Проект "Решение текстовых задач "

24

ПРОЕКТ

«Решение текстовых задач»

Исполнитель Манина Раиса Михайловна

Учитель МБОУ «Анциферовская ООШ»

Орехово-Зуевского района

Оглавление

страницы

1. Введение. 3

1) Актуальность проблемы. 3

2) Задачи проекта. 3

3) Цели решения текстовых задач. 3.

2. Основная часть. 4

1) Арифметический метод решения задач. 4

2) Алгебраический метод решения задач. 7

3) Комбинированный метод решения задач. 9

4) Текстовые задачи в учебниках алгебры 9 класса. 9

5) Алгоритм и приемы решения задач. 10

6) Примеры решения задач 11

7) Сложности при решении задач и пути их преодоления. 17

3. Заключение. 20

1) Советы по организации деятельности учащихся при решении задач.

2) Выводы. 21

4. Список литературы 22

Решение текстовых задач.

1. Введение.

Одним из важных вопросов методики преподавания математики является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач.

Задачи являются материалом для ознакомления учащихся с новыми понятиями, для развития логического мышления, формирования межпредметных связей. Задачи позволяют применять знания, полученные при изучении математики, при решении вопросов, которые возникают в жизни человека. Этапы решения задач являются формами развития мыслительной деятельности учащихся. Наблюдается активизация их мыслительной работы, формируется умение проводить исследование. При правильной организации работы у учащихся развивается активность, наблюдательность, находчивость, сообразительность, смекалка, абстрактное мышление, умение применять теорию к решению конкретных задач и закрепление на практике приобретённых умений и навыков.

Текстовые задачи входят в ГИА и ЕГЭ, являются традиционным разделом на вступительных экзаменах в Вузы. Таким образом, данная тема имеет важнейшее значение в обучении математике.

Задачи проекта:

• Проведение теоретического анализа различных подходов к решению задач в современной науке.

• Обобщение различных приемов решения текстовых задач.

• Обобщение методики решения задач на движение, работу, проценты, смеси, сплавы и т.д.

• Определение сложностей, которые испытывают учащиеся при решении текстовых задач, и пути их решения.

Основные цели решения текстовых задач в школьном курсе математики:

• научить переводить реальные предметные ситуации в различные математические модели,

• обеспечить действенное усвоение учащимися основных методов и приемов решения учебных математических задач.

2. Основная часть.

Текстовые задачи включены в учебники математики 5-11 классов, за период обучения школьники решают около 500 различных задач.

Для решения текстовых задач применяются три основных метода: арифметический, алгебраический и комбинированный. Рассмотрим каждый из этих методов.

I. Арифметический метод.

Первым этапом решения задач арифметическим методом является разбор условия задачи и составление плана её решения. Этот этап решения задачи сопровождается максимальной мыслительной деятельностью.

Вторым этапом является решение задачи по составленному плану. Этот этап решения проводится учащимися без особых затруднений и в большинстве случаев носит тренировочный характер.

Третьим важным этапом решения задачи является проверка решения задачи. Она проводится по условию задачи. Пренебрежение проверкой при решении задачи, замена её проверкой ответов снижает роль решения задачи в процессе развития логического мышления учащихся.

При решении текстовых задач арифметическим методом у учащихся вырабатываются определённые умения и навыки, которые в процессе дальнейшего обучения должны совершенствоваться и закрепляться.

При арифметическом методе решения задач формируются 56 основных умений и навыков. Из них 38 умений и навыков приобретаются при решении задач как арифметическим, так и алгебраическим методами.

К ним относятся следующие умения и навыки:

1. Краткая запись условия задачи.

2. Изображение условия задачи с помощью рисунка.

3. Логические приёмы мышления: наблюдение и сравнение, анализ и синтез, абстрагирование и конкретизация, обобщение и ограничение, умозаключения индуктивного и дедуктивного характера и умозаключения по аналогии.

4. Выполнение арифметических действий над величинами (числами).

