Мир на плечах треугольника

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Школа №80 городского округа Донецк»

«Мир на плечах треугольника»

Выполнил: Холоша Константин

Класс: 5-А

Руководитель: учитель математики Лапко Ирина

Валентиновна

Донецк – 2026

Содержание

I. Введение 3

II. Основная часть 5

II.1. Треугольник и его типы 5

II.2. История появления треугольника 8

II.3. Треугольники в окружающем нас мире 9

III. Исследовательская часть 15

IV. Геометрия на вольном воздухе 17

V. Выводы 23

Литература 24

I. ВВЕДЕНИЕ

С самого раннего детства всем нам известна фигура - треугольник. В этом году на уроках математики мы ещё больше углубились в её изучение. Мне нравится эта геометрическая фигура: знакома с детства, просто рисуется, напоминает домик. И я решил узнать о ней больше. Каково же было моё удивление, когда узнал, что треугольник на протяжении развития человечества является не просто геометрической фигурой с тремя сторонами и тремя углами, но и имеет смысловое значение в религии разных народов, в понимании космических фактов и явлений, психологии и еще во многих сферах нашей жизни.

1. Учебный предмет, в рамках которого разрабатывается проект: математика.

2. Тип проекта:

По виду деятельности – информационный;

По содержанию – межпредметный;

По времени выполнения – краткосрочный (две недели).

1. Цель проекта: систематизировать и расширить знания о треугольнике, привлечь интерес учащихся к математике (геометрии).

2. Задачи проекта:

1) Рассмотреть основные виды треугольников и дать определение каждого из этих треугольников.

2) Изучить историю треугольника с древности и до наших дней.

3) Узнать о применении треугольников в практической жизни.

4) Провести опрос среди одноклассников по теме проекта.

Актуальность данного исследовательского проекта определяется важностью умения видеть математику в мире, в котором мы живём, внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей. Объектом исследования: треугольники Предметом исследования: история развития термина треугольник, геометрические сведения о треугольнике и треугольник в окружающем нас мире. Проблема исследования: пригодятся ли знания о свойствах треугольника в обычной жизни.

Гипотеза исследования: если популярность треугольника определяется его триединством, то это простота, красота и значимость.

Этапы проекта:

1) изучение теоретической части (всё о треугольниках);

2) изучение практической части (применение треугольников в окружающем мире);

3) проведение исследовательской части (опрос);

4) проведение практической части (применение знаний о свойствах треугольника в жизни)

1. Руководитель проекта: Ирина Валентиновна Лапко, учитель математики.

2. Возраст участников проекта: 10-12 лет.

3. Аннотация проекта. Проект направлен на обобщение и систематизацию знаний по теме «Треугольник». Треугольник по праву считается простейшей из фигур: любая плоская, то есть простирающаяся в двух измерениях фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни. Этот тезис и доказывается в проделанной работе.

II. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

II. 1. Треугольник и его типы

Когда острый угол треугольника касается круга,

эффект не менее значителен, чем у Микеланджело,

когда палец Бога касается пальца Адама.

В.В.Кандинский.

Определение: Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющие эти точки.

На рисунке изображён треугольник АВС и указаны основные его элементы:

Элементы треугольника

Треугольник с вершинами A, B и C обозначается как ΔABC . Треугольник ΔABC имеет три стороны:

• сторона AB;

• сторона BC;

• сторона AC.

Длины сторон треугольника обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c):

• | AB | = c;

• | BC | = a;

• | AC | = b.

Треугольник ΔABC имеет следующие углы:

• угол — угол, образованный сторонами AB и AC и противолежащий стороне BC;

• угол — угол, образованный сторонами AB и BC и противолежащий стороне AC;

• угол — угол, образованный сторонами BC и AC и противолежащий стороне AB.

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).

Всё большое семейство треугольников можно разделить на группы по числу равных сторон и в зависимости от углов:

Типы треугольников

По величине углов. Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

Остроугольный Тупоугольный Прямоугольный

• Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;

• Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;

• Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

По числу равных сторон

Разносторонний Равнобедренный Равносторонний

• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

• Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.

• Разносторонним называется треугольник, если все его стороны имеют разную длину.

