Показательные уравнения и неравенства

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Показательные уравнения

Определение. Показательными называются уравнения, в которых неизвестное входит только в показатели степеней при постоянных основаниях. Простейшим показательным уравнением является уравнение вида

a^x = b. (1)

Его решением при a 0 и b 0, a ≠1, является

x = log_a b.

Пример 1. Решить уравнение 4^x = 5.

Решение: x = log₄5.

Ответ: x = log₄5.

Пример 2. Решить уравнение 2^x = −3.

Решение: x∈Ø, т.к. b =−30.

Ответ: решений нет.

Если вместо x в показателе степени стоит некоторая функция f (x), т.е. уравнение имеет вид

a ^{f (x)} = b, a 0, a ≠1, b 0, (2)

то, логарифмируя обе части этого уравнения, приходим к эквивалентному уравнению

f (x)= log_a b.

5x−1

⎛ 2⎞ Пример 3. Решить уравнение ⎜ ⎟ = 7.

⎝ 3⎠

Решение: 5x−1= log7, откуда 5x=1+ log7, x=₂ .

5 3

Ответ: x =₂ .

5 3

Вышеуказанный способ решения уравнений называют методом логарифмирования. Некоторые показательные уравнения приводятся к виду (1) или (2) с помощью

равенств:
axa y = ax+ y, x ⎛ a⎞ ax ⎜ ⎟ = x , ⎝b ⎠ b	ax x−y y = a , a a−x = 1 x , a	(ax )y = axy, a0 =1,	(ab)x = axbx, a1 = a,

где x и y – любые действительные числа.

Показательное уравнение, как правило, можно привести к виду

a ^{f (x)} = a^g(x) , где a 0, a ≠1.

Это уравнение равносильно уравнению f (x)= g(x).

Имеются два основных метода решения показательных уравнений:

1. метод уравнивания показателей, т.е. преобразование заданного уравнения к виду a ^{f (x)} = a^g(x), (или приведение обеих частей уравнения к одному и тому же основанию), а затем к виду f (x)= g(x);

2. метод введения новой переменной.

Пример 4. Решить уравнение 2^3x2+3 = 2^10x.

Решение: Данное уравнение равносильно уравнению 3x² + 3 =10x, откуда находим 3x² −10x + 3 = 0. решив это квадратное уравнение, получим x₁ = , x₂ = 3.

Ответ: x₁ = , x₂ = 3.

Методы решения показательных уравнений

I. Приведение обеих частей уравнения к одному и тому же основанию

Способ основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели (см. 1) ).

x+5 x+17

Пример 5. Решить уравнение 32^x−7 = 0,25⋅128 ^x−3.

⎧x ≠ 7 , Решение: ОДЗ: ⎨ ⎩x ≠ 3.

Приведем обе части уравнения к одному и тому же основанию 2.

(25)xx−+75 = 2−2 ⋅(27)xx+−173 ⇔ 25xx−+725 = 2−2+7xx+−1193 ⇔ 5x + 25 − 2x + 6 + 7x +119

= , откуда x − 7 x − 3

(5x + 25)(x −3)=(5x +125)(x −7), 80x = 800, x =10 удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: x =10.

В частности уравнение вида a ^{f (x)} =1, a 0, a ≠1 равносильно уравнению f(x)=0.

Пример 6. Решить уравнение 6^2x+1 =1.

Решение: т.к. a⁰ =1, то 1= 6⁰, т.е. 6^2x+1 = 6⁰, откуда 2x +1= 0, x = −.

Ответ: x = −.

II. Метод введения новой переменной

Решения показательных уравнений, сводящихся заменой переменных к алгебраическому уравнению.

Если показательное уравнение имеет вид

g(a ^{f (x)})= 0, (3)

то заменой y = a ^{f (x)} оно сводится к уравнениям вида

a f (x) = ti,

где t_i – корни уравнения g(t)= 0.

Пример 7. Решить уравнение 36^x − 204⋅6^x−1 − 72 = 0.

Решение: Пусть 6^x = t, где t 0, тогда имеем квадратное уравнение

² 204t

t − − 72 = 0 или

6 t² − 34t − 72 = 0,

корнями которого будут t₁ =−2 и t₂ = 36. Таким образом, получаем два уравнения 6^x = −2, 6^x = 36.

Первое уравнение решений не имеет, т.к. 6^x 0 при всех допустимых значениях x. Из второго уравнения получаем x = 2.