5. Изменение (увеличение или уменьшение) величины (числа) в несколько раз.

6. Нахождение разностного сравнения величин (чисел).

7. Нахождение кратного сравнения величин (чисел).

8. Использование свойств изменения результатов действий в зависимости от изменения компонентов.

9. Изменение (увеличение или уменьшение) величины (числа) на несколько единиц величины (числа).

10. Нахождение дроби от величины (числа).

11. Нахождение величины (числа) по данной её (его) дроби.

12. Нахождение процентов данной величины (данного числа).

13. Нахождение величины (числа) по её (его) проценту.

14. Нахождение процентного отношения двух величин (чисел).

15. Составление пропорций.

16. Понятие прямой и обратной пропорциональной зависимости величин (чисел).

17. Понятие производительности труда.

18. Определение производительности труда при совместной работе.

19. Определение части работы, выполненной в течение некоторого промежутка времени.

20. Определение скорости движения.

21. Определение пути, пройденного телом.

22. Определение времени движения тела.

23. Понятие о собственной скорости (скорости в стоячей воде) движения тела по воде.

24. Нахождение пути, пройденного двумя телами при встречном движении.

25. Нахождение скорости движения тела по течению и против течения реки.

26. Нахождение времени прохождения телом единицы пути при заданной скорости движения.

27. Нахождение скорости сближения тел, движущихся в одном направлении, и скорости удаления.

28. Нахождение скорости сближения или скорости удаления тел, движущихся в противоположных направлениях или при встречном движении.

29. Нахождение части пути, пройденного телом за определённое время, когда известно время прохождения всего пути.

30. Нахождение количества вещества, содержащегося в растворе, смеси, сплаве.

31. Нахождение концентрации, процентного содержания.

32. Нахождение стоимости товара, акции.

33. Нахождение цены товара, акции.

34. Нахождение прибыли.

35. Нахождение количества вредных веществ в воде, воздухе.

36. Нахождение себестоимости продукции.

37. Расчёт начислений банка на вклады.

38. Проверка решения задачи по условию.

Умения и навыки, которые формируются в процессе решения задач только арифметическим методом, можно разбить на две группы. К первой группе относятся умения и навыки, которые необходимы для дальнейшего изучения математики.

К первой группе относятся следующие умения и навыки:

1. Перевод календарного времени в арифметическое число.

2. Перевод арифметического числа в календарное время.

3. Нахождение времени предыдущего события.

4. Нахождение времени последующего события.

5. Нахождение промежутка времени между двумя событиями.

Все умения и навыки этой группы формируются в процессе решения задач на вычисление времени, т.е. тех задач, которые нет смысла решать алгебраически.

Вторая группа – это те умения и навыки, без знания которых можно решить все текстовые задачи алгебраическим методом, и в дальнейшем их незнание не будет пробелом в математическом образовании учащихся.

Ко второй группе относятся следующие умения и навыки:

1. Введение понятия "часть".

2. Выполнение действий сложения и вычитания частей.

3. Выполнение умножения и деления части на число.

4. Приём уравнивания большего числа с меньшим и меньшего с большим.

5. Приём уравнивания прибавлением к меньшему числу и вычитанием из большего числа их полуразности.

6. Определение числа частей, составляющих данное число.

7. Введение понятий условной единицы.

8. Нахождение дроби условной единицы и её частей.

9. Сравнение частей величин.

10. Сложение и вычитание частей единицы.

11. Метод исключения неизвестного посредством замены одной величины другой.

12. Решение задач методом предположения.

13. Составление плана решения задачи.

Эти умения и навыки, несомненно, представляют интерес. Но почти все из них можно отнести к числу умений и навыков, формирующихся у учащихся при решении нестандартных задач. Решение таких задач следует проводить систематически наряду с решением стандартных текстовых задач.

II. Алгебраический метод.

Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, решения неравенства или системы неравенств, составленных по условию задачи. Иногда алгебраическое решение задачи бывает очень сложным.

