Правильные многогранники

«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным». Б. Паскаль « Правильные многогранники»

• Работу выполнил Никифоров Никита ученик 6 класса
• Руководитель Ульянова А.Н. учитель математики

МБОУ «Малобуяновская ООШ»

Содержание

Введение 3

Задачи и цели 4

Исторические сведения 5-6

Свойства многогранников 7-9

Исследования 10-11

Практическое применение 12-13

Многогранники в природе 14-15

Итоги 16

Список использованных источников и литературы 17

Введение.

Однажды я у мамы увидел красивые бусы. Бусинки были разной формы и очень красивые. Я узнал, что они имеют форму правильных многогранников. И мне стало интересно- сколько всего многогранников, почему их так странно называют, как они выглядят и как их строить? Поэтому при выборе темы проекта я остановил свой выбор на теме « Правильные многогранники». Свою работу я решил начать с исторических сведений . Затем я рассмотрел виды многогранников и их названия. Смастерил своими руками правильные многогранники. Вычислил площади многогранников. А в завершение работы мне захотелось показать, как прекрасен мир многогранников в окружающей нас природе.

  Цели исследования :

• Изучить свойства правильных многогранников в процессе их построения.
• Научиться находить площадь треугольника , вывести формулу для нахождения площади любого треугольника.
• Найти площади правильных многогранников

Задачи:

•   Познакомиться с историей изучения многогранников
• Дать представление о геометрическом строении многогранников, их свойствах
• Находить площади правильных многогранников

  Методы:

• - поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;
• - исследовательский метод при нахождении площади любого треугольника
• - практический метод при нахождении площади правильных многоугольников

Проблемы:

1)Как устроены правильные многогранники ?

2)Какими свойствами обладают правильные многогранники ?

3)Как находить площади правильных многогранников?

4)Выяснить значимость изучаемой работы в нашей жизни.

Исторические сведения

•     Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, строителей, архитекторов и многих других. Их поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников. Пифагорейцы считали эти многогранники божественными и использовали их в своих философских сочинениях о существе мира. Они считали, что элементы первооснов бытия имеют форму правильных многогранников, а именно: огонь – тетраэдр (его гранями являются четыре правильных треугольника, рис. 1, а); земля - гексаэдр (куб – многогранник, гранями которого являются шесть квадратов, рис. 1, б); воздух – октаэдр (его гранями являются восемь правильных треугольников, рис. 1, в); вода – икосаэдр (его гранями являются двадцать правильных треугольников, рис. 1, г); вся Вселенная, по мнению древних, имела форму додека­эдра (его гранями являются двенадцать правильных пятиугольников, рис. 1, д).

  Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон. Именно поэтому правильные многогранники называются также  телами Платона .  Правильным многогранникам посвящена последняя XIII книга знаменитых "Начал" Евклида.

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы, архитекторы, художники. Леонардо да Винчи, например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.

Определение: многогранник называется правильным, если все его грани правильные многоугольники и, кроме того, в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. Существует 5 видов правильных многогранников.

ТЕТРАЭДР;ГЕКСАЭДР;ОКТАЭДР;ИКОСАЭДР

ДОДЕКАЭДР

Названия многогранников пришли из Древней Греции и в них указывается число граней:

«эдра» - грань

«тетра» - 4

«гекса» - 6

«окта» - 8

«икоса» - 20

«дедека» - 12

Тетраэдр Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Гексаэдр (Куб)

Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер

Октаэдр Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Додекаэдр Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер .

Икосаэдр

Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер

Исследования:

Чтобы найти площадь 1 треугольника делим треугольник на две части. Площадь получившегося треугольника равна половине площади прямоугольника. А площадь

прямоугольника я умею

находить. Измерил стороны прямоугольника, умножил и разделил на 2. У другого треугольника площадь такая же, потому что они одинаковые. Значит, площадь треугольника равна половине площади прямоугольника.

S=½ a b ,где а- сторона треугольника, b- перпендикуляр из вершины треугольника к

• стороне a Обычно сторону b называют высотой треугольника. Получили формулу для нахождения площади треугольника: S=½ а h
• По этой формуле можно найти площадь любого треугольника.

а

С помощью этой формулы можно найти площадь тетраэдра, октаэдра и икосаэдра.

Площадь 1 треугольника

тетраэдр

Площадь многогранника

7∙6:2=21

гексаэдр

октаэдр

4∙4=16

21∙4=84 см 2

икосаэдр

5∙4,3:2=10,75

16∙6=96 см 2

4∙3,4:2=6,8

10,75∙8=86 см 2

6,8∙20=136 см 2

Площадь додекаэдра

Площадь 1 пятиугольника

3,7∙5,7:2=10,545 площадь 1 треуг.

(6∙2,2:2)∙2=13,2 площадь 2 треуг.

10,545+13,2=23,745 площадь пятиугольника

Площадь додекаэдра

23,745∙12=284,94 см 2

Скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр . Из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. кристаллы поваренной соли имеют форму куба.

Бусинки имеют форму додекаэдра и гексаэдра

Итоги:

• При выполнении исследовательской работы мне понадобились не только те знания, которые имеются у меня, но и необходимая работа с дополнительной литературой и интернет ресурсом
• В процессе выполненной исследовательской работы в соответствии с ее целями и задачами получены следующие выводы и результаты:

1. В ходе моей работы я познакомился правильными многогранниками , изучил их свойства

2. Научился находить площадь любого треугольника с помощью формулы

3. При помощи этой формулы научился находить площади правильных многогранников

4.Я понял, что благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

И я хочу продолжить изучить их и исследовать дальше и надеюсь Что благодаря этой работе мне будет легко и интересно при изучении геометрии.

Используемые материалы:

• www. rspu.ru
• www.edu.hmao.ru
• www. tspu.ru
• www.nvp.region.ru
• Учебник «Геометрия 7-9» авторы Л. С. Атанасян и другие