Ответ: x = 2.

Пример 8. Решить уравнение 4 x²−2+x − 5⋅2x−1+ x²−2 = 6.

^x2−2+x

Решение: Обозначая 2 = t (t 0 )и производя замену переменных, получаем квадратное уравнение

t² − t − 6 = 0,

корнями которого являются t₁ = 4, t₂ = −. Таким образом, решение данного уравнения свелось к решению уравнений

2x+ x²−2 = 4, 2x+ x²−2 = −.

Второе уравнение решений не имеет, т.к. 2^{x+ x2−2} 0 при всех допустимых значениях x. Из первого уравнения получаем

x + x² − 2 = 2.

Уединяя радикал и возводя обе части уравнения в квадрат, имеем

x² − 2 = 4 − 4x + x².

Приводя подобные члены, получаем единственный корень x = . Проверкой убеждаемся, что этот корень удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ: x = .

Кроме двух основных методов решения показательных уравнений, указанных выше, существуют еще несколько вспомогательных методов, с помощью которых исходные уравнения приводятся в уравнения, решаемые приведением обеих частей в одно и то же основание или введением новой переменной. Рассмотрим их.

III. Метод вынесения общего множителя за скобки

2x

Пример 9. Решить уравнение 3^2x−3 − 9^x−1 + 27 ³ = 675.

Решение: Перепишем данное уравнение в следующем виде

32x−3 − 32x−2 + 32x = 675.

Вынесем за скобки общий множитель 3^2x−3 :

3^2x−3(1− 3+ 3³)= 675 или 3^2x−3 ⋅25 = 675, откуда

32x−3 = 27.

Полученное показательное уравнение решаем, используя один из основных методов – метод приведения обеих частей к одному и тому же основанию.

3^2x−3 = 3³ ⇔ 2x − 3 = 3 ⇔ x = 3.

Ответ: x = 3.

IV. Метод группировки Поясним сущность этого метода на примере.

^x 1 ^{x+2 x+1 1 x+1}

Пример 10. Решить уравнение 3⋅4 + ⋅9 = 6⋅4 − ⋅9 .

3 2

Решение: Преобразуем члены уравнения

^x 1 ^{x x} 1 ^x

3⋅4 + ⋅9 ⋅81= 6⋅4 ⋅4 − ⋅9 ⋅9.

3 2

Теперь перегруппируем слагаемые

^{x x} 9 ^{x x}

3⋅4 − 24⋅4 = − ⋅9 − 27⋅9 , т.е. 2

4^x(3− 24)= 9^x⎛⎜− ⁹ − 27^⎞⎟, т.е. − 21⋅4^x = − ⁶³ ⋅9^x.

⎝ 2 ⎠ 2

Запишем это равенство в виде пропорции

4^x 63 ⎛ 4⎞^x 3 ⎛ 2⎞^2x ⎛ 2⎞ ⁻¹

= ⇔ ⎜ ⎟ = ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ .

x

9 2⋅21 ⎝ 9 ⎠ 2 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

Отсюда 2x = −1, x = −.

Ответ: x = −.

V. Метод сведения к однородному уравнению

Суть метода заключается в почленном делении трехчленного уравнения, члены которого представляют собой степени с одинаковыми показателями и различными основаниями, на одну из степеней.

2 1 1

1+

Пример 11. Решить уравнение 5 ^x − 7⋅10^x + 2⋅4^x = 0.

Решение: ОДЗ: x ≠ 0.

Данное уравнение – однородное, т.к.

2 2

⎛ 1 ⎞ 1 1 ⎛ 1 ⎞

Перепишем его в виде	51 ⋅⎜⎜5x ⎟⎟ − 7⋅5x ⋅2x + 2⋅⎜⎜2x ⎟⎟ = 0. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 5⋅25x − 7⋅5x ⋅2x + 2⋅4x = 0.
	1
Разделим обе части уравнения на 25x ≠ 0:

1 1 1 2

⎛ 2⎞x ⎛ 4 ⎞x ⎛ 2⎞x ⎛ 2⎞x

5− 7⋅⎜ ⎟ + 2⋅⎜ ⎟ = 0, т.е. 5− 7⋅⎜ ⎟ + 2⋅⎜ ⎟ = 0.

⎝ 5⎠ ⎝ 25⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠

1

⎛ 2⎞x

Обозначим ⎜ ⎟ = t 0, тогда получаем следующее квадратное уравнение относительно ⎝ 5⎠

t : 2t² − 7t + 5 = 0. Решив его находим t₁ = , t₂ =1.