При решении задач алгебраическим методом основная мыслительная деятельность сосредотачивается на первом этапе решения задачи: на разборе условия задачи при составлении уравнений или неравенств по условию задачи.

Вторым этапом является решение составленного уравнения или системы уравнений, неравенства или системы неравенств.

Третьим важным этапом решения задач является проверка решения задачи, которая проводится по условию задачи.

При алгебраическом методе решения формируются 55 основных умений и навыков.

Отличными от тех, которые формируются при арифметическом их решении, являются следующие:

1. Введение неизвестного.

2. Введение двух неизвестных.

3. Введение трёх и более неизвестных.

4. Выполнение действий сложения и вычитания неизвестных.

5. Выполнение действий умножения и деления неизвестных.

6. Запись зависимости между величинами с помощью букв и чисел.

7. Решение линейных уравнений.

8. Решение линейных неравенств.

9. Решение квадратных уравнений и неравенств.

10. Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств.

11. Решение систем уравнений и систем неравенств.

12. Составление одного уравнения (неравенства) с двумя неизвестными.

13. Решение уравнения (неравенства) с двумя неизвестными.

14. Выбор значений неизвестных по условию задачи.

15. Составление уравнений с параметром по условию текстовой задачи.

16. Решение уравнений с параметром.

17. Исследовательская работа.

В связи с внедрением в школьную программу элементов высшей математики, с ускоренным развитием и внедрением во все сферы вычислительной математики большое значение имеет формирование у учащихся не отдельных специфических навыков, а тех умений и навыков, которые имеют дальнейшее приложение. К числу этих умений и навыков относятся умения и навыки, которые формируются в процессе решения задач алгебраическим методом.

III. Комбинированный метод.

Этот метод получается в результате включения в алгебраический метод решения задач решение, в котором часть неизвестных величин определяется с помощью решения уравнения или системы уравнений, неравенств или систем неравенств, а другая часть – арифметическим методом. В этом случае решение текстовых задач значительно упрощается.

Текстовые задачи в различных учебниках алгебры 9 класса

Учебники	Текстовые задачи	На работу	Движение по окружности	Смеси, сплавы	Раздел «Для внекл. работы»
Макарычев Ю.Н.	65	15	-	-
Алимов Ш.А.	55	7	-	2	20
Мордкович А.Г.	73	14	1	3

Этапы решения текстовых задач:

Анализ содержания задачи.

• Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения.

• Осуществление плана решения задачи.

• Проверка решения задач и исследование.

Алгоритм решения задач.

• Обозначим неизвестную величину через х.

• Выразим через нее другие величины.

• Найдем зависимость между ними и на основании ее составим уравнение.

• Решим уравнение.

• Найдем ответ на вопрос задачи, выполнив отбор решений по смыслу задачи.

• Проверим правильность решения задачи. Запишем ответ.

Приемы, используемые на этапе «Анализ задачи»

• представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче. Цель такого воспроизведения — выявление основных количественных и качественных характеристик ситуации, представленной в задаче.

• постановка специальных вопросов и поиск ответов на них — включает следующий «стандартный» набор вопросов, ответы на которые позволяют детально разобраться в содержании задачи: О чем говорится в задаче? Что известно в задаче? Что требуется найти в задаче? Что в задаче неизвестно? и др.

• переформулировка текста задачи — состоит в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим описанием, сохраняющим все отношения, связи, но более явно их выражающим. При необходимости строится вспомогательная модель задачи: краткая запись условия, таблица, рисунок, чертеж и т.п.

• моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных моделей или графических моделей.

Приемы, используемые на этапе «Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения».

• анализ задачи по тексту или по ее вспомогательной модели;

• от вопроса задачи к данным (аналитический путь) или от данных к вопросу (синтетический путь);

• комбинированный (анализ и синтез), анализ часто производят «про себя»;

• разбиение задачи на смысловые части; введение подходящих обозначений в том случае, когда данные (или искомые) в задаче не обозначены

Практическая часть.

