Методические указания по выполнению самостоятельных работ по дисциплине «математика»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ЛЫСЬВЕНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

ЦИКЛОВАЯ КОМИССИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ И ОБЩИХ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН ПО ПОДГОТОВКЕ КВАЛИФИЦИРОВАННЫХ РАБОЧИХ И СЛУЖАЩИХ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«МАТЕМАТИКА»

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЯ

Лысьва 2016

РАССМОТРЕНО Цикловой комиссией математических и общих естественнонаучных дисциплин по подготовке квалифицированных рабочих и служащих Председатель ЦК ___________ Л.Л. Тизякова «18 »октября 2016 г. Методист ___________ Н.А. Башева «18 »октября 2016 г.

Разработаны на основе Примерной программы учебной дисциплины «Математика» для профессий среднего профессионального образования, ФГУ «ФИРО» Минобрнауки России, 2008. УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора по УПР ППКРС _________Л.Б. Заводчикова «18 »октября 2016 г.

Методические указания по выполнению контрольных работ по дисциплине «Математика», 2016.

В методических указаниях по выполнению самостоятельной работы изложены этапы и требования, предъявляемые к данному виду работ. Приведен список литературных источников.

Методические указания разработаны в соответствии с требованиями ФГОС СПО.

Составители: преподаватели математики А.А. Резникова, Л.Л.Тизякова

Оглавление

Введение 4

Глава 1. Определение производной. 7

1.1 Приращение аргумента. 7

1.2 Производная 9

Задания для самостоятельного решения: 10

Глава 2. Применения производной. 11

2.1 Физический смысл производной. 11

2.2 Геометрический смысл производной. 13

Задания для самостоятельного решения: 16

2.3 Возрастание и убывание функции. Экстремумы. 17

2.4 Наибольшее и наименьшее значения функции 20

Задания для самостоятельного решения: 22

Глава 3. Задания для внеаудиторной самостоятельной работы. 24

ПРИЛОЖЕНИЯ 27

Литература 28

Введение

Тема «Производная и ее применение» является одним из основных разделов начал математического анализа.

Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д., так как механический смысл производной — это мгновенная скорость. Актуальность темы «Производная и ее применение» следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке, а между тем производная является мощным орудием исследования функций.

Производная — часть математической науки, одно из её звеньев. Производную применяют для исследования функции и построения ее графика, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции. С помощью производной можно упрощать алгебраические и тригонометрические выражения, раскладывать на множители, доказывать тождества и неравенства и, даже, решать вопрос о существовании корней квадратного уравнения.

Производная нужна также и в экономике. В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин. Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Можно сделать вывод, что производная — одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.  

Данное учебно-методическое пособие разработано с целью оказания помощи студентам при самостоятельной работе над разделом «Производная и её применения», в первую очередь над материалом практического характера.

Задачи:

закрепить и систематизировать знания студентов, полученные во время аудиторных занятий, самостоятельно овладеть новым учебным материалом.

Данное пособие составлено в соответствии с рекомендациями по планированию и организации самостоятельной работы студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования. Оно содержит краткое изложение теоретического материала, сопровождающееся решениями примеров и задач, и предлагает задания для самостоятельной работы. Среди заданий есть как заимствованные из различных сборников задач, так и составленные нами. Учебно-методическое пособие содержит приложение, которое включает в себя варианты для индивидуальных самостоятельных работ.

Выполненная и аккуратно оформленная работа сдается на проверку преподавателю по графику, утвержденному учебным планом. Без контрольной работы студент к зачету, экзамену не допускается.

Критерии оценки работы: работа оценивается по полноте и качеству изложения материала, правильности ответов на тестовое задание и решения задач.

Решение задач должно быть приведено в полном объеме, включая все необходимые для получения правильного ответа преобразования. В том случае, если решение приведено не в полном объеме или из данного решения не следует правильный ответ, задача не будет зачтена.

Глава 1. Определение производной. 1.1 Приращение аргумента.

Путь x – аргумент функции  f(x) и  - малое число, отличное от нуля.

Окрестностью точки называется интервал, содержащий данную точку.

𝑥 - произвольная точка окрестности точки .

