Признаки делимости натуральных чисел

Районная научно-исследовательская конференция школьников Лахденпохского муниципального района

«Шаг в будущее»

Проект по математике на тему:

«Признаки делимости натуральных чисел»

Выполнила: Галкина Наталья

ученица 7 класса

МКОУ «Элисенваарской СОШ»

Руководитель: Васильева

Лариса Владимировна

учитель математики

МКОУ «Элисенваарской СОШ»

2014 г.

Оглавление:

1. Введение 3 стр.

2. Из истории математики 4 стр.

3. Основные понятия 4 стр.

4. Классификация признаков делимости: 5 стр.

   1. Делимость чисел определяется по последней(им) цифре(ам) 5 – 6 стр.

   2. Делимость чисел определяется по сумме цифр числа: 6 стр.

   3. Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа 6 - 9 стр.

   4. Для определения делимости числа используются другие признаки 9 – 10 стр.

5. Применение признаков делимости на практике 10 – 11 стр.

6. Заключение 11 стр.

7. Библиографический список 12 стр.

1. Введение

Актуальность исследования: Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов. При изучении на уроках математики темы «Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел и на другие числа. В некоторых случаях, для того, чтобы узнать делится ли какое-либо натуральное число a на натуральное число b без остатка, не обязательно делить данные числа. Достаточно знать некоторые признаки делимости.

Гипотеза – если существуют признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то существуют и другие признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел.

Цель исследования – дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе и систематизировать эти признаки делимости.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

• Самостоятельно исследовать делимость чисел.

• Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.

• Объединить и обобщить признаки из разных источников.

• Сделать вывод.

Объект исследования – изучение всевозможных признаков делимости.

Предмет исследования – признаки делимости.

Методы исследования – сбор материала, обработка данных, сравнение, анализ, обобщение.

Новизна: в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

1. Из истории математики

Блез Паскаль (родился в 1623 году) - один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования. Блез Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число.

Признак Паскаля — метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости».

Признак делимости Паскаля: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Например: число 2814 делится на 7, так как 2·6+8·2+1·3+4=35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

1. Основные понятия

Вспомним некоторые математические понятия, которые нам будут необходимы при изучении данной темы.

• Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое.

• Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

• Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

• Составными называются числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя.

1. Признаки делимости

Все рассмотренные мною в данной работе признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

Рассмотрим более подробно каждую из этих групп.

1. Делимость чисел определяется по последней (им) цифре (ам)

К первой группе рассмотренных мною признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 и разрядные единицы 10, 100 и т.д.

Признак делимости на 2: число делится на 2 тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 2 (т.е. последняя цифра является чётным числом).

Например: 32217864 : 2

Признак делимости на 4: число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Например,  35324 : 4; 6600 : 4

Признак делимости на 5: число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра - 5 или 0.

Например: 36780 : 5 или 123265 : 5

Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда, когда на 8 делится трехзначное число, образованное из трех последних цифр этого числа.

Например: 432240 : 8

Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20. (Другая формулировка: число делится на 20 тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная).

Например: 59640 : 20

Признак делимости на 25: на 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, которое делится на 25.

Например: 667975 : 25 или 7768900 : 25

Признак делимости на 50: число делится на 50 тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Например: 564350 : 50 или 554300 : 50

Признак делимости на 125: число делится на 125, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 125.

Например: 32157000 : 125 или 3216250 : 125

Признаки делимости на разрядную единицу 10, 100, 1000 и т.д.: на разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы.

Например, 12 000 делится на 10, 100 и 1000.

1. Делимость чисел определяется по сумме цифр числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся рассмотренные мною признаки делимости на 3, 9, 11.

Признак делимости на 3: число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.

Например: 5421 : 3 т.к. 5+4+2+1=12, (12:3)

Признак делимости на 9: число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Например: 653022 : 9 т.к. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

Признак делимости на 11: на 11 делятся те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, кратное 11.

Например: 865948732:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

1. Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами этого числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101

Признак делимости на 6:

Признак 1: число делится на 6 тогда, когда результат вычитания удвоенного числа сотен из числа, стоящего после сотен делится на 6.

Например, 138 : 6 т.к. 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 т.к. 44 – 7·2=30, (30:6)

Признак 2: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.

Например, 768:6 т.к. 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Признаки делимости на 7:

Признак 1: число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.

Например, число 154:7, т.к. на 7 делятся 15·3 + 4 = 49 (49:7)

Признак 2: число делится на 7 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.