Задача 1. Ваня, Петя и Сережа пошли на рыбалку и поймали вместе 51 рыбку. Ваня поймал рыбок в 2 раза больше, чем Петя, а Сережа на 3 рыбки больше, чем Петя. Сколько рыбок поймал каждый мальчик?

Ваня - ?, в 2 раза больше

Петя - ? р.

Сережа - ?, на 3 р. больше

Пусть

Ваня	2х рыбок
Петя	Х рыбок
Сережа	(х + 3) рыбок
Всего	51 рыбка

х + 2х + х +3 =51.

х = 12.

Следовательно,

Петя поймал 12 рыбок,

Ваня 24 рыбки,

Сережа 15 рыбок.

Задача 2. Пристани А и В расположены на реке, причем В – на 80 км ниже по течению, чем А. Катер прошел путь из А в В и обратно за 8 ч 20 мин. За какое время катер прошел расстояние от А до В и расстояние от В до А, если известно, что скорость в стоячей воде равна 20 км/ч?

Р е ш е н и е.

Первый этап.

Составление математической модели.

Пусть х км/ч – скорость течения реки.

Получим уравнение

80: (20+х )+ 80:(20-х) = 81/3 .

Второй этап. Работа с составленной моделью.

Решив уравнение, находим х = 4.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

t = 3 ч, t = 5 ч.

Задача 3. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 ч. Если бы сначала первый рабочий сделал половину этой работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый рабочий в отдельности? Р е ш е н и е.

Р е ш е н и е.

Первый этап. Составление математической модели.

Примем всю работу за 1.

Производительность труда I рабочего x

, а II - y . За 12 ч, работая отдельно, I

рабочий выполнит 12/x всей работы, а II рабочий - 12/y

всей работы, т.е. 12/x+12/y = 1

12/x + 12/y = 1,

0,5x +0,5y = 25; находим решение: х = 20, у = 30 .

Третий этап. Ответ на вопрос задачи. 20 ч и 30 ч.

Задача 4. Сплав меди и цинка содержал 82 % меди. После добавления в сплав 18 кг цинка процентное содержание меди в сплаве понизилось до 70%. Сколько меди и сколько цинка было первоначально? Р е ш е н и е.

Первый этап. Составление математической модели.

Пусть первоначальная масса сплава х кг.

Расчет ведем по меди, масса меди в сплаве остается неизменной. Получим уравнение

0,82х= 0,7(х+18). Корень уравнения

х =105.

Тогда меди в первоначальном сплаве 86,1 кг,

цинка – 18,9 кг.

Задача5. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Найти скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного поезда составляет 5/8 от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.

Решение (черновик).

Отвечаем на вопросы, поэтапно составляя таблицу.

1. Речь идёт о процессе движения, которое характеризуется тремя величинами: расстояние, скорость, время (3 столбца таблицы).

2. В задаче 3 процесса: движение скорого, пассажирского и товарного поездов (3 строчки таблицы).

Можно составить “скелет” таблицы.

Величины Процессы	Расстояние (км)	Скорость (км/ч)	Время (ч)
Скорый поезд	с	с	с
Пассажирский поезд	с	с	с
Товарный поезд	с	с	с

3. Заполняем таблицу в соответствии с условиями задачи

4. Вводим неизвестные величины: x, км/ч – скорость товарного поезда, y, ч – время движения скорого поезда.

5. Составим “модель”.

(x+50)y = 8/5 x(y+1)

8/5 x(y+1) = x(y+4)

6. Решаем эту систему. Из первого уравнения находим у. Из второго уравнения находим х.

Решение задачи (чистовик).

Пусть х, км/ч – скорость товарного поезда (х0), у, ч – время движения скорого поезда (у0).

Составляем таблицу.

Величины Процессы	Расстояние (км)	Скорость (км/ч)	Время (ч)
Скорый поезд	(х+50)у	х+50 ?	у
Пассажирский поезд	8/5 х(у+1)	8/5 х	у+1
Товарный поезд	х(у+4)	х ?	у+4

По условию задачи поезда прошли одно и то же расстояние. Получаем систему уравнений

8/5 х(у+1) = х(у+4)

(х+50)у = х(у+4).

