Применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений общего вида.

Применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений общего вида

Казахстан. Восточно-Казахстанская область, г.Семей, КГУ «СОШ №21»

Сагингалиева Баян Каршигиевна

Токпанова Мейрамгуль Алтаевна

Учителя математики

Умение быстро находить корни квадратного уравнения имеет большое практическое значение не только в VIII, IXклассах, где учащиеся ещё только осваивают и закрепляют необходимые формулы, но и в старших классах и во время ЕНТ (Единый национальный тест), где квадратные уравнения возникают как вспомогательные при решении значительно более сложных задач и где особенно важно, чтобы учащиеся максимально быстро справлялись с решением этих уравнений.

Известно, что в большинстве «школьных» квадратных уравнений с целыми корнями эти корни без особого находятся подбором, основанным на теореме, обратной теореме Виета. Мы в своей практике считаем весьма важным и даже необходимым добиваться от учащихся именно такого способа решения уравнений. Однако этот способ становится уже практически неприменимым, если уравнение имеет дробные корни: не так просто подобрать два числа, сумма которых равна а произведение Для преодоления возникающей трудности мы используем известный приём, позволяющий свести задачу к нахождению целых корней вспомогательного уравнения.

Используемый нами приём состоит в следующем. Пусть требуется решить квадратное уравнение (для него

Умножив обе части данного уравнения на, перепишем его в виде В полученном уравнении т.е. а т.е.. Теперь видно, что для решения исходного уравнения достаточно решить вспомогательное квадратное уравнение и его корни разделить на

Для практического применения этого приема мы формулируем его как инструкцию: «перебросить» коэффициент в свободный член, найти корни нового уравнения и разделить их на Покажем это на конкретных примерах.

Для решения, например, уравнения записываем вспомогательное уравнение имеющее корни . Следовательно, исходное уравнение имеет корни

Приведём ещё один пример. Чтобы решить уравнение записываем вспомогательное уравнениеимеющее корниСледовательно, исходное уравнение имеет корни

В дальнейшем, по мере накопления учащимися опыта в применении указанного приема можно отказаться выписывания вспомогательного уравнения и предложить им рассуждения: «Чтобы решить уравнение , надо подобрать два числа, сумма которых равна 11, а произведение равно 10. Ясно, что это числа 1 и 10, значит корни данного уравнения ». При этом мы считаем правомерным не требовать от учащихся никаких подробных записей, так что в тетради после исходного уравнения могут быть сразу записаны найденные выше корни уравнения. Этот подход решения будет очень эффективным при сдаче тестовых задач во время ЕНТ, с тем, что даёт возможность экономить время.

Отметим в заключение: что рассмотренный прием позволяет решать и в некотором смысле обратную задачу: по данному квадратному уравнению записать новое, корни которого были бы в раз больше или меньше корней данного уравнения.

Например, чтобы записать уравнение, корни которого в 6 раз меньше корней надо «перебросить» множитель 6 из свободного члена в старший коэффициент, после чего получается искомое уравнение Если же требуется, чтобы корни нового уравнения были, скажем, в 3 раза больше корней данного уравнения, то следует, естественно, провести «обратную переброску»: тогда например, из уравнения получится уравнение , или Однако учитывая, что задачи такого рода вызывают у учащихся уже значительные трудности, связанные с необходимостью каждый раз соображать, в каком случае какую «переброску» надо делать, и поскольку с практической точки зрения эти задачи не представляют большой важности, то большего внимания мы им не уделяем.