N и Q-на второй окружности). Докажите, что МР││NQ.
Задача 55:На стороне АВ правильного треугольника АВС взяли точку М и на отрезке МС по ту же сторону от неё, что и точка В, построили правильный треугольник МКС. Доказать, что прямые АС и ВК параллельны
Задача 56:На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки М и N так, что ВМ=MN=NC. Отрезки ММ1 и NN1- биссектрисы треугольника АМN. Докажите, что прямые М1 N1 и ВС параллельны.
Задача 57:В окружности проведены две пересекающиеся хорды АВ и СД. На отрезке АВ взяли точку М так, что АМ=АС, а на отрезке СД- точку N так, что DN=DB. Докажите, что если точки М и N не совпадают, то прямые МN и АД параллельны
Задача 58: Точки А,В, С,Д,Е и К расположены на окружности. Хорды ЕС и ДА пересекаются в точке М, а хорды ВЕ и ДК- точке Р. Докажите, что если хорды АВ и СК параллельны, то они параллельны так же прямой МР.
Задача 59:Отрезок МР, соединяющий середины сторон АД и ВС четырёхугольника АВСД пересекает его диагонали АС и ВД соответственно в точках Е и К. Докажите, что если МЕ=РК, то АВСД- трапеция
Задача 60: Докажите, что если в четырёхугольнике АВСД отрезок, соединяющий середины АВ и СД, равен полусумме АД и ВС, то АД и ВС параллельны
Задача 61: Пусть А1 и А2- точки пересечения окружностей S1 и S2, В1 и В2- точки пересечения окружностей S2 и S3 и О1,О2,О3- соответственно центры окружностей S1 , S2 , S1 . Докажите, что если точки О1, А1, О2, В1, О3 лежат на одной окружности, то отрезок А2 В2 параллелен О1О3
Задача 62:Радиус ОМ окружности с центром в точке О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку М, параллельна хорде АВ
Задача 63: на стороне АС треугольника АВС выбрана точка Д такая, что ДС=2АД, О-центр вписанной окружности треугольника ДВС, Е- точка касания этой окружности с прямой ВД. Оказалось, что ВД=ВС. Докажите, что АЕ параллельно ДО.
Задача 64: в треугольнике АВС проведены биссектрисы углов А и С. Точка Д и Е –основания перпендикуляров, опущенных из вершины В на эти биссектрисы. Докажите, что ДЕ параллелен АС
Задача 65: вневписанная в треугольник АВС окружность касается стороны ВС в точке М, О- центр вписанной в треугольник окружности, К – середина стороны ВС. Докажите, что прямые АМ и ОК параллельны
Задача 66: Дан четырёхугольник АВСД. Прямая, проведённая через вершину А параллельно ВС пересекает прямую ВД в точке М, а прямая, проведённая через точку В, параллельно АД пересекает АС в точке Р. Докажите, что МР параллельно СД.
Задача 67:Дан треугольник АВС. О- произвольная точка, Д,Е,К- точки, симметричные соответственно точкам А,В,С относительно О. Докажите, что треугольники АВС и ДЕК равны и что их стороны соответственно параллельны.
Задача 68:В шестиугольнике АВСДЕК противолежащие стороны параллельны. Докажите, что ВЕ параллельно АК
Задача 69:на стороне АВ параллелограмма АВСД расположена точка К, на продолжении стороны СД за точку Д- точка Р. Прямые КД и ВР пересекаются в точке Т, а прямые РА и СК- в точке М. Докажите, что отрезок МТ параллелен стороне АД.
Задача 70: В окружности проведены две пересекающиеся хорды АВ и СД. На отрезке АВ взяли точку М так, что АМ=АС, а на отрезке СД- точку Р так, что ДР= ДВ. Докажите, что М и Р не совпадают, то прямые МР и АД параллельны
Задача 71:на сторонах АВ и СВ треугольника АВС выбраны соответственно точки Д и Е. М- точка пересечения прямой, параллельной ВС и проходящей через точку Д, с отрезком АЕ, а Т-точка пересечения отрезка СД с прямой, проходящей через точку Е параллельно АВ. Доказать, что прямые МТ и АС параллельны.
Задача 72:пусть в выпуклом четырёхугольнике АВСД прямая СД касается окружности с диаметром АВ. Доказать, что если прямая АВ касается окружности с диаметром СД, то прямые ВС и АД параллельны
Задача 73: в треугольнике АВС точка Д лежит на стороне АС, углы АВД и ВСД равны, АВ=СД, АЕ- биссектриса угла А. Докажите, что ЕД параллелен АВ.
