Организация повторения в процессе обучения математике (из опыта работы)

ГОСУДАРСТВЕНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ № 4»

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО ОРГАНИЗАЦИИ ПОВТОРЕНИЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ (из опыта работы)

АВТОР: преподаватель математики ХУГАЕВА М.И.

ВЛАДИКАВКАЗ, 2О12

ВВЕДЕНИЕ

Повторение ранее изученного материала - одно из важных направ­лений в реализации дидактического принципа прочного усвоения знаний, которое исходит из того, что дальнейшее накопление знаний невозможно, если изученный ранее материал забыт. Психологической основой прочности считают память, ее закономерности, заставляющие прибегать к повторе­нию, возвращаясь к тому, что было усвоено ранее. Прочному усвоению знаний способствует четкая первоначальная целевая установка при изложении материала преподавателем, последовательно проводимая система закрепления.

В процессе обучения мышление должно преобладать над памятью, а запоминание материала - основываться на понимании, осмысливании его, раскрытии существенных связей и отношений между изучаемыми фактами и понятиями. Усвоение знаний есть процесс постоянного углубления, уточнения и закрепления их. В этом важная роль принадлежит повторе­нию, при котором в систему прежних знаний включаются новые.

При повторении, как и при изложении нового материала, решение определенных познавательных задач должно развивать у обучающихся: логическую память, активное логическое мышление, способность мобили­зовать знания для выполнения предстоящей работы, воображение (вос­производящее и творческое). Необходимо обеспечить положительное эмоциональное отношение обучающихся к процессу повторения введением в повторяемый материал элементов новизны, использования новых ярких примеров, заданий, требующих активного размышления, поисков рациональ­ных решений, проверки результатов.

В дидактике разработаны общие требования к повторению, основы­вающиеся на принципе прочности знаний, и систематизированы соответ­ствующие приемы работы педагогов.

1. Повторяемый материал полезно разбивать на структурные смыс­ловые части, озаглавливать их, ставить к ним вопросы, формулировать е виде тестов.

2. Запоминаемый материал важно связывать с прежними знаниями, опираться на сложившиеся представления обучающихся.

3. В процессе повторения следует постоянно активизировав мысль обучающихся, ставить вопросы на сравнение, сопоставление, предлагать анализировать, классифицировать и обобщать материал.

4. Стереотипное повторение по тем же вопросам, в том же порядке и структуре, по которым происходило первичное изучение соответствующего материала, ведет к шаблону мышления, не повышает уровень знаний.

5. Более отчетливому ©сознанию и углублению знаний в процессе повторения способствует новая группировка материала.

1. Необходимо выделить для повторения стержневые идеи и проблемы.

2. Эффективность повторения и закрепления обеспечивается разнообразием применяемых подходов, методов и форм.

ВИДЫ ПОВТОРЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ.

Повторение в начале года обусловлено необходимостью восста­новить в памяти обучающихся минимум знаний, которые стали бы опорой для дальнейшего изучения самой математике и других предметов. Планируя такое повторение на первом курсе, следует учитывать, что общий уровень математической подготовки поступающих в профессиональный лицей выпускников школы зачастую недостаточен для успешного овладения новым программным материалом по математике. Поэтому требуется отобрать для повторения не отдельные, частные вопросы, а ведущие линии курсов алгебры и геометрии, которые отражают сис­тему основополагающих понятий и методов и связаны с частым приме­нением соответствующих знаний. По алгебре это множества и опера­ции над ними, выражения и преобразования их, уравнения и неравен­ства, функции. По геометрии - зависимость между элементами треу­гольника, круг и окружность, площади фигур.

Так как количество часов на повторение в начале года ограни­чено (2-3 часа), то повторение перечисленных тем непосредственно на уроке невозможно. Поэтому в начале обучения в лицее проводятся вводные контрольные работы по основным темам алгебры и геометрий за 5-9 классы. При этом преследуются две цели:

1. проверить знания обучающихся и выявить основные пробелы;

2. наметить пути их устранения.

