Признаки делимости натуральных чисел

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Школа №80 городского округа Донецк»

Проект

« Признаки делимости натуральных чисел»

Автор:

Бобровская Елизавета,

учащаяся 9 класса

Научный руководитель:

Лапко Ирина Валентиновна, . учитель математики

Введение

Актуальность: в школьной программе изучаются понятие делимости и признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, которые помогают нам без лишней потери времени, быстро и безошибочно выяснить делится ли одно число на другое и выполнить это деление. Но часто я сталкивалась с необходимостью определять делимость и на другие числа. И именно это подтолкнуло меня исследовать эту тему глубже и написать проект. Гипотеза: если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то вероятней всего есть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа Объект исследования: делимость натуральных чисел. Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел. Цель: найти признаки делимости натуральных чисел на другие числа нацело, которые не изучаются в школе. Задачи:
1.Дать определение делимости и повторить уже изученные признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10.
2. ​ Изучить дополнительную литературу, подтверждающую гипотезу о существовании других признаков делимости натуральных чисел.
3.Самостоятельно проверить и получить признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25.
4. Найти из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11,12,13,14, 17, 19.
5.Сделать вывод. 6. Подготовить слайдовую презентацию и буклет «Признаки делимости».
Новизна: в ходе выполнения проекта расширятся знания о признаках делимости натуральных чисел, возрастет интерес к математике. Методы исследования: сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.

План реализации проекта

I этап Организационный

II этап Планирование

III этап Деятельность и коррекция

IV этап Определение эффективности

V этап Оформление результатов

Основная часть

Повторение понятийного аппарата, истории рассматриваемого вопроса

Задачи: повторить понятийный аппарат и ознакомиться с историческими сведениями о делимости чисел. Ожидаемые результаты: подготовка к восприятию нового

Признак делимости— алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному.
Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком  Леонардо Пизанским. Над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа до 100. Напишем подряд все числа до 100.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100. Оставив число 2, зачеркнем все остальные четные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет 3. Теперь, оставив число 3, зачеркнем числа, делящиеся на 3. Затем зачеркнем числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100. Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например, 220 и 284 : 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др. Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662гг). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. В ранний период своего деятельности (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: «Натуральное число  а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число».
При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа. Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка. Если одно число делится на другое, то первое называется кратным второго. Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя. Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.

Повторение признаков делимости на 2, 3, 5, 9, 10 Задачи: повторить изученные в школьном курсе признаки делимости. Ожидаемые результаты: сравнить, проанализировать, подготовиться к обобщению. В школе на уроках математики мы узнали правила, по которым можно определить делится ли число на 2, 3, 5, 9, 10. Они оказались довольно просты, но очень помогали при вычислениях. Признак делимости чисел на 2 . На 2 делятся те и только те числа, которые оканчиваются четной цифрой. Например: 172, 68, 1686 делятся на 2, а 2221, 987, 5895 не делятся на2. Признак делимости чисел на 3 . На 3 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например: 39 (3+9=12, 12:3=4); 16734 (1+6+7+3+4=21, 21:3=7 )
Число 105 499 не делится на 3, так как сумма его цифр (29) не делится на 3.
Признак делимости чисел на 5 . На 5 делятся те и только те числа, которые оканчиваются цифрой 5 или 0. Например: 5675, 340, 47820 делятся на 5, а 87, 456, 8099 не делятся на 5. Признак делимости чисел на 9 . На 9 делятся все те и только те числа, сумма цифр которых делится на 9. Например: 1188 (1+1+8+8=18, 18:9=2) делится на 9. Число 1774 не делится на 9, так как сумма цифр числа (19) не делится на 9. Признак делимости чисел на 10. На 10 делятся те и только те числа, которые оканчиваются цифрой 0. Например: 320, 9080, 20670 делятся на 10, а 565, 5809,6432 не делятся на 10.

