Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы. Предмет: математика.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ЛЫСЬВЕНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы

для профессий технологического и естественнонаучного профилей

Лысьва, 2021

Методические указания по выполнению самостоятельных работ по дисциплине «Математика», 2021.

В методических указаниях по выполнению самостоятельной работы изложены этапы и требования, предъявляемые к данному виду работ.

Методические указания разработаны в соответствии с требованиями ФГОС СПО.

Разработчик: А.А. Резникова, преподаватель математики

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 5

Глава 1. Тригонометрия 7

Тема 1.1 Радианная мера угла 7

Тема 1 2. Тригонометрические функции числового аргумента. 8

Тема 1.3 Основные тригонометрические тождества. 13

Тема 1.4 Формулы приведения. 14

Тема 1.5 Формулы сложения. 15

Тема 1.6 Формулы двойного угла. 16

Тема 1.7 Формулы суммы и разности тригонометрических функций. 17

Глава 2. Тригонометрические уравнения. 18

Тема 2.1 Простейшие тригонометрические уравнения 18

Тема 2.2 Основные методы решения тригонометрических уравнений. 20

Задания для самостоятельного решения 24

Глава 3. Определение производной. 26

Тема 3.1 Приращение аргумента. 26

Тема 2.2 Производная 28

Задания для самостоятельного решения: 29

Глава 4. Применения производной. 30

Тема 4.1 Физический смысл производной. 30

Тема 4.2 Геометрический смысл производной. 32

Задания для самостоятельного решения: 34

Тема 4.3 Возрастание и убывание функции. Экстремумы. 34

Тема 4.4 Наибольшее и наименьшее значения функции 37

Задания для самостоятельного решения: 39

Глава 5. Комбинаторика 40

Тема 5.1 Элементы комбинаторики 40

Тема 5.2 Факториал 42

Тема 5.3 Размещения 43

Тема 5.4 Перестановки 45

Тема 5.5 Сочетания 47

Глава 6. Логарифмы и их свойства 48

Тема 6.1 Понятие логарифма 48

Тема 6.2 Свойства логарифмов 49

Глава 7. Логарифмическая функция 51

Глава 8. Логарифмические уравнения 55

Глава 9. Логарифмические неравенства 60

Введение

ФГОС ориентированы преимущественно не на сообщение студенту комплекса теоретических знаний, а на выработку у них компетенций – динамического набора знаний, умений, навыков и личностных качеств, которые позволят выпускнику стать конкурентоспособным на рынке труда и успешно профессионально реализовываться в широком перечне профессий. И, без устойчивых навыков к самостоятельному выполнению учебных заданий у выпускника вряд ли смогут сформироваться навыки системно - деятельностного характера, социального взаимодействия, самоорганизации.

Таким образом, воспитание компетентностной личности, ориентированной на будущее, способной решать типичные проблемы и задачи исходя из приобретенного учебного опыта и адекватной оценки конкретной ситуации невозможно без повышения роли внеаудиторной самостоятельной работы студентов над учебным материалом, усиление ответственности преподавателя за развитие навыков самостоятельной работы у студентов.

Одним из наиболее сложных разделов математики является тригонометрия.

Данное учебно-методическое пособие разработано с целью оказания помощи студентам при самостоятельной работе нал разделом «Тригонометрия», в первую очередь над материалом практического характера.

Задачи:

закрепить и систематизировать знания студентов, полученные во время аудиторных занятий, самостоятельно овладеть новым учебным материалом.

Данное пособие составлено в соответствии с рекомендациями по планированию и организации самостоятельной работы студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования. Оно содержит краткое изложение теоретического материала, сопровождающееся решениями примеров и задач, и предлагает задания для самостоятельной работы. Среди заданий есть как заимствованные из различных сборников задач, так и составленные нами. Учебно-методическое пособие содержит приложение, которое включает в себя варианты для индивидуальных самостоятельных работ.

Выполненная и аккуратно оформленная работа сдается на проверку преподавателю по графику, утвержденному учебным планом. Без контрольной работы студент к зачету, экзамену не допускается.

Критерии оценки работы: работа оценивается по полноте и качеству изложения материала, правильности ответов на тестовое задание и решения задач.

