Урок алгебры в 10 классе по теме «Решение показательных уравнений и неравенств (включая уравнения и неравенства смешанного типа)»

Урок алгебры в 10а классе

по теме «Решение показательных уравнений и неравенств
(включая уравнения и неравенства смешанного типа)».

Цели урока:

Образовательные:

• Систематизировать знания учащихся по заданной теме.

• Закрепить умение решать показательные уравнения и неравенства, сводимые к простейшим вида  специальными методами:
  Разложением на множители;
  Введением новой переменной и сведением показательного уравнения (неравенства) к алгебраическому;
  Делением обеих частей уравнения (неравенства) на одну из степеней.

• Закрепить умение решать показательные уравнения и неравенства (+ смешанного типа) графическим и функционально-графическим методом.

• закрепление вычислительных навыков;

• обучать различным формам контроля знаний и самоконтроля.

Развивающие:

• развитие навыков логического мышления,

• формирование навыков грамотной математической речи;

• развитие мыслительных операций посредством конкретизации,

• развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.

Воспитательные:

• воспитание познавательной активности,

• культуры общения, прививать интерес к математике.

• воспитание чувства ответственности, уважения друг к другу,

• взаимопонимания, уверенности в себе; воспитание культуры общения.

Повторение

• понятие уравнения и его решения

• понятие неравенства и его решения;

• умение решать квадратные уравнения и алгебраические неравенства;

• знание свойств с рациональным (иррациональным) показателем и определение арифметического корня n-й степени; умение решать иррациональные уравнения;

• знание свойств показательной функции;

• определение геометрической прогрессии;

• умение строить и читать графики функций;

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Методы работы:

• проблемный;

• частично-поисковый.

Виды работ:

• индивидуальная

• коллективная;

• фронтальная.

Оборудование:

• Дидактические материалы;

• Раздаточный материал для самостоятельной работы, алгоритмы, методы решения уравнений и неравенств;

• Листы-памятки по решению показательных уравнений.

компьютер, проектор, документ-камера.

Ход урока.

1. Организационный момент.

- Здравствуйте ребята! Сегодня нам предстоит подвести итоги изучения большой темы курса алгебры и предугадать ближайшую перспективу следующих уроков. 
2.Постановка цели и темы урока.
- Чем мы занимались на прошлых уроках? ( Решали показательные уравнения

и неравенства)

Мы завершаем изучение этой темы и впереди у нас контрольная работа.

Какую цель вы поставить перед собой на этом уроке? (подвести итоги, обобщить и систематизировать изученный материал по теме «Решение показательных уравнений и неравенств»)
- Итак, тема нашего урока звучит по-прежнему «Решение показательных уравнений и неравенств»
3.Проверка домашнего задания:
К доске вызываются трое учащихся по домашнему заданию.
4.Обобщение и систематизация знаний и умений по теме: «Решение показательных уравнений и неравенств».
- Пока ребята у доски готовятся к обсуждению некоторых заданий домашней работы, поработаем вместе. В качестве эпиграфа к сегодняшнему уроку мне бы хотелось привести слова советского математика, философа, педагога Софьи Александровны Яновской:

Слайд

Вашему вниманию предложены уравнения.

- Какие из них являются показательными?
- Какие содержат показательные выражения (являются смешанными)?
- Какие вовсе не являются показательными?

Итак, пожалуйста, сформулируйте определение показательных уравнения и неравенства.( уравнения(неравенства) содержащие неизвестное в показателе степени называется показательным)

- Каков общий вид простейших показательных уравнений? 

Почему обговариваются условия для основания степени уравнений?
( Из определения показательной функции //из определения степени с иррациональным показателем// следует, что степень определена для положительного, не равного единице, основания).

- А неравенств? (изменяется знак неравенства)
- Каковы основные методы решения простейших показательных уравнений? (уравнивание показателей)
- Неравенств? ( Переход к равносильному неравенству). 

На чем они основаны?

Расшифруйте.

Для уравнений: 1) Если степени с равными основаниями, отличными от единицы и большими нуля, равны, то показатели равны;

2) функция  монотонна на R, поэтому каждое свое значение она принимает при единственном значении аргумента.

Для неравенств: 1) Показательная функция  монотонно возрастает (убывает) на R, поэтому большему (меньшему) значению функции соответствует большее значение аргумента. 

^ 2) Если a1, то из неравенства ;

Если 0, то из неравенства

 Выберите из предложенных списков те, которые можно назвать простейшими (или свести к ним). ( 1, 3, 9 уравнения). Можно ли какие-нибудь решить устно?