Изучение новых признаков делимости

Задачи: проанализировать результаты умножения на 4, 6, 8. Ожидаемые результаты: обобщить, сделать вывод о делимости чисел на 4, 6, 8. Проверить выводы путем сравнения с опубликованными в литературе.

Выполняя многократное умножение чисел на 4, 6, 8,удалось заметить некоторую закономерность. Была сделана попытка самостоятельно сформулировать новые для меня признаки делимости. Пользуясь дополнительной литературой, интернет - источниками убедилась в верности сделанных выводов.

Признак делимости на 4.

На 4 делятся числа те и только те числа, две последние цифры которых являются нулями или числом, кратным 4.

Например: 324 (24:4=6),7656 (56:4=14), 8900 (оканчиваются двумя нулями) делятся на 4. Числа 566, 7890, 3458 не делятся на 4.

Признак делимости на 6.

На 6 делятся те и только те числа, которые одновременно делятся и на 2, и на 3 (т.е. четные числа кратные3).

Например: 456 (6-четное, 4+5+6=15, 15:3=5) делится на 6. Числа 356, 3686, 58900 (они четные, но не делятся на 3) не делятся на 6.

Признак делимости на 8. На 8 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или три последние цифры образуют число, которое делится на 8. Например: 556000, 786864 (864:8=108), 67400 (400:8=50) делятся на 8. Числа 55600, 78863, 67406 не делятся на 8.

Знакомство с новыми признаками делимости чисел

Задачи: расширить знания о признаках делимости чисел.

Ожидаемые результаты: найти признаки делимости чисел не изучаемые в школе.

Дополнительная литература, интернет - источники помогли найти ответы на поставленные вопросы. Были найдены новые признаки, которые не всегда просто доказывались и были не совсем просты в употреблении.
Признаки делимости на 7.
1. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.
Например: 478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469 делится на 7.
479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.
2. Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.
Например: 4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.
Число 57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.
3. Трехзначное натуральное число вида аbа будет делиться на 7, если а+b делится на 7.
Например: 252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7:7=1.
Число 636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.
4. Трехзначное натуральное число вида bаа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.
Например: 455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14:7=2.
Число 244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.
5. Трехзначное натуральное число вида ааb будет делиться на 7, если 2а-b делится на 7.
Например: 882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14:7=2.
Число 996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.
6. Четырехзначное натуральное число вида bаа , где b-двухзначное число, будет делиться на 7, если b+2а делится на 7.
Например:2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35:7=5.
Число 1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.
7. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Например: 483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42:7=6.
Число 564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.
8. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число 7, делится на 7.
Примеры:
10׃7=1 (ост 3)
100׃7=14 (ост 2)
1000׃7=142 (ост 6)
10000׃7=1428 (ост 4)
100000׃7=14285 (ост 5)
1000000׃7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.
Число 1316 делится на 7, т.к. 1·6+3·2+1·3+6=21, 21:7=3 (6-остаток от деления 1000 на 7; 2-остаток от деления 100 на 7; 3- остаток от деления 10 на 7).
Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-остаток от деления 100 000 на 7; 4 -остаток от деления 10 000 на 7; 6-остаток от деления 1000 на 7; 2-остаток от деления 100 на 7; 3-остаток от деления 10 на 7).

Признаки делимости на 11.

1.Пусть многозначное число N имеет цифру единиц a , цифру десятков b, цифру сотен с, цифру тысяч d , и т.д., т.е. N= a+ 10b+100c+1000d+…= a+10(b+10c+100d+…) Где многоточие означает сумму дальнейших разрядов. Вычтем из Н число 11 (b+10c+100d+…), кратное одиннадцати. Тогда полученная разность, равная, как легко видеть, a-b-10(c+10d+…), будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число N . Вычтем из него число 11( d+…), кратное одиннадцати , и т.д. В результате мы получим число
a-b+c-d+..= (a+c+..)-(b+d+..),имеющее тот же остаток от деления на 11, что и исходное число Н. Отсюда вытекает следующий признак делимости на 11: надо из суммы всех цифр, занимающих четные места вычесть сумму всех цифр занимающих нечетные места; если в разности получится 0 либо число ( положительное или отрицательное), кратное 11, то и испытуемое число кратно 11; в противном случае наше число не делится без остатка на 11.