1 1

⎛ 2⎞x 5 ⎛ 2⎞x 1

Отсюда ⎜ ⎟ = , т.е. x₁ =−1 и ⎜ ⎟ =1, т.е. = 0 – этого быть не может.

⎝ 5⎠ 2 ⎝ 5⎠ x

Ответ: x =−1.

VI. Метод логарифмирования

(См. решение уравнений вида (1), (2), примеры 1-3.)

Пример 12. Решить уравнение 3^x = 5^2x+1.

Решение: Прологарифмировав обе части данного уравнения по основанию 3, получаем: log₃ 3^x = log₃ 5^2x+1 , откуда, по свойству логарифма, xlog₃3 = (2x +1)log₃5. Так как log₃3 =1, то полученное уравнение примет вид x = (2x +1)log₃5. Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то можно получить (1− 2log₃5)x = log₃5, откуда

log³5 или x = log³ 5 . x = ,

(1− 2log35) log3

log³ 5

Ответ: x =.

log ₃

VII. Искусственный метод

Искусственный метод заключается в нестандартном решении данного уравнения. Требуется «заметить» какую-то особенность исходного уравнения. Рассмотрим примеры решения не совсем простых уравнений.

Пример 13. Решить уравнение 5^x ⋅ ^x 8^x−1 = 500.

Решение: Уравнение можно решать так: замечаем, что x∈ N, т.е. решения данного уравнения следует искать среди чисел 2, 3, 4, ... Понятно, что при любом таком значении x выражение ^x 8^x−1 1. Замечаем, что при x = 4 выражение 5^x равно 625. И если его умножить на число большее единицы, то получим число, которое больше 500. Вывод: x 4 (!) Итак, корень уравнения следует искать среди чисел 2 и 3; x = 2 не подходит, левая часть уравнения заведомо меньше правой. При x = 3 получаем тождество

5³ ⋅ ³ 8² =125⋅4 = 500.

Ответ: x = 3.

Пример 14. Решить уравнение ⎜ 3 ^⎞⎟ = 4. (4)

Решение: Можно заметить, что

1. ²

. Обозначим ⎜ + t = 4, т.е. t − 4t +1= 0, t

x

1. 3. Стало быть ⎜ 3 и ^⎛⎜ 2 + 3 ^⎞⎟ = 2 − 3, т.е.

¹, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x₁ = 2, x₂ =−2.

Ответ: x₁ = 2, x₂ =−2.

Замечание. Уравнения вида (4) называют показательными уравнениями с взаимно обратными основаниями.

В определенном смысле к показательным уравнениям примыкают так называемые показательно-степенные уравнения. Это уравнения вида (_f (_x))^g(x) =(_f (_x))^h(x). Если известно, что f (x) 0 и f (x)≠1, то это уравнение, как и показательное, решается с помощью приравнивания показателей: g(x)= h(x). Если условием не исключаются возможности f (x)≤ 0, f (x)=1, приходится рассматривать несколько случаев, как это сделано в следующем примере.

Пример 15. Решить уравнение

2 3x2+ 3 2 10x

(x + x −57) = (x + x − 57) . (5)

Решение: При решении этого показательно-степенного уравнения возможны пять случаев:

1) x² + x −57 =1; 2) x² + x −57 = −1; 3)x² + x −57 = 0 ;

⎧⎪x² + x −57 0, ⎧⎪x² + x −57 0, Рассмотрим эти

4) ⎨ 2 5)⎨ 2

⎪⎩x + x −57 ≠1; ⎪⎩x + x −57 ≠ −1.

случаи.

1. x² + x −57 =1, т.е. x² + x − 58 = 0.

В этом случае уравнение (5) принимает вид 1^3x2+3 =1^10x, т.е. 1=1. Значит, корни уравнения x² + x − 58 = 0 являются и корнями уравнения (5). Из уравнения x² + x − 58 = 0

−1± 233 находим x_1,2 = .

2

1. x² + x −57 = −1, т.е. x² + x − 56 = 0 .

В этом случае уравнение (5) принимает вид

(−1)^3x2+3 = (−1)^10x. (6)

Уравнению (6) могут удовлетворять только такие значения x, при которых 3x² + 3 и 10x – целые числа (поскольку отрицательное число (−1) можно возвести лишь в целую степень) одинаковой четности (т.е. либо оба четные, либо оба нечетные).