Разность 𝑥- называется приращением независимой переменной (аргумента) в точке .

-приращение аргумента в точке (читается «дельта икс»);

;

На рисунке показано изменение аргумента от значения x до значения    (отсюда видна суть названия «приращение» аргумента).

При переходе от значения аргумента  к   значения функции изменяются соответственно от  до  при условии монотонности функции на отрезке .

Разность   называют приращением функции , соответствующем данному приращению аргумента.На рисунке приращение функции показано синей линией.

Пример 1: Найти приращения   и в точке , если , ,

Решение:

1)

2)

3)

4)

Ответ: ,

Пример 2: Найти приращение функции в точке , если приращение аргумента равно

Решение:

1) Из равенства выразим

2)

3)

4)

Ответ:

1.2 Производная

Пусть задана функцияв окрестности точки . Дадим приращение аргумента . Возникнет приращение функции . Рассмотрим частное и предел этой дроби при . Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке , а сам предел называется производной этой функции в точке .

Производная обозначается , , и др.

Производная для функции может существовать и не существовать. Если производная существует в каждой точке некоторого промежутка, то функция называется дифференцируемой на этом промежутке.

Для нахождения производной используются следующие формулы и правила дифференцирования:

Таблица производных

1. 

2. -любое число

3. 

4. 

5. 

6. 

9. 

10. 

11. 

12. 

1. Пример 1:

2. Найти производные следующих функций:

3. а)

5. б)

7. в)

10. г)

12. д)

14. Задания для самостоятельного решения:

15. 1) Найдите приращение функции в точке , если

16. а) , ,

17. б) , ,

18. в) , ,

19. 2) Найдите производные следующих функций:

1. 1. 2 + 3𝓍

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

6. 6.

7. 7.

8. 8.

9. 9.

10. 10.

11. 11.

12. 12.

13. 13.

14. 14.

15. 15.

16. 16.

17. 17.

18. 18.

19. 19.

20. 20.

21. 21.

22. 22.

23. 23.

24. 24.

25. 25.

26. 26.

27. 27.

28. 28.

1. Глава 2. Применения производной.
2. 2.1 Физический смысл производной.

3. Представьте, что вы летите в самолёте и у вас на руке часы. Когда вы летите, вы ведь имеете скорость равную скорости самолёта? А какая скорость у вас и у самолёта в каждый момент времени на ваших часах?Скорость, равная скорости самолёта?

4. Не совсем так. Скорость, как физическое понятие, это путь самолёта, пройденный за единицу времени (например, за час (км/час)), а у вас, когда вы взглянули на часы, прошло только мгновение. Таким образом,мгновенная скорость (величина пути, пройденного за мгновение) и есть производная величина от функции, описывающей путь самолёта по времени.

5. Применительно к закону движения производная есть скорость. В этом состоит физический смысл производной.

6. 

7. Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени . А производная от этой функции называется ускорением движения.

8. 

9. Пример 1:

10. Точка движется прямолинейно по закону . Найдите её скорость в момент времени . Координатаизменяется в сантиметрах, время - в секундах.

11. Решение:

12. 

13. 

14. Подставим значение в полученную производную

15. (см/с)

16. Ответ: (см/с)

18. Пример 2:

19. Точка движется прямолинейно по закону . Найдите момент времени , когда точка остановится и ускорение точки в этот момент времени. Координатаизменяется в сантиметрах, время - в секундах.

20. Решение:

21. 

23. По условию задачи нужно найти момент времени, когда точка остановится. Значит, скорость точки в этот момент времени будет равна нулю. Поэтому нужно решить уравнение

24. 

25. Решая его, получим и

26. Второй корень не удовлетворяет условию задачи.

27. 2)

28. 

30. Ответ: ;

31. 2.2 Геометрический смысл производной.

32. В геометрических терминах производная –это угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла наклона касательной к графику функции к оси Ох.

33. Касательной к графику дифференцируемой в точке функции называется прямая, проходящая через точку ( и имеющая угловой коэффициент .

36. – уравнений касательной к графику функции в точке .

37. Чтобы составить уравнение касательной к графику функции, нежно:

1. Найти значение функции в точке

2. Найти производную .