В С

М

II. 2. История появления треугольника

Треугольник является одной из первых геометрических фигур, которая стала использоваться в орнаментах древних народов.

Крупнейший древнегреческий историк Геродот (V век до нашей эры) оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. C этого момента и началась геометрия – «землемерие» (от греческого «гео» - «земля» и «метрео» - измеряю).

Древнее землемеры выполняли геометрические построения, измеряли длины и площади; астрологии рассчитывали расположение небесных светил – всё это требовало весьма обширных познаний о свойствах плоских и пространственных фигур, и в первую очередь о треугольнике.

Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в египетских папирусах, которым более 4000 лет, в старинных индийских книгах и других древних документах. Уже тогда была известна теорема, получившая впоследствии название теоремы Пифагора, которая применялась для построения прямых углов на местности с помощью веревочного треугольника со сторонами 3, 4, 5 (египетский треугольник). 
Через 2000 лет в древней Греции учение о треугольнике достигает высокого уровня. Известны такие древнегреческие ученые, как Архимед, Пифагор, Фалес.

Учение о треугольнике развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до нашей эры Фалесом, затем в школе Пифагора. Древние греки решили упорядочить накопленные сведения о треугольнике и написали много трудов. Наиболее совершенной оказалась работа Евклида "Начала" (365-300 до н.э.).

Понятие о треугольнике исторически развивалось, по-видимому, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники. Несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

II. 3.Треугольники в окружающем нас мире

Треугольник в живописи

Творчество Василия Васильевича Кандинского – уникальное явление русского и европейского искусства. Именно этому художнику, наделённому могучим дарованием, блестящим интеллектом и тонкой духовной интуицией, суждено было совершить подлинный переворот в живописи и создать первые абстрактные композиции. По Кандинскому, именно линия и цветовое пятно, а не сюжет являются носителями духовного начала, их сочетания рождают «внутренний звук», вызывающий отклик в душе зрителя.  Наряду с треугольниками и квадратами композиции включали в себя круг как символ совершенства и полноты мироздания. 

Чтобы зрители лучше понимали его картины, он написал книгу «Линия и точка на плоскости».

В «Вибрации» мы видим именно этот «контакт между острым треугольником и кругом», который художник называет «новым Адамом», тянущимся к Богу, как у Микеланджело.

В картинах «Точки на дуге» и «Три треугольника» можно увидеть, как треугольники применяются в живописи.

 

«Точки на дуге», 1927 г. «Три треугольника», 1938 г.

Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на"золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

 

Леонардо да Винчи – «Мона Лиза»

Треугольник в музыке

Треугольник. Этим геометрическим термином называется музыкальный инструмент, который входит в группу ударных и довольно часто применяется в симфонической и оперной музыке. По форме инструмент представляет собой равносторонний треугольник. Сделан он из стального прута. Треугольник подвешивают к пульту и легонько ударяют металлической палочкой. Звук получается высокий (неопределенной высоты), звонкий и нежный, а при сильном ударе пронзительный, напоминающий колокольчики. В музыке Грига к драме Ибсена «Пер Гюнт» треугольник введен в танец Анитры. Его звенящая трель подчеркивает изящный, капризный характер танца. А в «Шехеразаде» и «Испанском каприччио» Римского-Корсакова ритмичное позвякивание треугольника придает музыке еще больший блеск, живость, задор.

Треугольник в природе

Бермудский Треугольник — широко известная аномальная зона. Расположен он в границах между Бермудскими островами, Майями во Флориде и Пуэрто-Рико. Площадь Бермудского треугольника составляет свыше одного миллиона квадратных километров. Рельеф дна в этой акватории хорошо изучен. На шельфе, который составляет значительную часть этого дна, было проведено множество бурений с целью отыскать нефть и другие полезные ископаемые. Течение, температура воды в разное время года, ее соленость и движение воздушных масс над океаном — все эти природные данные занесены во все специальные каталоги. Этот район не особенно сильно отличается от других похожих географических мест. И тем не менее именно в районе Бермудского треугольника загадочно исчезали суда, а затем и самолеты.