Из уравнения x² + x − 56 = 0 находим x₁ =−8, x₂ = 7. Значение x₁ =−8 не

удовлетворяет уравнению (6), а значение x₂ = 7 удовлетворяет. Значит, x = 7– корень уравнения (5).

1. x² + x − 57 = 0. В этом случае уравнение (5) принимает вид

0^3x2+3 = 0^10x. (7)

Уравнению (7) могут удовлетворять только такие значения x, при которых 3x² + 3 0 (это верно при всех x) и 10x 0 (это верно при x 0), в этом случае уравнение (7) примет вид 0 = 0 (напомним, что выражение 0^r имеет смысл лишь при r 0).

²−1− 229

Из уравнения x + x − 57 = 0 находим x . Значение x₁ = не

2

удовлетворяет условию 10x 0, а x₂ = удовлетворяет этому условию. Значит,

−1+ 229

x = – корень уравнения (5).

2

1. Если x²+x − 57 0 и x² + x −57 ≠1, то из уравнения (5) заключаем, что 3x² + 3 =10x, откуда находим x₁ = 3, x₂ = . Ни один из этих корней не удовлетворяет неравенству x²+x − 57 0.

2. Если x² + x − 57 0 и x² + x −57 ≠ −1, то опять от уравнения (5) переходим к уравнению следствию 3x² + 3 =10x, откуда находим x₁ = 3, x₂ = . Обязательна проверка этих корней подстановкой в исходное уравнение (5). При x₁ = 3 получаем

(− 45)³⁰ = (− 45)³⁰ – верное равенство, при x_{2 =} ¹ получаем ^⎛⎜−56⁵⎟^⎞ =^⎛⎜−56^5⎞⎟ –

3 ⎝ 9⎠ ⎝ 9⎠

неверное равенство (возведение отрицательного числа в дробную степень не имеет смысла, т.к. по определению степени с рациональным показателем, степенью числа a 0

m

с рациональным показателем r = , где m – целое число, а n – натуральное (n 1), n

называется число ⁿ a^m.) Значит, лишь x = 3 – корень уравнения (5).

Подводя итоги, приходим к выводу, что уравнение (5) имеет пять корней:

x1,2	, x3 7, x4 , x5 3. 2 2

−1± 233 −1+ 229

= = = =

: x1,2 , x3 7, x4 , x5 3. 2 2
Некоторые показательные уравнения сводятся к	рассмотренным	выше,	если

−1± 233 −1+ 229

Ответ = = = =

преобразовать отдельные их элементы, используя основное логарифмическое тождество:

a^{loga b} = b, где a 0, a ≠1, b 0.

Пример 16. Решить уравнение 3^{log32 x} + x^{log3 x} =162.

⎧x 0 , Решение: ОДЗ: ⎨ ⎩x ≠1.

Согласно сделанному замечанию преобразуем второе слагаемое в левой части уравнения:

xlog₃ ^x = (3log₃ ^x )log3 ^x = 3log₃^{2 x}.

Подставляя полученное выражение в исходное уравнение, получаем

^log₃^{2 x log}₃^{2 x 2} ⎡log³ x= 2 ,

2⋅3 =162, откуда 3 = 81⇔ log3 x= 4 ⇔ _⎢

⎣log₃ x=−2.

Решая полученную совокупность уравнений, находим x₁ = 9, x₂ = .

Ответ: x₁ = 9, x₂ = .

VIII. Функционально-графический метод

Речь идет об использовании графиков функций или различных свойств функций при решении уравнений.

⎛1⎞^x Пример 17. Решить графически уравнение ⎜ ⎟ = x +1.

⎝3⎠

Предлагаем решить данное уравнение самостоятельно, воспользовавшись следующим указанием.

⎛1⎞^x

Указание: В одной системе координат построить графики функций y = ⎜ ⎟ и y = x +1.

⎝3⎠

Абсцисса точки пересечения этих графиков будет решением данного уравнения.

Замечание. Графическим методом мы сможем определить число корней уравнения и либо найти точные значения корней (хотя и редко, но это все-таки удается), либо угадать их, что совсем не плохо.

В отличие от графического метода, функциональный метод, который основан на тех или иных свойствах функций, позволяет находить точные корни уравнения или неравенства, при этом не требуется построения графиков функций.