Решение задач должно быть приведено в полном объеме, включая все необходимые для получения правильного ответа преобразования. В том случае, если решение приведено не в полном объеме или из данного решения не следует правильный ответ, задача не будет зачтена.

Глава 1. Тригонометрия

Тема 1.1 Радианная мера угла

Окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1, называется единичной.

А - начальная точка. Радиус ОА повернули на . Получили радиус ОВ. называется углом поворота.

При повороте против часовой стрелки угол поворота считают положительным, при повороте по часовой стрелке – отрицательным.

Каждому углу сопоставлена его радианная мера.

Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, на которую опирается угол, к длине радиуса окружности.

1 рад.

Пример 1:

Выразить в градусной мере:

а) 4,5 рад.

б)

Пример 2:

Выразить в радианной мере

Тема 1 2. Тригонометрические функции числового аргумента.

В данной лекции рассмотрим тригонометрические функции числового аргумента. Многие вопросы математики, механики, физики и других наук приводят к тригонометрическим функциям не только угла (дуги), но и аргументов совершенно различной природы (длина, время, температура и т. д.).

До сих пор под аргументом тригонометрической функции понимался угол, измеренный в градусах или радианах. Теперь мы обобщим понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса, введя их как функции числового аргумента.

Синусом угла называется отношение ординаты точки единичной окружности к длине радиуса.

Косинусом угла называется отношение абсциссы точки единичной окружности к длине радиуса.

Тангенсом угла называется отношение ординаты точки единичной окружности к её абсциссе.

Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки единичной окружности к её ординате.

Тригонометрическими функциями числового аргумента 𝑥 называются одноименные тригонометрические функции угла, равного 𝑥 радианам.

Рассмотрим некоторые свойства тригонометрических функций. Выясним, какие знаки имеют тригонометрические функции в каждой из координатных четвертей.

Так как и , то знак зависит от знака 𝑦, а знак зависит от знака 𝑥.

Так как , , то знаки и зависят от 𝑥 и 𝑦.

При прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же четверти.

Пример 1. Определите знак выражения:

Решение:

1. , то есть угол является углом II четверти, синус во второй четверти положителен, поэтому .

2. , то есть угол является углом IV четверти, косинус в четвертой четверти положителен, поэтому

3. , , то есть угол является углом III четверти, синус в третьей четверти отрицателен, поэтому .

4. , то есть угол является углом II четверти, тангенс во второй четверти отрицателен, поэтому

5. , , то есть угол является углом I четверти, котангенс в первой четверти положителен, поэтому .

Значения тригонометрических функций

некоторых углов

Пример 2. Вычислите:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Рассмотрим формулы, выражающие зависимость между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов.

Итак, синус, тангенс и котангенс являются нечётными функциями, а косинус является чётной функцией.

Рассмотрим ещё одно свойство.

Если при повороте радиуса ОА на угол получен радиус ОВ, то тот же радиус получится при повороте ОА на угол, отличающийся от на целое число оборотов. Таким образом, при прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же четверти.

Например:

Рассмотренные свойства позволяют свести нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к нахождению их значений для неотрицательного угла, меньшего 360 .

Пример 3. Найдите значение выражения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6)

.

Тема 1.3 Основные тригонометрические тождества.

Рассмотрим, как связаны между собой синус и косинус одного и того же угла.

, , где 𝑥- абсцисса точки единичной окружности, 𝑦 её ордината. Отсюда находим и

Так как точка принадлежит окружности с центром в начале координат, то её координаты удовлетворяют уравнению .

Подставим в это уравнение вместо 𝑥 и 𝑦 выражения и , получим:

/:

(1)

Это равенство верно при любых значениях .

По определению , . Так как и , то

и

Таким образом,

(2)

(3)

Из равенств (2) и (3) следует, что

(4)

Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между тангенсом и косинусом, а также между котангенсом и синусом.

Разделив обе части равенства (1) на , получим:

(5)

Если обе части равенства (1) разделить на , то будем иметь:

(6)

Равенства (1) (6) называют основными тригонометрическими тождествами.

Тема 1.4 Формулы приведения.

Тригонометрические функции углов вида ; ; могут быть выражены через функции угла с помощью формул, которые называются формулами приведения.

Для углов ; название функции изменяется на кофункцию. Для углов ; название функции сохраняется. Знак определяется по четверти исходной функции.