По условию задачи х0, тогда

8(у+1) = 5(у+4)

(х+50)у = х(у+4),

3у = 12

(х+50)у = х(у+4),

у = 4

х+50 = 2х,

у = 4

х = 50.

Полученные значения неизвестных удовлетворяют условию х0, у0, значит удовлетворяют условию задачи.

50 км/ч – скорость товарного поезда.

50+50 = 100 (км/ч) – скорость скорого поезда.

Проверка по условию задачи.

50 км/ч – скорость товарного поезда,

4+4 = 8 (ч) – время движения товарного поезда.

50*8 = 400 (км) – расстояние, которое прошёл товарный поезд.

50*8/5 = 80 (км/ч) – скорость пассажирского поезда.

4+1 = 5 (ч) – время движения пассажирского поезда.

80*5 = 400 (км) – расстояние, которое прошёл пассажирский поезд.

4 ч – время движения скорого поезда.

50+50 = 100 (км/ч) – скорость скорого поезда.

100*4 = 400 (км) – расстояние, которое прошёл скорый поезд.

Каждый поезд прошёл одно и то же расстояние.

Задача решена верно.

Ответ: 50 км/ч, 100 км/ч.

Аналогично можно решать задачи “на работу”, “наполнение бассейна”.

В результате проведенной работы были выявлены проблемы и способы их решения для достижения практического эффекта.

Сложности при решении текстовых задач и
пути их решения.

Составление математической модели
непонимание физических, химических, экономических терминов, законов,	Тщательно изучить и правильно истолковать содержание задачи, выразив искомые величины через известные величины и введенные переменные. Не зацикливаться на периодичности маршрута при движении по окружности, а мыслить только в категориях время, путь, скорость.
непонимание связи между расстоянием, скоростью и временем при равномерном движении или между работой, производительностью труда и временем и т.п.зависимости
затруднения в определении скорости сближения объектов при движении навстречу, в одном направлении или при движении по окружности
2. Составление уравнений и неравенств, связывающих данные величины и переменные, которые вводят учащиеся
неправильный выбор величин, относительно которых составляется уравнение	Важно правильно выбрать величины, относительно которых будет составлено уравнение. Неправильный выбор делает процесс составления уравнения более сложным.
усложнение процесса составления уравнения из-за неправильного выбора величин
3. Нахождение соответствия между различными величинами, применительно к которым формулируется вопрос задачи.
невозможность нахождения значения переменных, которые в уравнениях присутствуют и не являются необходимыми	держать в поле зрения основную цель, не боясь вводить столько вспомогательных переменных, сколько их понадобится по ходу решения. Совсем необязательно ставить в качестве непременного условия сведение числа неизвестных к минимуму.
большое количество неизвестных, нахождение значения которых не являются необходимыми
4. Решение уравнений, системы уравнений или невозможность решения уравнения, неравенства.
Невозможно решения уравнения, неравенства или их системы	Решение полученной системы уравнений или неравенств желательно наиболее рациональным методом.
решение уравнения, неравенства или их системы нерациональным способом или их системы

3. Заключение.

При решении текстовых задач учащимся могут помочь несколько простых и общих советов.

Совет 1. Не просто прочитайте, а тщательно изучите условие задачи. Попытайтесь полученную информацию представить в другом виде – это может быть рисунок, таблица или просто краткая запись условия задачи.

Совет 2. Выбор неизвестных.

В задачах "на движение" – это обычно скорость, время, путь. В задачах “на работу” - производительность и т.д.

Не надо бояться большого количества неизвестных или уравнений. Главное, чтобы они соответствовали условию задачи и можно было составить соответствующую “математическую модель” (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств).

Совет 3. Составление и решение “математической модели”.