- Попробуйте устно решить уравнение 1. (x=0)

- А если бы это было неравенство? (x1).

- Уравнение №3? 
= ,

- Можно ли еще какие-нибудь уравнения решить устно?( Уравнение 4  )
- Какой метод использовали при решении?( Функционально-графический)

 -На чем он основан? ( На свойствах монотонных функций.)

Запись на доске: 

Возрастающая = убывающая

Возр.+возр. = убывающая

Убыв.+ убыв.= возрастающая

Возраст.(убыв.) = постоянная
графики пересекаются не более, чем в одной точке

- Всегда ли можно быстро решить уравнение функционально-графическим методом?( Нет, если корень трудно подобрать, или значение корня не является целым числом.)
- Какой метод послужил основой для функционально-графического метода?
(Графический.)
- В чем его суть?( Построить графики двух функций в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения графиков – корни заданного уравнения.)
- Дома было предложено решить графическим методом неравенство . (Внимание на доску).

В чем недостаток метода?( Неточные значения корней соответствующего уравнения.)
- В чем достоинство?( Всегда можно «увидеть» корни уравнения, найти приближенно, и, значит, и решить неравенство. )

- А если бы решили поработать устно?( Велика возможность потери одного корня уравнения и, следовательно, неверного решения неравенства.)
- Решили бы устно этим методом уравнение  ( Корней бы не нашли)
- Второе уравнение из домашней работы:  Удобно было строить график функции, стоящей в левой части уравнения?

- Можно ли было избежать построений? (слева – убывающая функция, справа – возрастающая .Следовательно уравнение имеет единственный корень, его легко найти подбором ).
- А если знак равенства поменять на знак неравенства « 
Найдем подбором корень уравнения;
Схематически построим графики обеих функций;
Выберем решение неравенства.
-Итак, какой метод использовали?( Графический и функционально-графический)

- Решите указанные уравнения функционально-графическим методом.

 
 
- Если бы знак равенства поменять на знак неравенства, то при решении неравенства на что бы обратили внимание? ( На основание степени.)
- Какие методы решения уравнений еще знаем?
(Перечисляем : вынесением общего множителя, делением на степень, замена, сведение к квадратному, к алгебраическому).
- Дома было предложено уравнение  . (Решение уравнения представлено учеником, обсуждается)
- Какими методами его решали? (Вынесение за скобки общего множителя. Деление на степень.)
 А что бы было, если изменить знак «=» на «»?( при переходе от показательного неравенства к равносильному квадратному неравенству нужно учитывать , что если a1, то из неравенства ;

если 0, то из неравенства

 Какие еще уравнения из списка можно решить названными методами?

Вынесением общего множителя – уравнение 5
Делением на степень – уравнение 7

Замена, сведение к квадратному (уравнение 6,13); 
к алгебраическому (уравнение 12).

- Найдите в списке уравнения, решаемые этими методами, оговорите специальные приемы.

- Итак, подведем первые итоги. Составим алгоритм решения показательных уравнений(неравенств).

5.Физкультминутка - гимнастика для глаз.

6. Проверочная работа:

- Проверим, как же мы научились решать показательные уравнения и неравенства, выполнив самостоятельную работу.

Класс предварительно разбит на группы, т.к. класс делится на подгруппы, то в каждой группе 2-3 человека. Решив уравнение, группы делегируют к доске своего представителя. Все уравнения обсуждаются, записывается решение всеми учащимися класса. Полученная оценка выставляется всем членам группы.

7. Задание на дом:

подготовка материала к конференции «Показательная функция, показательные уравнения и неравенства»

“Теоретики” получают задание изучить исторические сведения о показательной функции и показательных уравнениях. Сделать презентацию найденного материала.

“Практики” готовят задания, предлагаемые в экзаменационных работах.

“Исследователи” занимаются исследованием и решением более сложных уравнений.

“Специалисты” по прикладной математике изучают процессы и явления, которые можно задать показательной функцией.

8. Итоги урока:

- Чем занимались на уроке?
- Чему научились?
- Какие основные методы решения показательных уравнений (неравенств) знаем?
- Каков алгоритм решения показательного уравнения (неравенства)?
- Что полезного извлекли для себя на уроке?
- Что нового узнали?
- Что хотелось бы узнать и чему еще научиться?

Решать уравнения и неравенства вида  где b не представимо в виде 
- Но это тема наших следующих уроков.
Урок закончен. Спасибо, дети!

.