Пример:

сохр.

а)

III четв

изм.

б)

IV четв

сохр. сохр.

в) .

I четв II четв

Тема 1.5 Формулы сложения.

Рассмотрим формулы, выражающие тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.

Косинус суммы двух углов равен разности произведения косинусов этих углов и произведения их синусов.

Косинус разности двух углов равен сумме произведения косинусов этих углов и произведения их синусов.

Синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса первого угла на косинус второго и синуса второго угла на косинус первого.

Синус разности двух углов равен разности произведений синуса первого угла на косинус второго и синуса второго угла на косинус первого.

Пример 1:

Вычислить:

.

Пример 2:

Упростить выражение:

.

Тема 1.6 Формулы двойного угла.

Формулы сложения позволяют выразить , и через тригонометрические функции угла . Предположим, что в формулах

и

. Получим тождества:

Пример:

Упростить выражение:

а)

б)

Тема 1.7 Формулы суммы и разности тригонометрических функций.

Сумму и разность синусов и косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций.

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

Разность косинусов двух углов равна взятому со знаком «минус» удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.

Пример:

а)

б)

Глава 2. Тригонометрические уравнения.

Тема 2.1 Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения вида

Рассмотрим, при каких значениях   тригонометрические уравнения разрешимы и как правильно находить все решения таких уравнений.

1.

Так как множество значений функции – отрезок

[-1;1], то данное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда .

Из-за периодичности функции , каждому значению соответствует бесконечное множество решений. Поэтому все решения описываются формулами:

или обобщенной формулой

Заметим, что

Пример 1. 

Решить уравнение  .

Решение:

Ответ:

2.

Данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда

Множество решений записывается в виде

Заметим, что .

Пример 2.

Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данных уравнений:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

3.

Данное уравнение разрешимо при любом 𝑎. Все решения задаются формулой

.

Заметим, что  .

Пример 3.

Решить уравнение  .

Решение:

Ответ:

Тема 2.2 Основные методы решения тригонометрических уравнений.

Любое тригонометрическое уравнение в процессе решения с помощью надлежащих преобразований должно быть приведено к простейшим. Наиболее часто при решении тригонометрических уравнений применяются следующие методы:

- разложение на множители;

- способ замены (сведение к алгебраическим уравнениям);

- сведение к уравнениям, однородным относительно и ;

- использование различных формул тригонометрии;

- равенство одноименных тригонометрических функций;

- введение вспомогательного аргумента.

При этом, как правило, в процессе решения тригонометрического уравнения приходится использовать не один, а несколько из указанных выше методов.

Пример 1.

Решение:

Данное уравнение решается способом замены переменной , .

Получим уравнение , решая его, находим и

– посторонний корень, так как .

Выполним обратную замену:

, откуда .

Ответ: .

Пример 2.

Рассмотрим уравнение .

Решение:

Заменим

Пусть , .

, решая его, находим и . Оба корня удовлетворяют условию .

Выполним обратную замену:

или

Ответ:

Пример 3.

Решение:

Разделим обе части уравнения на .

.

Пусть , тогда , откуда и .

Выполним обратную замену:

или

Ответ:

Пример 4.

Решение:

Применим формулу

Вынесем за скобки общий множитель

или

Ответ:

Пример 5.

Решение:

Применим формулу

или

/:21 /:4

Ответ:

Пример 9.

Решение:

В левой части уравнения применим формулу

/:3

Ответ:

Задания для самостоятельного решения

1. Преобразование тригонометрических выражений

Вариант 1

1. Вычислите:

а)

б) .

1. Упростите выражение:

а)

б) ;

в) .

1. Докажите тождество:

2. Упростите выражение:

а) ;

б)

Вариант 2

1. Вычислите:

а)

б) .

1. Упростите выражение:

а)

б) ;

в) .

1. Докажите тождество: .

2. Упростите выражение:

а) ;

б)

2. Решение тригонометрических уравнений

Вариант 1

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Вариант 2

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Глава 3. Определение производной.

Тема 3.1 Приращение аргумента.

Путь x – аргумент функции f(x) и - малое число, отличное от нуля.

Окрестностью точки называется интервал, содержащий данную точку.

𝑥 - произвольная точка окрестности точки .