При составлении “математической модели” (уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств) ещё раз внимательно прочитайте условие задачи. Проследите за тем, что соответствует каждой фразе текста задачи в полученной математической записи и чему в тексте задачи соответствует каждый “знак” полученной записи (сами неизвестные, действия над ними, полученные уравнения, неравенства или их системы).

Очень важно не только составить уравнение, неравенство, систему уравнений или неравенств, но и решить составленное.

Если решение задачи не получается, то нужно ещё раз прочитать и проанализировать задачу (заданный текст и полученную запись).

Иногда по условию задачи достаточно отыскать не сами неизвестные, а их комбинации. Например, не x и y, а x+y, x/y, 1/x и т.п.

Если кажется, что получилось правильное, но очень сложное выражение, то попробуйте ввести другие неизвестные, может быть, изменив их количество, чтобы получилась более простая модель.

Иногда неизвестные в задачах выражаются только целыми числами, тогда при решении задач нужно использовать свойства целых чисел.

Совет 4. Решение сложной текстовой задачи – процесс творческий. Иной раз требуется вернуться к самому началу задачи, учитывая и анализируя уже полученные результаты.

При решении задач короткую запись задачи можно сделать с помощью рисунка или таблицы.

Таблица является универсальным средством и позволяет решать большое количество идейно близких задач.

Можно выделить семь вопросов, которые дают верное направление решению задач разных типов.

Вопросы к задаче с комментариями к ним:

1. О каком процессе идёт речь? Какими величинами характеризуется этот процесс? (Количество величин соответствует числу столбцов таблицы).

2. Сколько процессов в задаче? (Количество процессов соответствует числу строк в таблице).

3. Какие величины известны? Что надо найти? (Таблица заполняется данными задачи; ставится знак вопроса).

4. Как связаны величины в задаче? (Вписать основные формулы, выяснить связи и соотношения величин в таблице).

5. Какую величину (величины) удобно выбрать в качестве неизвестной или неизвестных? (Клетки в таблице заполняются в соответствии с выбранными неизвестными).

6. Какие условия используются для составления “модели”? (Выписать полученную “модель”)

7. Легко ли решить полученное? (Если решить сложно, ввести новые переменные, использовать другие соотношения).

Выводы:

• Для того, чтобы научиться решать задачи, надо приобрести опыт их решения путем многократного повторения операций, действий, составляющих предмет изучения.

• Редкие ученики самостоятельно приобретают такой опыт. Долг учителя - помочь учащимся приобрести опыт решения задач, научить их решать задачи.

• Помощь учителя не должна быть чрезмерной, но и не быть слишком малой.

• Навыки решения текстовых задач формируются на основе осмысленных знаний и умений.

• Для формирования навыков нужна тщательно продуманная система упражнений и задач «от простого к сложному».

• Знания учащихся по математике должны совершенствоваться с решением каждой новой задачи.

• Следует добиваться, чтобы осознанные умения и навыки ученики получали при наименьших затратах времени.

• Следует учитывать индивидуальные особенности и возможности учащихся.

Список литературы:

1. Алимов.- ,Алгебра 9класс , Москва, Просвещение, 2009

2. Ерина Т.М. Алгебра. Текстовые задачи - Москва, МГТУ «МАМИ»,2004

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.-,Алгебра 9класс ,Москва, Просвещение, 2009

4. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика А.Я.Блох и другие, Москва, Просвещение, 1985.

5. Мордкович А.Г. -.Алгебра 9класс, Москва, Мнемозина, 2009

6. Примерные программы по учебным предметам. Математика .5 -9 классы проект- Москва, Просвещение, 2010 (Стандарты второго поколения)

7.Турецкий Е.Н., Фридман Л.М. -Как научиться решать задачи, Москва, Просвещение, 1989

8.Решение текстовых задач. http://school-collection.edu.ru/catalog/res/d92c7ae3-a9f1-4ff3-afb0-e1f1783fee48/?from=8f5d7210-86a6-11da-a72b-0800200c9a66&.

9. Презентационные подходы в решении текстовых задач. http://school-collection. edu.ru/.