Вот очень яркая разновидность функционально-графического метода: если одна из функций y = f (x), y = g(x) убывает, а другая возрастает на промежутке Х, то на этом промежутке уравнение f (x)= g(x) либо имеет только один корень (рис. 1, а), либо вообще не имеет корней (рис. 1, б). В подобных случаях графики функций y = f (x) и y = g(x) даже не надо чертить: если мы установили разную монотонность функций y = f (x), y = g(x) и каким-то образом подобрали (угадали) один корень уравнения f (x)= g(x), то уравнение полностью решено – этот корень единственный.

Рис. 1

x

⎛ 3⎞ 7 ^x

Пример 18. Решить уравнение ⎜ ⎟ + = 2 .

⎝5⎠ 5

3 7

Решение: Можно заметить, что при подстановке x =1 получается + = 2, т.е. x =1 –

5 5

x

⎛ 3⎞ 7 ^x корень уравнения, и т.к. функция y = ⎜ ⎟ + убывает, а функция y = 2 возрастает, то

⎝5⎠ 5

других корней это уравнение не имеет.

Ответ: x =1.

Пример 19. Решить уравнение 5^x +12^x =13^x.

Решение: Нетрудно заметить, что x = 2 – корень уравнения. Но рассуждать так же, как в предыдущем примере мы не можем: все функции, составляющие уравнение (5^x, 12^x, 13^x ), имеют одинаковый характер монотонности – возрастают. Поступим так: разделим обе части уравнения почленно на 12^x . Получим:

⎛ 5 ⎞^x ⎛13⎞^x ⎛ 5 ⎞^x

⎜ ⎟ +1= ⎜ ⎟ . Вот теперь все в порядке: функция y = ⎜ ⎟ +1 убывает, а функция

⎝12⎠ ⎝12⎠ ⎝12⎠

⎛13⎞^x

y = ⎜ ⎟ возрастает, значит, можно сделать вывод о единственности найденного корня. ⎝12⎠

Ответ: x = 2.

При решении некоторых показательных уравнений полезно использовать понятия области определения и области значений функции.

Областью определения функции y = f (x) называется множество значений переменной x, при которых функция имеет смысл.

Пусть дано уравнение f (x)= g(x), где f (x) и g(x) – элементарные функции, определенные на множествах D₁ и D₂. Тогда областью D допустимых значений уравнения будет множество, состоящее из тех значений x, которые принадлежат обоим множествам, т.е. D = D₁ ∩ D₂. Ясно, что когда множество D пустое ( D= ∅), то уравнение решений не имеет.

Рассмотрим пример.

Пример 20. Решить уравнение (3^x − 2)² + (3^x −9)(3^x −1) = 3^x − 2.

x ⎧x ≥ log₃ 2 ,

⎧⎪3 − 2 ≥ 0, ⎪

Решение: ОДЗ: ^⎨ x x ⇔ ⎨⎡x ≤ 0, ⇔ x ≥ 2.

⎪⎩(3 −9)(3 −1)≥ 0 ⎪⎩⎢⎣ _{x ≥ 2}

Далее решаем данное уравнение в множестве [2;+∞). Уравнение (3^x −9)(3^x −1)= 0 является следствием данного уравнения. Его корни: x₁ = 0 (не удовлетворяет ОДЗ) и x₂ = 2 (удовлетворяет ОДЗ).

Ответ: x = 2.

Областью значений функции y = f (x) называется множество значений переменной y при допустимых значениях переменной x.

Пусть дано уравнение f (x)= g(x), где f (x), g(x) – элементарные функции, определенные на множествах D₁, D₂. Обозначим область значений этих функций соответственно E₁, E₂. Если x₁ является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство ^f (x₁)= ^g(x₁), где ^f (x₁) – значение функции ^f (^x) при x = x₁, а ^g(x₁) – значение функции g(x) при x = x₁. Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функций f (x) и g(x) имеют общие элементы ( E₁ ∩ E₂ ≠ ∅). Если же таких общих элементов множества E₁ и E₂ не содержат, то уравнение решений не имеет.

⎛ 4⎞^{x 2}

Пример 21. Решить уравнение ⎜ ⎟ = −2x + 6x − 9.

⎝ 3⎠

Решение: Область допустимых значений уравнения есть множество всех действительных

x

чисел. Показательная функция _f (_x)= ^⎛_⎜ ^4⎞⎟ принимает только положительные значения, а ⎝ 3⎠

функция g(x)= −2x² + 6x −9 – только отрицательные значения. Множества значений этих функций не имеют общих элементов, и, следовательно, уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

^{x2−4x+5 2} π ^x

Пример 22. Решить уравнение 2 =1+ sin .

