Теорема о трёх перпендикулярах и её применение при решении задач.
Теорема о трёх перпендикулярах и её применение при решении задач.
Работа предназначена для учащихся общеобразовательных классов. Презентация может быть использована при знакомстве с темой: "Теорема о трёх перпендикулярах и обратная ей теорема". Формулировка теоремы записана на математическом языке, чтобы учащиеся могли самостоятельно сформулировать теорему, обратную теореме о трёх перпендикулярах. Доказательство теоремы записано с пропусками ( как в ТПО), чтобы учащиеся могли сначала самостоятельно провести доказательство с дальнейшей проверкой с помощью слайдов презентации. Далее показано применение этой теоремы при решении задач, взятых из сборника Рабиновича Е.М. "Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 класс".
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Теорема о трёх перпендикулярах и её применение при решении задач. »
Учебник: Атанасян Л.С.Геометрия 10-11кл.
Учитель:Гусева Н.П.
перпендикуляр
A
наклонная
H
основание перпендикуляра
C
основаниенаклонной
проекция наклонной
на плоскость
____ AC наклонная CH m Док-во : 1. По условию AH = по опр. АН ___, АН ___ 2. Рассмотрим плоскость (А HC ). Прямая m (А HC ) (по ___________________________ ), т.к. m ___ , m ___ . 3. По ____________________ m перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ______ . А значит, m ___. CH m А AH CH признаку перпендикулярности определению AH С A С Н m С " width="640"
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной _______________ к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к _____________________.
перпендикулярна
самойнаклонной
перпендикуляр
Рассмотрим отрезок AH - _______________ к плоскости , АС - __________, m – прямая, проведенная в плоскости через точку С.
m _____ = ____ AC
наклонная
CH
m
Док-во :
1. По условию AH = по опр. АН ___, АН ___
2. Рассмотрим плоскость (А HC ). Прямая m (А HC )
(по ___________________________ ), т.к. m ___ , m ___ .
3. По ____________________ m перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ______ . А значит, m ___.
CH
m
А
AH
CH
признаку перпендикулярности
определению
AHС
AС
Н
m
С
____ НС наклонная AC m Док-во : 1. По условию AH = по опр. АН ___, АН __ _ 2. Рассмотрим плоскость (А HC ). Прямая m (А HC ) (по _____________________________ ), т.к. m ___ , m ___ . 3. По ___ _____________ ____ m перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ______ . А значит, m ___. m HC А АС А H признаку перпендикулярности определению AHC HC Н m С " width="640"
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной _______________ к ней, перпендикулярна и к ее___ ________ ____.
перпендикулярно
проекции
перпендикуляр
Рассмотрим отрезок AH - _______________ к плоскости , АС - __________, m – прямая, проведенная в плоскости через точку С.
m _____ = ____ НС
наклонная
AC
m
Док-во :
1. По условию AH = по опр. АН ___, АН __ _
2. Рассмотрим плоскость (А HC ). Прямая m (А HC )
(по _____________________________ ), т.к. m ___ , m ___ .
3. По ___ _____________ ____ m перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ______ . А значит, m ___.
m
HC
А
АС
АH
признаку перпендикулярности
определению
AHC
HC
Н
m
С
3. Построить перпендикуляр из точкиMк прямойBC.
M
Доп. постр. AH BC
CAH = 30
A
B
BC=AC= 2CH
30
120
BC :CH=2:1
C
H
a
М O OH Доп. постр. OH BC По теореме о трех перпендикулярах MH BC M 12 А 1 5 O OH – средняя линия АВС OH = AC/2 B 9 1 8 OH=9 H 1 0 В MOH – прямоугольном MH = 144+81=15 C a" width="640"
4. Найти расстояние от точкиMдо прямой ВC.
М O (ABC) = М O OH
Доп. постр. OH BC
По теореме о трех перпендикулярах
MH BC
M
12
А
1 5
O
OH – средняя линия АВС
OH = AC/2
B
9
1 8
OH=9
H
1 0
В MOH – прямоугольном
MH = 144+81=15
C
a
6.ABCD- параллелограмм.Найти расстояние от точки М до прямойAD.
Доп. постр. BH AD
По теореме о трех перпендикулярах
MH AD
M
8
A = C = 30
10
C
B
BH = AB/2
BH = 6
30
12
6
30
А
В MHB – прямоугольном
MH = 64 + 36 =10
H
D
a
по признаку C 1 C (BCD) D 1 A 1 По теореме о трёх перпендикулярах C 1 D AD Поэтому ( C 1 , AD ) = C 1 D С B В C 1 CD – прямоугольном C 1 D = 4 + 4 =2 2 D A" width="640"
7.На рисунке АBCDA1B1C1D1–куб, ребро которого равно 2. Найти расстояние от вершины С1до прямой, содержащей реброAD.
____ AC наклонная CH m Док-во : 1. По условию AH = по опр. АН ___, АН ___ 2. Рассмотрим плоскость (А HC ). Прямая m (А HC ) (по ___________________________ ), т.к. m ___ , m ___ . 3. По ____________________ m перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ______ . А значит, m ___. CH m А AH CH признаку перпендикулярности определению AH С A С Н m С " width="640"
____ НС наклонная AC m Док-во : 1. По условию AH = по опр. АН ___, АН __ _ 2. Рассмотрим плоскость (А HC ). Прямая m (А HC ) (по _____________________________ ), т.к. m ___ , m ___ . 3. По ___ _____________ ____ m перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ______ . А значит, m ___. m HC А АС А H признаку перпендикулярности определению AHC HC Н m С " width="640"
М O OH Доп. постр. OH BC По теореме о трех перпендикулярах MH BC M 12 А 1 5 O OH – средняя линия АВС OH = AC/2 B 9 1 8 OH=9 H 1 0 В MOH – прямоугольном MH = 144+81=15 C a" width="640"
по признаку C 1 C (BCD) D 1 A 1 По теореме о трёх перпендикулярах C 1 D AD Поэтому ( C 1 , AD ) = C 1 D С B В C 1 CD – прямоугольном C 1 D = 4 + 4 =2 2 D A" width="640"