Первая цель достигается в ходе проверки контрольной работы. Для реализации второй цели организуются дополнительные занятия во внеурочное время (сентябрь, октябрь). Затем проводится неболь­шое тестирование по основным вопросам повторенных тем. В тесты включаются простейшие вопросы и примеры и предлагается несколько возможных ответов. По результатам тестирования намечается даль­нейшая работа в этом направлении.

Например:

1. Найдите значение выражения:

а) 3, 075:1,5- 0,25∙(0,04+3,26)

1) 1,225; 2) 2,15; 3) 3,125.
б) (1,4∙ +0,5:1 - )∙6

1) 0,6; 2) 66; 3)6,6.

1. Сократите дробь:

а) x²+7x+10 ; 1) 2) 3)

x²-4

б) __9x²-1_ ; 1) 2) 3)

3x²+5x-2

1. Решите уравнение:

а) 3(x+2) -4(x+3) = 21; 1) -27; 2) 44; 3) 23.

б) x²-3x-2 = 0; 1) -3 и 2; 2) 2 и-0.5; 3) -0.5 и

4. Решите неравенство:

а) 4(x+)-5x ≥ 2; 1) (-∞;1); 2) (-∞;2); 3) (-∞;-1].

б) x²-3x

5.Найдите значение функции: f(x)= в точке x=0; 1) 2)-; 3)

Очень важно организовать текущее повторение ранее пройденного материала в связи с изучением нового. В этом случае необходимо повторить сведения, тесно связанные с очередными темами, чтобы создать необходимую базу для приобретения новых знаний. Такой харак­тер носит, например, повторение в процессе изучения первой темы курса геометрии "Аксиомы стереометрии. Следствия аксиом стереометрии. Параллельность в пространстве". Здесь, в отличие от обзорного пов­торения, о котором шла речь выше, на первый план выдвигается повто­рение вопросов, прямо связанных с новым учебным материалом.

При изучении "Перпендикулярности в пространстве" нужно повто­рить понятие перпендикулярности на плоскости. На втором курсе при рассмотрении тем "Площадь поверхности призмы" и "Площадь поверхности пирамиды" удобно начать с повторения понятия площади и свойств площадей.

При изучении уравнений и неравенств в курсе алгебры повторить определения и свойства уравнений и неравенств.

При изучении темы "Приращение функции", используя формулу Δf=f(x₀+Δx)-f(x₀) у обучающихся вызывает затруднение нахождение f(x₀+Δx) и f(x₀) . В связи с этим сначала рекомендуется повторить понятие области допустимых значений, нахождение значения функции в заданных точках.

Рассматривая тему "Производная сложной функции" в ходе опроса обучающимся предлагается изобразить таблицу производных элементарных функций. Затем, введя определение сложной функции, продолжить заполнение имеющейся таблицы. Параллельное внесение производных простейших и сложных функций дает возможность сравнить их, понять и лучше запомнить.

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

1. , 9.

2. 10.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

7. 15.

8.

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

1. - производная суммы равна сумме производных.

2. - константа выносится за знак производной.

3. - производная произведения.

4. - производная частного.

Тематическое повторение применяется с целью систематизации материала каждой законченной темы или раздела. Для такого повторения отбираются наиболее существенные вопросы, которые располагаются в логической последовательности и предусматривают составление ито­говых схем, классификационных таблиц и т.п.

Организация тематического повторения в ходе преподавания математики в лицее осуществляется следующим образом. На уроках обобщения, вызываемым обучающимся предлагается составить итоговые схемы или классификационные таблицы на доске. Приведем несколько примеров.