Обыкновенный богомол — насекомое, относящееся к семейству настоящих богомолов. Это самый распространенный представитель вида на территории Европы. Это довольно крупное насекомое. Голова у богомола треугольной формы, очень подвижная, соединенная с грудью. Она может вращаться на 180 градусов. У этого насекомого отлично развиты передние лапы, которые имеют мощные и острые шипы. С их помощью оно хватает свою жертву, а затем съедает ее.

Т реугольник в астрономии

Треугольник (лат. Triangulum, Tri) — созвездие северного полушария неба. Занимает на небе площадь 131,8 квадратных градуса, содержит 25 звёзд, видимых невооружённым глазом.

Треугольники в архитектуре

Египетские пирамиды тоже в форме треугольника. Пирамида имеет квадрат в плане и треугольник в вертикальном сечении, квадрат соответствует кресту, образованному четырьмя кардинальными точками.

Пирамида Лувра в Париже состоит из 603 ромбов и 70 треугольников из прозрачного стекла толщиной 21 миллиметр. Длина одной стороны основания – 35 метров, угол наклонна стороны 52 градуса. Общий вес пирамиды - 180 тонн.

Небоскреб Утюг является одним из самых известных исторических памятников Нью-Йорка. Знаковое строение высотой в двадцать один этаж известно своей треугольной формой, за что оно и получило название утюга. Этот дом был одной из первых впечатляющих высоток, выстроенных на Манхэттене.

Для проведения Универсиады 2011 в Шэньчжэне, Китай, был построен новый спортивный комплекс. Стадионы напоминают три многогранные светящиеся короны, изготовленные из стеклянных треугольников. Над созданием этой ювелирной работы крупного масштаба работала немецкая студия GMP Architekten.

Треугольник и символы

Звезда Давида — шестиконечная звезда или гексаграмма, состоит из двух равносторонних треугольников, наложенных друг на друга: символ еврейского народа, знак, размещённый на флаге Государства Израиль. Шестиконечные звёзды также встречаются в символике других государств и населённых пунктов.

Оккультный знак "глаз в треугольнике" (или «Всевидящее око», или «сияющая дельта») считается символом Бога. Происхождение свое он ведет с глубокой древности. Возможно, традиция изображать подобным образом божество берет свое начало еще в Древнем Египте. В этом государстве часто использовался религиозный знак "соколиное око Гора". Треугольник также считается магическим знаком с давних времен.

III. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ

Одной из задач моего исследования было провести опрос среди одноклассников с целью выявления их знаний по теме работы. Ребятам, принявшим участие в опросе, было предложено интересное задание: вспомнить как можно больше слов из окружающей нас действительности (живых, неживых, природного происхождения, абстрактных и так далее), которые по своей форме напоминали бы такую геометрическую фигуру, как треугольник.

Анкетируемых было 18 человек. В каждой карточке с ответами было в среднем 20-30 слов. Проанализировав каждую карточку с ответами, я выявил определённую частотность тех или иных слов. Вот с чем сравнивается треугольник чаще всего:

- дорожные знаки (18 чел);

- Египетские пирамиды (18 чел);

- крыша дома (16 чел);

- отрезанный кусочек торта (сыра, арбуза) (16 чел);

- тремпель (15 чел);

- балалайка (13 чел);

- бабочка как элемент мужского гардероба (12 чел);

- утюг (его гладильная поверхность) (12 чел);

- колпак для именинника (11 чел);

- стрелки (10 чел)

- рожок мороженого (9 чел);

- острие карандаша (9 чел);

- горы (8 чел);

- курсор от компьютерной мышки (7 чел)

- буквы «А», «Д», «Л», «М» (6 чел);

- линейка «треугольник» (5 чел);

- уши животных (5 чел).

Следует отметить, что были и такие ответы, что встретились редко, по 1-2 примера: колба для опытов, нос, пламя свечи, чай в пакетиках-пирамидках, Эйфелева башня, клыки, носок женских туфель.

После проделанной работы приходим к выводу: очень много вокруг нас предметов, схожих на геометрические рисунки, и особенно треугольников.

IV. ГЕОМЕТРИЯ НА ВОЛЬНОМ ВОЗДУХЕ

Природа говорит языком математики:

буквы этого языка – круги, треугольники

и иные математические фигуры.