Например : число 87635064 делится на 11,т.к.

8+6+5+6=25 7+3+0+4=14 25-14=11

2.Существует другой признак делимости на 11, удобный для не очень длинных чисел. Он состоит в том, что испытуемое число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и складывают эти грани. Если полученная сумма делится без остатка на 11, то и испытуемое число кратно 11, в противном случае - нет. Например: число 528 делится на 11 (528:11=48). Разбиваем число на грани (5\28) и складываем обе грани : 5+28=33. Так как 33 делится без остатка на 11, то и число 528 кратно 11. Признак делимости на 12.
Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4 одновременно.
Например: 636 делится на 3 и на 4, значит, оно делится на 12.
587 не делится ни на 3, ни на 4, значит, оно не делится на 12.
27126 делится на 3, но не делится на 4, значит, оно не делится на 12.

Признаки делимости на 13.
1. Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.
Например: 465400 делится на 13, т.к. 465 – 400 = 65, 65 делится на 13.
Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 – 184 = 72, 72 не делится на 13.
2. Натуральное число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры, умноженной на 9, из этого числа без последней цифры, делится на 13.
Например: 988 делится на 13, т.к. 98 - 9·8 = 26, 26 делится на 13.
Число 853 не делится на 13, т.к. 85 - 3·9 = 58, 58 не делится на 13.
Признак делимости на 14.
Натуральное число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7 одновременно.
Например: 35882 делится на 14,т.к. оно делится и на 2, и на 7. Число 45826 делится на 2, но не делится на 7, значит, оно не делится на 14.
Число 1771 делится на 7, но не делится на 2, значит, оно не делится на 14. Признак делимости на 15 . На 15 делятся те и только те числа, которые одновременно делятся и на 3, и на 5 (т.е.числа оканчивающиеся цифрой 0или 5, кратные 3). Например: 675, 6060,58575 делятся на15, числа 665, 6050 не делятся на 15. Признак делимости на 17 . На 17 делятся те и только те числа у которых разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц кратно 17 . Например: 442 (44-2*5=34,34:17=2), 255 (25-2*5=0, 0:17=0) делятся на 17.
Признак делимости на 19 . Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе. Например: 646 делится на 19, т.к. 64+ 6*2=76, 76:19=4.

Определение эффективности проекта

Задачи: проверить новые признаки делимости при выполнении деления и решении нестандартных задач. Познакомить с полученными результатами учащихся школы. Ожидаемые результаты: расширение знаний о признаках делимости чисел и их применении при решении задач.

Оформление результатов проекта Задачи: подготовить слайдовую презентацию и буклет по теме «Признаки делимости» Ожидаемые результаты: использование полученного материала значительным количеством учащихся.

Вывод

При выполнении работы были повторены признаки, изученные в школе, самостоятельно выведены признаки и изучен ряд новых признаков делимости. Оказалось, что существует еще много других признаков, которые не рассмотрены в работе. Одни из них просты, считаю, что они должны изучаться в школьном курсе (например, делимость на 25), другие более сложны (например, делимость на 37, 99, 101). Тема оказалась очень интересной. Главное – возможность применения полученных знаний. Проект был реализован во время проведения декады предметов естественно – математического цикла и очень заинтересовал учащихся школы.

Список использованной литературы (источников)

1.​ Галкин В.А. Задачи по теме «Признаки делимости ».// Математика, 1999.-№5.-С.9.

2.​ Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.- М.: Просвещение, 1984.

3.​ Каплун Л.М. НОД и НОК в задачах. // Математика, 1999.- №7. – С. 4-6.

4.​ Перельман Я.И. Математика – это интересно ! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006

5.​ Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. – С. 352.

6.​ Ресурсы- Internet.