1.Решение простейших тригонометрических уравнений

№ п/п	Уравнение	Формула корней уравнения	Частные случаи
1.	Cos x = a; -1≤ a ≤ 1	x=±arccos a + 2πn, n€Z	1.Cos x=-1 x= π+2πn, n€Z; 2. Cos x=0 x= +πn, n€Z; 3.Cos x=1 x=2πn, n€Z.
2.	Sin x = a; -1≤ a ≤ 1	x=(-1)narcsin a+πn, n€Z	1.Sin x=-1 x= +2πn, n€Z; 2. Sin x=0 x= πn, n€Z; 3.Sin x=1 x= +2πn, n€Z.
3.	Tg x = a, a€R	x=arctg a+πn, n€Z	-
4.	Ctg x = a, a€R	x=arcctg a+πn, n€Z	-

Две прямые в пространстве

Принадлежат одной плоскости

Не принадлежат одной плоскости

Параллельные

Пересекающиеся

Скрещивающиеся

Прямая и плоскость в пространстве

Пересекаются

Не пересекаются

Параллельны

Многогранники

Призма

Пирамида

Прямые

Наклонные

Правильные

Неправильные

Правильные

Прямой параллелепипед

Усеченные

Куб

Тематическое повторение обычно завершается контрольной рабо­той. Для тематического повторения хорошо использовать карточки. Если тема большая, то разрабатывают несколько карточек (по подтемам). Задания тематических карточек подбирают сразу на всю тему, но предлагают их постепенно, в меру изучения материала, и только в процессе итогового повторения темы от обучающихся требуют выполнения всех заданий. Иногда для самостоятельной работы в тематическую карточку включают подготовительные упражнения, решение которых помогает обучающимся легче выполнить более сложное задание. Например, при изуче­нии темы "Примеры решений тригонометрических уравнений" ребятам предлагаются карточки, содержащие уравнения простейших видов и сводящиеся к квадратной простой подстановке. Можно составить несколько карточек и вызвать для работы с ними обучающихся к доске. При разборе их решений остальные обучающиеся также получают возможность повторить материал. А можно составить карточки на всех обучающихся и провести повторение в виде самостоятельной работы. Затем предло­жить ребятам рассмотреть уравнения, которые приводятся к квадрат­ным путем предварительных преобразований.

К примеру:

Карточка №1

Решите уравнения:

а) 2sin x = ; б) 2cos²x+cosx=1; в) cos3x=-1.

Карточка №2

Решите уравнения:

а) cos б) 2sin²x-3sinx+1=0; в)ctg2x=1.

В ходе объяснения темы рассмотреть уравнения, содержащие различные тригонометрические функции и аргументы, однородные уравнения и т.д.

Например:

2sin²x + cosx – 1=0;

3tg²x + ctg²x = 4;

4cos²x + cos2x =5.

Оправдывают себя так называемые подготовительные уроки к опре­деленным разделам, на которых проводится систематизация и углубление сведений, необходимых для изучения нового материала. Так, изучению многогранников в курсе геометрии можно предпослать подготовитель­ный урок, на котором актуализируются знания обучающихся о многоуголь­никах: видах, вычислении площади, применения тригонометрических функций для нахождения неизвестных элементов, об изображении фигур в стереометрии и т.п.

ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

ТРЕУГОЛЬНИКИ

h а b a a S=ab S=a2 S=ah a a c α b b S=absinα S= ;p=(a+b+c)

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

a a a α h b a b S=ab S=a2 S=bh; S=absinα a h b S= h

ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК

r

a

S=6a²= a²

Заключительное повторение проводится в конце года или после прохождения всего курса (например, курс геометрии после двухгодичного изучения). По целям и отбору материала заключительное повторение сходно с тематическим, однако, уровень обобщения материала на этапе заключительного повторения значительно выше. Кроме того, в процессе тематического повторения используется материал только одной темы, а при заключительном повторении вступают во взаимодействие сведения различных тем, раскрываются связи между разделами курса.

При заключительном повторении материал каждой темы, раздела концентрируется, что дает возможность рассмотреть весь курс в определенной системе, углубить знания учащихся по ведущим понятая ям, идеям и методам на основе установления логических связей между ними; создаются условия для рассмотрения вопросов развития отдель­ных понятий, применения их в самой математике и на практике. Заключительное повторение особенно важно при подготовке к вы­пускному экзамену (возможно даже проведение тренировочной конт­рольной работы), однако, оно не должно всецело подчиняться этой цели. Главное здесь - обобщение и систематизация знаний, осущест­вляемые не только на уровне воспроизведения материала, но и в виде продуктивной показательной деятельности учащихся.