Например, 138689257:7, т.к. ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Признаки делимости на 11:

Признак 1: число делится на 11 тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

Например, 9163627:11, т.к. ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

Признак 2: число делится на 11 тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 103785:11, т.к. 10+37+85=132 и 01+32=33 (33:11)

Признаки делимости на 13:

Признак 1: число делится на 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Например, 845 :13, т.к. 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

Признак 2: число делится на 13 тогда, когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

Например, 845 :13, т.к. 84-5·9=39 (39:13)

Признак делимости на 17: число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Например, 221:17, т.к. ǀ22-5·1ǀ=17

Признаки делимости на 19: число делится на 19 тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Например, 646:19, т.к. 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Признаки делимости на 23:

Признак 1: число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Например, 28842:23, т.к. 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

Признак 2: число делится на 23 тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.

Например, 391:23, т.к. 39+7·1=46  (46:23)

Признак 3: число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

Например, 391:23, т.к. 3+7·9+3·1=69  (69:23)

Признак делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Например, 2705427:27 т.к. 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Признак делимости на 29: число делится на 29 тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.

Например, 261:29, т.к. 26+3·1=29 (29:29)

Признак делимости на 31: число делится на 31 тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.

Например, 217:31, т.к. ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Признаки делимости на 33: если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 33, то и число делится на 33.

Например, 396:33, т.к. 96+3=99 (99:33)

Признаки делимости на 37:

Признак 1: число делится на 37 тогда, когда при разбиении числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Например, число 100048:37, т.к. 100+048=148, (148:37)

Признак 2: число делится на 37 тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.

Например, число 481:37, так как на 37 делится ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Признаки делимости на 41:

Признак 1: число делится на 41 тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.

Например, 369:41, т.к.  ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на группы по 5 цифр в каждой. Затем в каждой группе первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 59: число делится на 59 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.

Например, 767:59, т.к. 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Признак делимости на 79: число делится на 79 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.

Например, 711:79, т.к. 71+8·1=79, (79:79)

Признак делимости на 99: число делится на 99 тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 12573:99, т.к. 1+25+73=99, (99:99)

Признак делимости на 101: число делится на 101 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «–» делится на 101.

Например, 590547:101, т.к. ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

1. Для определения делимости числа используются другие признаки делимости

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 и т.д. Эти все числа - составные. Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.

Признак делимости на 6:

Признак 1: число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть, если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Например, 768:6, т.к. 7+6+8=21 (21:3) и последняя цифра в числе 768 – четная.

Признак делимости на 12: число делится на 12, тогда, когда оно одновременно делится на 3 и на 4.

Например, 408:12, т.к. 4+0+8=12 (12:3) и две последние цифры делятся на 4 (08:4)

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Например, число 45612:14 т. к. оно делится и на 2 и на 7 , значит, оно делится и на 14.

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Например, 1146795:15 т.к. это число делится и на 3 и на 5.

Признаки делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда оно делится на 3 и на 9.

Например, 511704:27 т.к. 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 и 18:9)

Признаки делимости на 30: число делится на 30 тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Например, 510:30 т.к. 5+1+0=6 (6:3) и в числе 510 (последняя цифра 0)

Признаки делимости на 60: для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3, на 5.

Например, 1620:60 т.к. 1+6+2+0=9 (9:3), число 1620 заканчивается 0, т.е. делится на 5 и 1620 : 4 т.к. две последние цифры 20:4

1. Применение признаков делимости на практике

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.

Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах.

Задача № 1. Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

1. число, которое делиться на 10;

2. четное число;

3. число, кратное 5;

4. нечетное число

Задача № 2

Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 1.

1. Напишите наибольшее из таких чисел.

2. Напишите наименьшее из таких чисел.

Ответ: 987652413; 102347586

Задача № 3

Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910

Задача № 4

Оля задумала простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527

Задача № 5

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное количество детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

Задача № 6

В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, ½ - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких рабо

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 – 1 неуспевающий. Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

Ответ: 1 работа.

1. Заключение:

В результате выполнения данной работы я узнала, что кроме известных мне признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще и другие признаки делимости натуральных чисел. Полученные знания значительно ускоряет решение многих задач. И я смогу использовать эти знания в своей учебной деятельности, как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях. Следует так же отметить, что формулировки некоторых признаков делимости сложные. Может быть, поэтому они не изучаются в школе. Предполагаю и в дальнейшем продолжить работу по изучению признаков делимости натуральных чисел.

Библиографический список:

1. Энциклопедический словарь юного математика. Савин А.П. Москва «Педагогика» 1989.

2. Математика. Дополнительные материалы к уроку математики 5-11 классы. Рязановский А.Р., Зайцев Е.А. Москва «Дрофа» 2002.

3. За страницами учебника математики. Виленкин Н.Я., Депман И.Я. М.: Просвещение, 1989.

4. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва. «Просвещение» 1984 г. В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь.

5. «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва. «Мир книги» 2004.

6. Факультативный курс по математике. Никольская И.Л. – Москва. Просвещение 1991.

7. Олимпиадные задачи по математике и методы их решения. Фарков А. В. - Москва. 2003г.

8. Интернет ресурсы.

13

Районная научно-исследовательская конференция школьников

Лахденпохского муниципального района «Шаг в будущее»

«Признаки делимости натуральных чисел»

Выполнила: Галкина Наталья

ученица 7 класса

МКОУ «Элисенваарской СОШ»

Руководитель: Васильева Лариса Владимировна

учитель математики МКОУ «Элисенваарской СОШ»

2014 г.

Актуальность исследования : Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов. При изучении на уроках математики темы «Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел и на другие числа. В некоторых случаях, для того, чтобы узнать делится ли какое-либо натуральное число a на натуральное число b без остатка, не обязательно делить данные числа. Достаточно знать некоторые признаки делимости. Гипотеза – если существуют признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то существуют и другие признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел. Цель исследования – дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе и систематизировать эти признаки делимости. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

• Самостоятельно исследовать делимость чисел.
• Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.
• Объединить и обобщить признаки из разных источников.
• Сделать вывод. Объект исследования – делимость натуральных чисел. Предмет исследования – признаки делимости. Методы исследования – сбор материала, обработка данных, сравнение, анализ, обобщение. Новизна : в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Из истории математики

Блез Паскаль (родился в 1623 году) - один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования. Блез Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число.

Признак Паскаля — метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости».

Признак делимости Паскаля: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Например : число 2814 делится на 7, так как 2·6+8·2+1·3+4=35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Основные понятия

Вспомним некоторые математические понятия, которые нам будут необходимы при изучении данной темы:

• Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое.

• Делителем натурального числа а называют натуральное число b , на которое а делится без остатка.

• Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

• Составными называются числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя.

Признаки делимости

Все рассмотренные мною в данной работе признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

I . Делимость чисел определяется по последней (им) цифре (ам)

• I . Делимость чисел определяется по последней (им) цифре (ам)

К первой группе рассмотренных мною признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 и разрядные единицы 10, 100 и т.д.

• Признак делимости на 2 : число делится на 2 тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 2 (т.е. последняя цифра является чётным числом).

Например : 3221786 4 : 2

• Признак делимости на 4 : число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Например:   353 24 : 4; 66 00 : 4

• Признак делимости на 5 : число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра - 5 или 0.

Например: 3678 0 : 5 или 12326 5 : 5

• Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда, когда на 8 делится трехзначное число, образованное из трех последних цифр этого числа.

Например: 432 240 : 8

• Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20. (Другая формулировка: число делится на 20 тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная).

Например: 596 40 : 20

• Признак делимости на 25: на 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, которое делится на 25.

Например: 6679 75 : 25 или 77689 00 : 25

• Признак делимости на 50: число делится на 50 тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Например : 5643 50 : 50 или 5543 00 : 50

• Признак делимости на 125: число делится на 125, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 125.

Например: 32157 000 : 125 или 3216 250 : 125

• Признаки делимости на разрядную единицу 10, 100, 1000 и т.д.: на разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы.

Например, 12 000 делится на 10, 100 и 1000

II . Делимость чисел определяется по сумме цифр числа

• II . Делимость чисел определяется по сумме цифр числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся рассмотренные мною признаки делимости на 3, 9, 11

• Признак делимости на 3: число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.

Например: 5421 : 3 т.к. 5+4+2+1=12, (12:3)

• Признак делимости на 9: число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Например: 653022 : 9 т.к. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

• Признак делимости на 11: на 11 делятся те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, кратное 11.

Например: 865948732:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

III . Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий

над цифрами этого числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101

Признак делимости на 6:

• Признак 1: число делится на 6 тогда, когда результат вычитания удвоенного числа сотен из числа, стоящего после сотен делится на 6.

Например: 138 : 6 т.к. 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 т.к. 44 – 7·2=30, (30:6)

• Признак 2: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.

Например: 768:6 т.к. 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Признаки делимости на 7:

• Признак 1: число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.

Например: число 154:7, т.к. на 7 делятся 15·3 + 4 = 49 (49:7)

• Признак 2: число делится на 7 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.

