Урок алгебры в 10-м классе. Тема: «Примеры решения тригонометрических уравнений»
Олей Вера Ивановна
учитель математики
Разделы: Преподавание математики
Цель урока:
- Закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений.
- Сформировать понятие решения тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным.
- Развивать умения сравнивать, выявлять закономерности, обобщать.
- Воспитывать ответственное отношение к труду.
Оборудование:
- Карточки для повторения формул решения простейших тригонометрических уравнений.
- Плакат с алгоритмом решения тригонометрических уравнений (большой на доску и каждому на стол).
Литература: Учебник Мордкович А.Г.“Алгебра и начала анализа, 10-11 класс”.
Ход урока.
I. Повторение
1. sin x = a, cos x = a, tg x = a
При каких значениях а эти уравнения имеют решения?
[sin x и cos x при /а/ 1 tg x при любом a]
2. Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (на карточках):
sin x = а х = (-1)к arc sin a+ к, к z
sin x = 0
sin x = 1
sin x = -1
cos x = a x=± arc cos a + 2 , n z
cos x = 0
cos x = 1
cos x = -1
tg x = a x = arc tg a + n, n z
arc sin (-а) = - arc sin а
arc cos (-а) = - arc cos а
arc tg а (-а) = - arc tg а
II. Проверка домашнего задания.
Игра “Поле чудес”. Правила игры несколько изменены, а название оставлено.
Правила игры.
- Учитель берет понравившееся ему высказывание или слова из песни, стихотворения, пословицу. По количеству букв в этом высказывании подбирается столько же примеров или задач так, чтобы одинаковым буквам соответствовали одинаковые ответы.
- Каждому ученику учитель дает карточку с заданиями и ученик сразу начинает решать.
- На доске записаны буквы, которые встречаются в высказывании, и под ними ответы, которые соответствуют этим буквам.
- Ниже записаны числа по порядку (по количеству букв в высказывании).
- Ученик, выполнявший задание, называет номер своей карточки и букву, под которой записан ответ.
- Учитель под числом (…) ставит букву (…). И так далее. Ученики стараются быстрее решить, чтобы получить следующую карточку.
- За правильно решенные 2-3 задания он может получить оценку. Поэтому желательно карточек иметь более чем число.
Ум хорошо, а два лучше
12 3 45 67 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6 17
а
в
д
n z
, к z
, n z
е
л
м
, n z
, n z
, n z
о
р
у
, n z
, n z
, n z
x
ч
ш
, n z
, n z
, n z
Уравнение:
, n z
у
cos x = -1
х = +2 n, n z
м
, n z
x
, n z
o
, n z
p
, n z
o
, n z
ш
, n z
o
, n z
a
, n z
д
, k z
в
, n x
a
, n z
л
, n z
у
, n z
ч
, n z
ш
, n z
е
Дополнительные уравнения
, n z
, k z
, n z
, k z
, n z
, n z
, n z
, n z
, n z
, n z
, k z
, n z
, k z
, k z
, n z
, n z
III. Объяснение нового.
1.
- В предыдущих параграфах были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений: sin x=a, cos x=a, tg x=a
- К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства из них требуется применение формул преобразований тригонометрических выражений.
- Сегодня на уроке мы рассмотрим уравнение, сводящиеся к квадратным.
2.
- На доске записаны уравнения:
а) 3х-8=х+6 (линейное уравнение)
б) х2+2х-15=0 (квадратное уравнение)
в) х4-5х2+4=0 (квадратное уравнение относительно х2).
г) 2 cos2x-cosx-1=0 (квадратное уравнение относительно cosx)
- Какие из них являются квадратными?
- Общий вид квадратного уравнения:
ax2+bx+c=0
,
Корни квадратного уравнения, приведенного, т.е. х2+рх+q=0 можно находить по теореме Виета:
Х1+х2=-р; х1х2=q
- х4-5х2+4=0 – квадратное уравнение относительно х2. Это уравнение назвали биквадратным. Общий вид ах4+вх2+с=0, где а± 0.
- Его легко решить методом введения новой переменной, т.е. х2=а и уравнение принимает вид: а2-5а+4=0
3. Последнее уравнение тоже квадратное, относительно cosx. Для его решения введем новую переменную. Пусть y=cosx, тогда уравнение можно записать виде: 2у2-у-1=0. Получили квадратное уравнение.
Д=1+8=9;
Следовательно:
а) cosx=1 б) cosx=
х=2p n, n z , n z
, n n
Ответ: 2 n, n z; , n z
4. Решим уравнение:
Надо привести уравнение к одной функции. Для этого заменим cos2 x на 1-sin2x. Получим относительно xinx квадратное уравнение:
Пусть xinx=у, тогда 2у2+5у-3=0
Получили квадратное уравнение
Д=25+24=49
;
Следовательно:
а) б) xinx=-3 – решение не имеет
, к z
, к z
Ответ: , к z
5.
tgx-2ctgx=-1. Функции разные. Используя тождество tgx? ctgx=1, выразим , заменим ctgxчерез tgx.
пусть tgx=у, то у2+у-2=0 (дальше, как в предыдущем случае).
6. Для закрепления
4 xin2x- cosx-1=0
Заменим xin2x на 1- cos2x. Получим
4(1- cos2x)- cosx-1=0
4-4 cos2x- cosx-1=0
-4 cos2x- cosx+3=0
4 cos2x+ cosx-3=0
пусть cosx=у, то
4у2+у-3=0
Д=1-48=49 ;
Следовательно,
а) cosx=-1 б)
х= +2 n, n z , n z
Ответ: +2 n; , n z
7. №164 (в) - cамостоятельно
2 xin2x- xinx-1=0
пусть xinx=у, то
2у2-у-1=0
Д=1+8=9;
Следовательно,
а) xinx=1 б)
, n z , n z
,к z.
Ответ: , n z
, к z
№ 165(б)
2 xin2x+3 cosx=0
Заменим xin2x на 1- cos2x получим
2(1- cos2x)+3 cosx=0
2-2 cos2x+3 cosx=0
-2 cos2x+3 cosx+2=0, т.е.
2 cos2x-3 cosx-2=0
пусть cosx=у, то
2у2-3у=0
Д=9+16=25
;
Следовательно,
а) cosx=2 б)
решение не имеет , n z
, n z
, n z
Ответ: , n z
8.
Итог урока
Алгоритм решения тригонометрических уравнений.
- Привести уравнение к квадратному, относительно тригонометрических функций, применяя тригонометрические тождества.
- Ввести новую переменную.
- Записать данное уравнение, используя эту переменную.
- Найти корни полученного квадратного уравнения.
- Перейти от новой переменной к первоначальной.
- Решить простейшие тригонометрические уравнения.
- Записать ответ.