4 Решение: Оценим левую и правую части уравнения.

1. x² − 4x +5 = (x − 2)² +1≥1⇒2^(x−2)2+1 ≥ 2.

² πx ² πx

1. 0 ≤ sin ≤1⇒1≤1+ sin ≤ 2.

4 4

⎧2(x−2)²+1 = 2 ,

⎪

1. Следовательно, равенство достигается, если ⎨ 2 πx

⎪1+ sin = 2.

⎩ 4

1. Из первого уравнения системы находим x = 2. Подстановкой убеждаемся, что найденный корень является решением и второго уравнения системы. следовательно, x = 2 – решение системы и корень исходного уравнения.

Ответ: x = 2.

При решении некоторых показательных уравнений можно использовать свойства четности или нечетности функции.

Функция f (x) называется четной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение −x также принадлежит области определения и выполняется равенство f (− x)= f (x).

Функция f (x) называется нечетной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение −x также принадлежит области определения и выполняется равенство f (− x)=− f (x).

Из определений следует, что области определения четной и нечетной функций симметричны относительно нуля, т.е. начала координат (необходимое условие).

Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значения, а нечетная – равные по абсолютной величине, но противоположного знака.

Теорема 1. Сумма, разность, произведение и частное двух четных функций являются четными функциями.

Теорема 2. Произведение и частное двух нечетных функций представляют собой четные функции.

Пусть имеем уравнение F(x)= 0, где F(x) – четная или нечетная функция. Чтобы решить это уравнение достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записываются отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным, и для нечетной функции корнем будет x = 0, если это значение входит в область определения F(x). Для четной функции значение x = 0 проверяется

непосредственной подстановкой в уравнение.

Пример 23. Решить уравнение 8 ^x = 2 ^{x+2 + x−2}.

Решение: В обеих частях уравнения имеем четные функции. Поэтому достаточно найти решения для x ≥ 0. Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, рассмотрим два промежутка:

(0;2], (2;+∞).

а) На промежутке (0;2] имеем:

8x = 2x+2−x+2, 23x = 24, x = .

б) На промежутке (2;+∞) имеем:

8x = 2x+2+x−2, 23x =22x , 3x = 2x, x = 0.

Но т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то для x 0 данное уравнение имеет корень x = . Тогда x = − также является корнем уравнения.

Ответ: x₁ = , x₂ = −.

Системы показательных уравнений

При решении систем показательных уравнений используются приемы решения систем алгебраических уравнений (метод линейного преобразования системы (или метод алгебраического сложения); метод подстановки; метод замены переменных) и методы решения показательных уравнений. Рассмотрим примеры.

⎧⎪25^2x + 25^2y = 30 , Пример 24. Решить систему уравнений ⎨ x+ y ⎪⎩25 = 5 5.

Решение: Положив u = 25^x, v = 25^y, где u 0, v 0,получим систему уравнений

⎧⎪u² + v² = 30 ,

⎨ имеющую четыре решения:

⎪⎩uv = 5 5 ,

⎧u₁ = 5, ⎧u₂ = 5, ⎧⎪u₃ = −5, ⎧ u₄ = − 5,

⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎩v₁ = 5; ⎩v₂ = 5; ⎪⎩v₃ = − 5; ⎩v₄ = −5.

Но лишь первые два решения удовлетворяют условию u 0, v 0.

Таким образом, задача сводится к решению следующей совокупности систем

⎡⎧⎪25^x = 5 ,

⎢^⎨ y

⎢⎪⎩25 =

уравнений: ⎢

⎢⎧⎪25^x =

⎢⎨ y

⎣⎪⎩25 = 5.

Из первой системы находим: x₁ = , y₁ = , из второй: x₂ = , y₂ = .

⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞

Ответ: ⎜ ; ⎟, ⎜ ; ⎟.

⎝ 2 4⎠ ⎝ 4 2⎠

⎧⎪2^x ⋅3^y =12 , Пример 25. Решить систему уравнений ^⎨ y x ⎪⎩2 ⋅3 =18.

Решение: Перемножив почленно уравнения данной системы, получим уравнение 2^{x+ y} ⋅3^{x+ y} = 216, или 6^{x+ y} = 6⁰, откуда x + y = 3.