Например, 138689257:7, т.к. ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Признаки делимости на 11:

• Признак 1: число делится на 11 тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

Например, 9163627:11, т.к. ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

• Признак 2: число делится на 11 тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 103785:11, т.к. 10+37+85=132 и 01+32=33 (33:11)

Признаки делимости на 13:

• Признак 1: число делится на 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13

Например, 845 :13, т.к. 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

• Признак 2: число делится на 13 тогда, когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

Например, 845 :13, т.к. 84-5·9=39 (39:13)

Признак делимости на 17: число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Например, 221:17, т.к. ǀ22-5·1ǀ=17

Признаки делимости на 19: число делится на 19 тогда, когда число десятков, с ложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Например, 646:19, т.к. 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Признаки делимости на 23:

• Признак 1: число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Например, 28842:23, т.к. 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

• Признак 2: число делится на 23 тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.

Например, 391:23, т.к. 39+7·1=46  (46:23)

• Признак 3: число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

Например, 391:23, т.к. 3+7·9+3·1=69  (69:23)

Признак делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Например, 2705427:27 т.к. 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Признак делимости на 29: число делится на 29 тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29

Например, 261:29, т.к. 26+3·1=29 (29:29)

Признак делимости на 31: число делится на 31 тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.

Например, 217:31, т.к. ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Признаки делимости на 33: если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 33, то и число делится на 33.

Например, 396:33, т.к. 96+3=99 (99:33)

Признаки делимости на 37:

• Признак 1 :  число делится на 37 тогда, когда при разбиении числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Например , число 100048:37, т.к. 100+048=148, (148:37)

• Признак 2: число делится на 37 тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.

Например, число 481:37, так как на 37 делится ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Признаки делимости на 41:

• Признак 1: число делится на 41 тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.

Например, 369:41, т.к.  ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

• Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на группы по 5 цифр в каждой. Затем в каждой группе первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 59: число делится на 59 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.

Например, 767:59, т.к. 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Признак делимости на 79: число делится на 79 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.

Например, 711:79, т.к. 71+8·1=79, (79:79)

Признак делимости на 99: число делится на 99 тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 12573:99, т.к. 1+25+73=99, (99:99)

Признак делимости на 101: число делится на 101 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «–» делится на 101.

Например , 590547:101, т.к. ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

IV . Для определения делимости числа используются другие признаки делимости

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 и т.д. Эти все числа - составные. Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.

Признак делимости на 6: число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть, если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Например, 768:6, т.к. 7+6+8=21 (21:3) и последняя цифра в числе 768 – четная.

Признак делимости на 12 : число делится на 12, тогда, когда оно одновременно делится на 3 и на 4.

Например, 408:12, т.к. 4+0+8=12 (12:3) и две последние цифры делятся на 4 (08:4)

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Например, число 45612:14 т. к. оно делится и на 2 и на 7 , значит, оно делится и на 14

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Например, 1146795:15 т.к. это число делится и на 3 и на 5

Признаки делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда оно делится на 3 и на 9. Например, 511704:27 т.к. 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 и 18:9)

Признаки делимости на 30: число делится на 30 тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Например, 510:30 т.к. 5+1+0=6 (6:3) и в числе 510 (последняя цифра 0)

Признаки делимости на 60: для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3, на 5.

Например, 1620:60 т.к. 1+6+2+0=9 (9:3), число 1620 заканчивается 0, т.е. делится на 5 и 1620 : 4 т.к. две последние цифры 20:4

Применение признаков делимости на практике

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.

Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах .

Задача № 1 . Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

• число, которое делиться на 10;
• четное число;
• число, кратное 5;
• нечетное число

Задача № 3 : Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910

Задача № 4: Оля задумала простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527

Задача № 5 : В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное количество детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

Задача № 6 : В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, ½ - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 – 1 неуспевающий. Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

Ответ: 1 работа.

Заключение:

В результате выполнения данной работы я узнала, что кроме известных мне признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще и другие признаки делимости натуральных чисел. Полученные знания значительно ускоряют решение многих задач. И я смогу использовать эти знания в своей учебной деятельности, как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях. Следует так же отметить, что формулировки некоторых признаков делимости сложные. Может быть, поэтому они не изучаются в школе. Предполагаю и в дальнейшем продолжить работу по изучению признаков делимости натуральных чисел.

Библиографический список:

• Энциклопедический словарь юного математика. Савин А.П. Москва «Педагогика» 1989.
• Математика. Дополнительные материалы к уроку математики 5-11 классы. Рязановский А.Р., Зайцев Е.А. Москва «Дрофа» 2002.
• За страницами учебника математики. Виленкин Н.Я., Депман И.Я. М.: Просвещение, 1989.
• Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва. «Просвещение» 1984 г. В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь.
• «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва. «Мир книги» 2004.
• Факультативный курс по математике. Никольская И.Л. – Москва. Просвещение 1991.
• Олимпиадные задачи по математике и методы их решения. Фарков А. В. - Москва. 2003г.
• Интернет ресурсы.