Галилей

В своём исследовании треугольников мне хотелось пойти дальше: перейти от теоретической и исследовательской частей к практической. То есть я понимал, что знания свойств треугольников останутся для меня лишь теорией, написанной на бумаге, если я сам не смогу применить эти знания непосредственно в жизни. А поспособствовала этому самая обычная … прогулка в лесу.

Этим летом мне довелось побывать на отдыхе в хвойном лесу, где мы с моим отцом познакомились со старым лесничим. У нас произошёл интересный разговор о природе, животных, хвойных деревьях. Но больше всего мне запомнилось то, как лесничий, стоя возле огромной сосны, измерял её высоту каким-то маленьким карманным прибором. Я ожидал, что после того, как хранитель леса нацелился своим прибором в вершину дерева, он начнёт тут же взбираться на него. Но каково же было моё изумление, когда он положил свой прибор в карман и объявил, что измерение окончено!

Этот случай заставил меня задуматься: как же человек определяет высоту дерева, не срубая его и не взбираясь на его верхушку? И я начал искать. Оказалось, что существует множество различных способов производить подобные измерения при помощи простых приборов и способы эти известны человечеству давно.

Самый лёгкий и известный способ тот, которым греческий учёный Фалес воспользовался для определения высоты египетских пирамид – он воспользовался её тенью. Предание гласит, что Фалес выбрал день и время, когда длина собственной его тени равнялась его росту. В этот момент высота пирамиды тоже должна была равняться длине отбрасываемой ею тени.

Далее, обратясь к литературе, я обнаружил, что существуют и другие способы измерения высоты. Меня интересовало применение знаний геометрии на открытом воздухе, когда, например, человек не может воспользоваться какими-то измерительными приборами, какими бы он мог воспользоваться в своём кабинете. И я нашёл несколько примеров (удивительно!), описанных в произведениях художественной литературы, с какими и хочу поделиться.

Задача 1. Измерение высоты дерева по Артуру Конан Дойлу

Всемирно известный писатель Артур Конан Дойлу был врачом.
Но он очень хорошо, видимо, знал геометрию. В рассказе “Обряд дома Месгрейвов” он описал, как Шерлоку Холмсу нужно было определить, где будут конец тени от вяза, который срубили. Он знал высоту этого дерева ранее. Шерлок Холмс так объяснил свои действия: “… я связал вместе два удилища, что дало мне шесть футов, и мы с моим клиентом отправились к тому месту, где когда-то рос вяз. Я воткнул свой шест в землю, отметил направление тени и измерил ее. В ней было девять футов.
Дальнейшие мои вычисления были уж совсем несложны. Если палка высотой в шесть футов отбрасывает тень в девять футов, то дерево высотой в шестьдесят четыре фута отбросит тень в девяносто шесть футов, и направление той и другой, разумеется, будет совпадать”.

Теперь обратимся к цифрам.

Для того, чтобы измерить высоту дерева BD, приготовили прямоугольный треугольник АВ₁C₁ с углом А = 45^о и, держа его вертикально, отошли на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы АВ₁, увидели верхушку дерева В. Какова высота дерева, если расстояние
АС = 5,6м, а высота человека 1,7м?

Дано:

• А В₁С_1,
  С=90^о,
  А = 45^о.
  АС=5,6м
  h человека = 1,7м.

Найти: BD

Решение:

1) Так как  А общий для обоих треугольников, а  АС₁В₁ и  АСВ (по условию) прямые (то есть равны по 90^о), то  АС₁В₁ и  АСВ – подобные (по признаку подобия о 2-х углах).
2) Тогда  АВ₁C₁ =  АВС = 45^о, = ВС = АС = 5,6м, но к получившейся длине мы должны еще прибавить рост человека, то есть длина дерева DB = 7,3м.

Ответ: 7,3м.

Задача 2. Измерение высоких предметов по Жулю Верну

Известный роман Жуля Верна «Таинственный остров» имеет не только интересный, захватывающий сюжет, но и достаточно много математических рассуждений. В этом романе картинно описан один из способов измерения высоких предметов:

– Сегодня нам надо измерить высоту площадки дальнего вида, - сказал инженер.
– Вам понадобится для этого инструмент? – спросил Герберт.
– Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу.

Взяв прямой шест, футов 12 длиной, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был ему хорошо известен. Герберт же нёс за ним отвес: просто камень, привязанный к концу верёвки.

Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса. Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно пометил колышком.
– Тебе знакомы начатки геометрии? – спросил он Герберта, поднимаясь с земли.
–Да.
–Помнишь свойства подобных треугольников?
– …Если мы измерим два расстояния: расстояние от колышка до основания шеста и расстояние от колышка до основания стены, то, зная высоту шеста, сможем вычислить четвёртый, неизвестный член пропорции, т. е. высоту стены.

Покажем в цифрах.

Решение

Оба горизонтальных расстояния были измерены: меньшее равнялось 15 футам, большее – 500 футам. После измерений инженер оставил такую запись:

15: 500 = 10: х;

500 = 5000;

5000: 15 = 333,3

Ответ: высота гранитной стены равнялась 333 футам

Задача 3. Что увеличивается быстрее по Николаю Гоголю: высота поднятия или дальность горизонта?

Многие думают, что с возвышением наблюдателя горизонт тоже возрастает необычайно быстро. Так думал и Н.В. Гоголь, писавший следующее в своей статье «Об архитектуре нашего времени»:
«Башни огромные, колоссальные, необходимы в городе…У нас обыкновенно ограничиваются высотой, дающей возможность оглядеть один только город, между тем как для столицы необходимо видеть, по крайне мере на полтораста вёрст во все стороны, и для этого, может быть, один только или два этажа лишних, – и всё изменяется. Объём кругозора по мере возвышения распространяется необыкновенною прогрессией» (1 верста составляет 1,0668 км, 150 верст – 160 км)

Так ли в действительности?

Решение

Рассмотрим формулу:  ,

где l – дальность горизонта, R – радиус земного шара (» 6400 км), h – возвышение глаза наблюдателя над земной поверхностью.

Из формулы видно, что дальность горизонта растёт медленнее, чем высота поднятия: она пропорциональна квадратному корню из высоты.  Когда возвышение наблюдателя увеличивается в 100 раз, горизонт отодвигается всего только в 10 раз дальше.

Поэтому ошибочно утверждать, что «один только или два этажа лишних, - и всё изменяется».Что же касается идеи сооружения башни, с которой можно было бы видеть, «по крайне мере, на полтораста вёрст», т.е. на 160 км, то она совершенно несбыточна. Н.В.Гоголь, конечно, не подозревал, что такая башня должна иметь огромную высоту, равную 2 км.

Это высота большой горы.

Как видим, геометрия – это не просто наука о свойствах фигур. Геометрия – целый мир, который окружает нас с самого рождения, ничто не ускользает от её внимательного взгляда. Знание этой науки помогает нам думать и делать выводы, идти по миру смело и уверенно, с широко открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей.

V. ВЫВОДЫ

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия». Эти слова, сказанные великим французским архитектором Ле Корбюзье, в начале ХХ века, очень точно характеризуют и наше время. При работе над проектом я увидел, что геометрия связана с другими учебными дисциплинами, такими как история, мифология, литература, география, астрономия, физика, химия, религиоведение. Мне было интересно анализировать ответы одноклассников, отстаивать свое мнение, видеть красоту обычных вещей и внимательно смотреть вокруг, находить, систематизировать информацию и выделять значимое.

Надеюсь, что моя работа заинтересует вас. Считаю, что этот проект поможет учащимся лучше ориентироваться в математике, открывать новое, понимать красоту, мудрость окружающего мира. И тогда вы сможете увидеть, что понятия не изолированы друг от друга, а представляют определённую систему знаний, все звенья которой находятся во взаимной связи.

ЛИТЕРАТУРА

1. http://lady.pravda.ru/articles/love/17-02-2012/8145-lovetriangle/

2. http://wictoria.ru/post/1658/relations-znamenitye-lyubovnye-treugolyniki

3.http://lady.pravda.ru/articles/love/17-02-2012/8145-lovetriangle/

4. http://festival.1september.ru/articles/608317/

5. http://origamimod.blogspot.ru/2011/06/blog-post_5411.html

6.http://zdravyshka.ru/Poleznye-sovety/Eto-interesno/psixologicheskij-test-qgeometricheskie-figuryq.html

7. http://www.ta1.ru/home/geometriya/treygolnik/