Задача 74: на продолжении диагоналитрапеции АВСД за точкой С взята точка Р. Прямые, проходящие через точку Р и середины оснований трапеции, пересекают боковые стороны АВ и СД соответственно в точках М и К. Докажите, что отрезок МК параллелен основаниям трапеции.
Задача 75: На стороне АВ правильного треугольника АВС взяли точку М и на отрезке МС по ту же сторону от неё, что и точка В, построили правильный треугольник МКС. Доказать, что прямые АС и ВК параллельны.
Задачи на доказательство перпендикулярности двух прямых.
Задача 76:В остроугольном треугольнике ∆АВС проведены высоты АК и ВД. Доказать, что отрезки ОС и КД перпендикулярны, если точка О- центр окружности, описанной около треугольника АВС.
Задача 77: Дан прямоугольный треугольник АВС. Из вершины С прямого угла проведена высота СД. Точки М и Т- середины СД и ВД. Докажите, что отрезки АМ и СТ перпендикулярны.
Задача 78: В треугольнике АВС угол А равен600, АС=АВ. Докажите, что АС перпендикулярно ВС.
Задача 79: В окружность вписан четырёхугольник АВСД. Диагонали его перпендикулярны и пересекаются в точку М. Докажите, что прямая, проходящая через точку М и середину Т стороны АВ, перпендикулярна стороне СД.
Задача 80:Докажите, что диаметр окружности, проходящей через середину хорды, перпендикулярен ей.
Задача 81: Пусть точки Е и Д- проекции точки Н, лежащей на АС остроугольного треугольника АВС, на сторонах АВ и ВС соответственно. Доказать, что если точки А, Е, Д, С лежат на одной окружности, то ВН- высота треугольника АВС .
Задача 82: АВСД- параллелограмм. Вне его построены квадраты АВРЕ и ВСКМ. Доказать, что отрезки ЕД и ДК перпендикулярны.
Задача 83: Пусть точки М и Т- середины сторон АВ и СВ квадрата АВСД. Отрезки СМ и ДТ пересекаются в точке Р. Докажите, что СМ и ДТ перпендикулярны.
Задача 84: На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены квадраты ВСДЕ, АСТМ, ВАНК и параллелограммы ТСДО, ЕВКР. Докажите, что ÐРАО=900
Задача 85: Доказать, что биссектрисы углов, прилегающих к боковой стороне трапеции, пересекаются под прямым углом.
Задача 86: Окружности с центрами О и Р касаются внешним образом в точке К. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках А и В и пересекает их общую касательную, проходящую через точку К, в точке М. Докажите, что ÐОМР=ÐАКВ=900
Задача 87:Окружности с центрами О и Р имеют общую хорду АВ. Угол ÐАОВ=600. Отношение длины первой окружности к длине второй окружности равно . Найти угол ÐАРВ.
Задача 88:Докажите, что диагонали ромба взаимоперпендикулярны.
Задача 89:Докажите,что если в ∆АВС медиана СМ равна половине стороны АВ, то ∆АВС- прямоугольный
Задача 90: Две окружности касаются в точке А. ВС-их общая внешняя касательная. Доказать, что ÐВАС-прямой
Задача 91: На отрезке АС по разные стороны от него построены два равнобедренных треугольника АВС и АДС. Вершины этих треугольников соединены прямой ВД. Докажите, что ВД перпендикулярна АС
Задача 92: В треугольнике АВС на продолжении стороны ВС за точку С отложен отрезок СД, равный СА. Точки А и Д соединены отрезком. СЕ- биссектриса треугольника АСВ, а СF- медиана треугольника АСД. Докажите, что CF перпендикулярна СЕ.
Задача 93: На отрезке АС как на основании построены по разные стороны от него два равнобедренных треугольника АВС и АДС. Докажите, что АС перпендикулярен ВД.
Задача 94: В равнобедренном треугольнике АВС(АВ=АС) на сторонах АВ и ВС отмечены соответственно точки Д и Е, причем АД=ДЕ, ДЕ ll АС. Докажите, что АЕ перпендикулярен ВС.
Задача 95: На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС построены квадраты АКМС и СРЕВ. Прямые КМ и РЕ пересекаются в точке Т. Докажите, что ТС перпендикулярен АВ.
Задача 96: Треугольник АВС- правильный треугольник. Точка М лежит вне треугольника. От точки М отложены векторы , , соответственно равные векторам , , . Докажите, что ML перпендикулярен КР.