3. Найти значение производной в точке .

4. Числа, полученные в пунктах 1 и 3 и значение подставить в уравнение касательной.

1. Пример 1:

2. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через точку К (3; 7) графика функции .

3. Решение:

2. Так как дана точка К (3; 7), то . Найдем значение производной в точке

2. Ответ: .

4. Пример 2:

5. Составьте уравнение касательной к графику функции

6. в точке

7. Решение:

1. ;

3. ;

1. 

2. 

3. 

4. Ответ:

5. Пример 3:

6. Составить уравнение касательной к графику функции

7. в точке с абсциссой .

8. Решение:

1. ;

2. ;

3. ;

2. 

3. 

4. 

5. Ответ:

6. Задания для самостоятельного решения:

7. 1. Точка движется по прямой по закону s(t) = t² – 5t + 3. Найдите _ср. на промежутке [4; 6].

8. 2. Точка движется по координатной прямой по закону s(t) = t² +10t – 7. Найдите _мгн.(3).

9. 3. Вращение точки вокруг оси совершается по закону (t) = t³ + 12 t² +7 t, где (t)- угол (рад), t – время (с). Известно, что ускорение α в некоторый момент времени t₀ равно 9. Найдите t₀.

10. 4. Напишите уравнение касательной к графику функции (𝓍) = в точке с абсциссой 𝓍 ₀ = 1

11. 5. К графику функции = проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой 𝓍 ₀ = - 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается данной функции.

12. 6. Напишите уравнение касательной к графику функции , если эта касательная проходит через точку (0;4) и абсцисса точки касания положительна.

13. 2.3 Возрастание и убывание функции. Экстремумы.

14. Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика.

15. Определение возрастающей функции.

16. Функция возрастает на интервале X, если для любых  и , выполняется неравенство Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

17. Определение убывающей функции.

18. Функция убывает на интервале X, если для любых   и  , выполняется неравенство Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

19. Точка называется точкой максимума функции , если для всех из её окрестности справедливо равенство . Значение функции в точке максимума называется максимумом функции. Обозначается: .

20. Точка называется точкой минимума функции , если для всех из её окрестности справедливо равенство . Значение функции в точке минимума называется минимумом функции. Обозначается: .

21. На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

22. Достаточное условие возрастания функции.

23. Если производная функции   положительна для любого  из интервала X, то функция возрастает на X.

24. Достаточное условие убывания функции.

25. Если производная функции  отрицательна для любого  из интервала X, то функция убывает на X.

26. Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

1. Найти область определения функции

2. Найти производную ;

3. Найти критические точки функции, где:

1. а) б)не существует

1. Отметить критические точки и область определения функции на числовой прямой;

2. Найти знак производной на каждом из полученных промежутков, сделать вывод о возрастании, убывании и наличии экстремумов.

1. Пример 1:

2. Найти критические точки функции .

3. Решение:

2. 

3. Критические точки функции, где:

1. а) б)не существует

2. таких точек нет

3. 

4. Ответ:.

5. Пример 2:

6. Исследовать функцию на возрастание, убывание и экстремумы.

7. Решение:

8. 1)

9. 2)

11. 3) Критические точки функции, где:

12. а) б)не существует

13. 

14. 

15. 

3. 

4. При функция возрастает;

5. При функция убывает.

6. 2.4 Наибольшее и наименьшее значения функции

7. Решение практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

8. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [𝑎;𝑏]:

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную

3. Найти критические точки функции, где: а) б) не существует

1. Выбрать из них те, которые принадлежат отрезку [𝑎;𝑏].

1. Найти значение функции в критических точках и на концах отрезка, из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее значения функции.

1. Пример 1:

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

3. Решение:

2. 

3. Критические точки функции, где:

1. а) б)не существует

2. таких точек нет

3. 

4. 

5. 

6. 

8. 

4. 

5. 

6. 

7. Пример 2:

8. Представьте число 52 в виде суммы трёх положительных слагаемых так, чтобы сумма квадратов всех слагаемых была наименьшей, а отношение первого числа ко второму было равно 1:3.

9. Решение:

10. Пусть - первое слагаемое, - второе слагаемое, тогда - третье слагаемое.