Разделив почленно первое уравнение исходной системы на второе, получим уравнение

x−y

2^x−y ⋅3^y−x = ² , или ^⎛⎜ ^2⎞⎟ = ², откуда x − y =1.

Пара (2;1) является решением этой системы и, следовательно, данной системы.

Ответ: (2;1).

⎧⎪x2y²−9y+9 = 3 ,

Пример 26. Решить систему уравнений ⎨ ₂

^⎪⎩xy −5y+6 = 4.

⎧x 0 , Решение: ОДЗ: ⎨ ⎩x ≠1.

Взяв логарифмы по основанию 2 от обеих частей каждого из уравнений данной системы, получим следующую систему уравнений:

^⎧⎪log₂ x^2y2−9y+9 = 3, ⎧⎪(2y² − 9y + 9)log₂ x = 3 ,

⎨ ₂ или ⎨ 2

⎪_⎩log2 x^{y −5y+6} = 2, ⎪⎩(y − 5y + 6)log₂ x = 2.

Разделим первое уравнение этой системы на второе (это деление не приведет к потере решений, т.к. ясно, что y² −5y + 6 ≠ 0 и x ≠1, т.е. log₂ x ≠ 0):

2y² −9y + 9 3 = , ₂

y −5y + 6 2

откуда y₁ = 3, y₂ = 0.

Таким образом, решение данной системы свели к решению совокупности двух систем:

⎧y = 3, ⎧y = 0 , ^⎨( 2 ) ^⎨( 2 )

⎩ y −5y + 6 log₂ x = 2; ⎩ y −5y + 6 log₂ x = 2.

Первая система этой совокупности решений не имеет, а пара (³ 2;0) – решение второй системы – является решением и данной системы.

Ответ: (³ 2;0).

Показательные неравенства

Простейшими показательными неравенствами являются неравенства вида

a^x b, a^x b, (8)

где a и b – некоторые действительные числа (a 0, a ≠1).

В зависимости от значений параметров a и b множество решений неравенства a^x b представляется в виде:

	при a 1, b 0	x∈(loga b;+∞);
	при a 1, b 0	x∈(− ∞;loga b);
	при b 0	x∈ R.
Множество решений неравенства представляется в виде: при a 1, b 0 x∈(− ∞;loga b); при a 1, b 0 x∈(loga b;+ ∞); при b 0 x =∅.			ax b в зависимости от значений	a и	b

Множество решений нестрогих неравенств a^x ≥ b и a^x ≤ b находится как объединение множеств решений соответствующих строгих неравенств и уравнения a^x = b.

Неравенства вида (8) могут быть обобщены на случай, когда в показателе степени стоит некоторая функция от x. Так, множество решений неравенства

2 ^{f (x)} 3 (9)

находится как множество решений неравенства f (x) log₂ 3, эквивалентного неравенству

(9).

Методы сведения более сложных показательных неравенств к неравенствам вида (8), (9) аналогичны методам, используемым при решении показательных уравнений. Так, например, решение показательного неравенства вида

_P(a^x ) 0,

где _P(a^x ) – многочлен указанного аргумента, заменой a^x = t сводится к последовательному решению неравенства P(t) 0 и решению простейших показательных неравенств вида (8) или систем простейших показательных неравенств. (Например, см. пример 29.)

f (_x) _g(_x) ⎧a 0,

Решение показательных неравенств вида a a , где ⎨ основано на ⎩a ≠1 ,

следующих двух теоремах:

Теорема 1. Если a 1, то неравенство a ^{f (x)} a^g(x) равносильно неравенству f (x) g(x).

Теорема 2. Если 0 a 1, то неравенство a ^{f (x)} a^g(x) равносильно неравенству f (x)g(x).

Частные случаи:

I. Пусть a^{f (x)} 1. Тогда

1) при a1, f (x) 0 , 2) при 0a1, f (x) 0.

II. Пусть a^{f (x)} 1. Тогда

1) при а1, f (x) 0, 2) при 0a1, f (x) 0 .

3x−1 x−3

3

Пример 27. Решить неравенство 2 ^x−1 8^3x−7.

⎧x ≠1 ,

⎪ Решение: ОДЗ: ⎨ 7 ⎪⎩x ≠ 3.

Преобразуем данное неравенство к виду

3x−1 3(x−3)

23(x−1⁾ 2 3x−7 .

3x −1 3(x −3)

По теореме 1 данное неравенство равносильно неравенству . Из этого 3(x −1) 3x − 7

неравенства

последовательно

5 −

получаем

неравенства

x

3x −1 3x −9 12x − 20

− 0, 0,0.

3x −3 3x − 7 (3x −3)(3x − 7)

⎜ ⎟

⎝ 3⎠

(− ∞;1)∪⎛⎜5;7 ⎞ ⎟ , которое является и решением

Из последнего неравенства получаем

⎝ 3 3⎠

данного неравенства.

Ответ: (− ∞;1)∪^⎛⎜⁵;^{7 ⎞}⎟ .

⎝ 3 3⎠

Пример 28. Решить неравенство 2^x+2 − 2^x+3 − 2^x+4 5^x+1 − 5^x+2.

Решение: Последовательно получаем

4⋅2^x −8⋅2^x −16⋅2^x 5⋅5^x − 25⋅5^x, − 20⋅2^x −20⋅5^x,

2^x 5^x.

Разделив обе части последнего неравенства на 5^x 0, получим равносильное неравенство

x x 0

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞

⎜ ⎟ 1, или ⎜ ⎟ . Здесь основание удовлетворяет двойному неравенству

⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠

x 0

2 ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞

0 1. Значит, по теореме 2 неравенство ⎜ ⎟ равносильно неравенству

5 ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠

противоположного смысла x 0. Итак, промежуток (0;+∞) является решением данного неравенства.

Ответ: (0;+∞).

Пример 29. Решить неравенство 5 ^x+1 −5^{2 x−1} − 20 0.

Решение: ОДЗ: x ≥ 0.

Перепишем исходное неравенство следующим образом:

^x 1 ^{2 x}

5⋅5 − ⋅5 − 20 0.

5

После замены 5= t, t 0, получим неравенство

− t² + 5t − 20 0,

и далее t² − 25t +100 0, или (t −5)(t − 20)0, откуда 5 t 20.

Таким образом, решение заданного неравенства сводится к решению системы неравенств 5 5 20, или 5 5 5^{log5 20}. Эта система равносильна (т.к. основание

5 1) системе 1x log₅ 20, откуда 1x log₅² 20. Итак, промежуток (1;log₅² 20) является решением заданного неравенства.

Ответ: (1;log₅² 20).

Пример 30. Решить неравенство (x² + x +1)^x 1. (10)

Решение: Так как дискриминант квадратного трехчлена x² + x +1 отрицателен, а коэффициент при x² положителен, то x² + x +1 0 при всех действительных значениях x. Поэтому правую часть неравенства (10) можно представить как (x² + x +1)⁰ и переписать неравенство (10) следующим образом:

(x² + x +1)^x (x² + x +1)⁰. (11)

Так как относительно основания x² + x +1 неизвестно, больше оно единицы или меньше, то следует рассмотреть обе эти возможности.

Если x² + x +11, то к неравенству (11) применима теорема 1. Если же x² + x +11, то к неравенству (11) применима теорема 2. Таким образом, неравенство (11) равносильно следующей совокупности систем неравенств:

⎡⎧x² + x +11, ⎡⎧x(x +1)0 ,

⎢⎨ ⎢⎨

или ⎢⎢⎢⎩⎨⎧xx₂ 0 ; ⎢⎢⎢⎨ ⎧⎩xx(x 0+;1) 0 ,

_{+ x +1 1,}

⎢_⎣⎩x 0, ⎢⎣⎩x 0.

Первая система решений не имеет, а из второй системы найдем промежуток (−∞;−1), являющийся решением неравенства (10).

Ответ: (−∞;−1.)

В общем случае неравенства видов (_f (_x))^g(x) (_f (_x))^h(x) и (_f (_x))^g(x) (_f (_x))^h(x) равносильны следующим совокупностям:

⎡⎧ f (x)1 ,

⎢⎨

g⁽x⁾ h(x) ^⎢⎩g(x) h(x) ;

(f (x)) (f (x)) _⇔

^⎢⎧0 f (x)1 ,

⎢ ⎨

⎢⎣⎩g(x)h(x);

⎡⎧ f (x)1 ,

g(_x) _h(_x) ^⎢⎢^⎨⎩g(x)h(x) ;

(f (x)) (f (x)) ⇔

^⎢⎧0 f (x)1 ,

⎢ ⎨

⎢⎣⎩g(x) h(x).

0^ ⎝ 3⎠3 Таким образом, решение данной системы сводится к решению следующей системы

⎧x + y = 3 , уравнений: ⎨ ⎩x − y =1.