11. Составим функцию ,

15. 

16. 

    

    

    +

17. 

    

    8

18. – точка минимума

19. 8 – первое слагаемое

20. – второе слагаемое

21. - третье слагаемое

22. Ответ:

23. Задания для самостоятельного решения:

1. Исследуйте на возрастание, убывание и экстремумы функции:

1. а) ;

2. б) ;

3. в) ;

4. г) .

1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

3. Число 42 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых так. Чтобы отношение первого числа ко второму было равно 3:4, а произведение всех трех чисел было наибольшим.

4. Произведение трех последовательных членов геометрической прогрессии с отрицательным  знаменателем равно 343. Найдите наибольшую сумму этих трех членов среди всех прогрессий, обладающих указанными свойствами.

5. Участок в форме прямоугольника площадью 800 огорожен с трех сторон забором. Найдите наименьшую длину забора.

6. Периметр параллелограмма с острым углом 30˚ равен 4. Найти максимально возможное значение площади параллелограмма.

7. В пирамиде SABC  ребра SA и BC образуют угол 60˚, SA=4,  BC=6√3. Найдите наименьшую площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной SA и BC.

8. Определите наименьшую суммарную длину всех ребер прямоугольного параллелепипеда, полная поверхность которого равна 600 см², если основание его является квадратом.

1. Глава 3. Задания для внеаудиторной самостоятельной работы.

1. Производная.

1. 1 вариант

1. Найдите производную функции:

1. а) ;

2. б) ;

3. в) ;

4. г) 𝑔(𝓍)=.

1. Вычислите производные функции в точках .

2. Решите уравнение и неравенство для функции .

4. 2 вариант

1. Найдите производную функции:

1. а) ;

2. б) ;

3. в) ;

4. г) 𝑔(𝓍)=.

1. Вычислите производные функции в точках.

2. Решите уравнение и неравенство для функции .

1. Применения производной.

1. Вариант 1

1. Решите неравенство методом интервалов.

2. Исследуйте на возрастание, убывание и экстремумы функции:

1. а)

2. б)

3. в)

4. 3. Точка движется прямолинейно по закону . Найдите момент времени , когда скорость точки будет равна 18. Координата изменяется в сантиметрах, время - в секундах.

5. 4. Найдите угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой .

6. 5. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

7. 6.Разбейте число 10 на два неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих слагаемых была наименьшей.

9. Вариант 2

1. Решите неравенство методом интервалов.

2. Исследуйте на возрастание, убывание и экстремумы функции:

1. а) 2 + 3𝓍

2. б)

3. в)

1. Точка движется прямолинейно по закону . Найдите её скорость в момент времени . Координата изменяется в сантиметрах, время - в секундах.

2. Найдите угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой .

3. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

4. Разбейте число 18 на два неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата первого слагаемого и второго слагаемого было наибольшим.

10. ПРИЛОЖЕНИЯ

11. Приложение 1

12. Образец титульного листа

14. ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

15. «ЛЫСЬВЕНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

19. ЦИКЛОВАЯ КОМИССИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ И ОБЩИХ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН ПО ПОДГОТОВКЕ КВАЛИФИЦИРОВАННЫХ РАБОЧИХ И СЛУЖАЩИХ

21. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

22. по дисциплине «МАТЕМАТИКА»

24. ВАРИАНТ 1

25. Работу выполнил: студент ___ гр.	_____________ Сидоров С.Д. подпись, дата
    Работу проверил: преподаватель	_____________ Иванов В.В. подпись, дата

26. Оценка: _______________

28. Лысьва 2016

29. Литература

1. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 кл. Колмогоров А.Н. и др.22-е изд. - М.: Просвещение, 2013

2. А.Ф.Кожарин «Алгебра и геометрия» Методика и практика преподавания. – Ростов – на - Дону: Феникс, 2002.

3. Т.Л.Афанасьева «Алгебра и начала анализа 11 кл.»: Поурочные планы к учебнику А.Н.Колмогорова и др. – Волгоград: Учитель, 2007.

4. http://www.book.ru/

5. http://uchebnik.epamp.ru/

8