Разность 𝑥- называется приращением независимой переменной (аргумента) в точке .

-приращение аргумента в точке (читается «дельта икс»);

;

На рисунке показано изменение аргумента от значения x до значения     (отсюда видна суть названия «приращение» аргумента).

При переходе от значения аргумента   к    значения функции изменяются соответственно от   до   при условии монотонности функции на отрезке  .

Разность   называют приращением функции , соответствующем данному приращению аргумента.На рисунке приращение функции показано синей линией.

Пример 1: Найти приращения   и в точке , если , ,

Решение:

1)

2)

3)

4)

Ответ: ,

Пример 2: Найти приращение функции в точке , если приращение аргумента равно

Решение:

1) Из равенства выразим

2)

3)

4)

.

Ответ:

Тема 2.2 Производная

Пусть задана функция в окрестности точки . Дадим приращение аргумента . Возникнет приращение функции . Рассмотрим частное и предел этой дроби при . Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке , а сам предел называется производной этой функции в точке .

Производная обозначается , , и др.

Производная для функции может существовать и не существовать. Если производная существует в каждой точке некоторого промежутка, то функция называется дифференцируемой на этом промежутке.

Для нахождения производной используются следующие формулы и правила дифференцирования:

Таблица производных

1. 

2. -любое число

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

Пример 1:

Найти производные следующих функций:

а)

б)

в)

г)

д)

Задания для самостоятельного решения:

1) Найдите приращение функции в точке , если

а) , ,

б) , ,

в) , ,

2) Найдите производные следующих функций:

1. 2 + 3𝓍

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

Глава 4. Применения производной.

Тема 4.1 Физический смысл производной.

Представьте, что вы летите в самолёте и у вас на руке часы. Когда вы летите, вы ведь имеете скорость равную скорости самолёта? А какая скорость у вас и у самолёта в каждый момент времени на ваших часах? Скорость, равная скорости самолёта?

Не совсем так. Скорость, как физическое понятие, это путь самолёта, пройденный за единицу времени (например, за час (км/час)), а у вас, когда вы взглянули на часы, прошло только мгновение. Таким образом, мгновенная скорость (величина пути, пройденного за мгновение) и есть производная величина от функции, описывающей путь самолёта по времени.

Применительно к закону движения производная есть скорость. В этом состоит физический смысл производной.

Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени . А производная от этой функции называется ускорением движения.

Пример 1:

Точка движется прямолинейно по закону . Найдите её скорость в момент времени . Координата изменяется в сантиметрах, время - в секундах.

Решение:

Подставим значение в полученную производную

(см/с)

Ответ: (см/с)

Пример 2:

Точка движется прямолинейно по закону . Найдите момент времени , когда точка остановится и ускорение точки в этот момент времени. Координата изменяется в сантиметрах, время - в секундах.

Решение:

По условию задачи нужно найти момент времени , когда точка остановится. Значит, скорость точки в этот момент времени будет равна нулю. Поэтому нужно решить уравнение

. Решая его, получим и

Второй корень не удовлетворяет условию задачи.

2)

Ответ: ;

Тема 4.2 Геометрический смысл производной.

В геометрических терминах производная –это угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла наклона касательной к графику функции к оси Ох.

Касательной к графику дифференцируемой в точке функции называется прямая, проходящая через точку ( и имеющая угловой коэффициент .

– уравнений касательной к графику функции в точке .

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции, нежно:

1. Найти значение функции в точке

2. Найти производную .

3. Найти значение производной в точке .

4. Числа, полученные в пунктах 1 и 3 и значение подставить в уравнение касательной.

Пример 1:

Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через точку К (3; 7) графика функции .

Решение:

1.

2. Так как дана точка К (3; 7), то . Найдем значение производной в точке

Ответ: .

Пример 2:

Составьте уравнение касательной к графику функции

в точке

Решение:

1. ;

2.

3. ;

4.

Ответ:

Пример 3:

Составить уравнение касательной к графику функции

в точке с абсциссой .

Решение:

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

Ответ:

Задания для самостоятельного решения:

1. Точка движется по прямой по закону s(t) = t² – 5t + 3. Найдите _ср. на промежутке [4; 6].

2. Точка движется по координатной прямой по закону s(t) = t² +10t – 7. Найдите _мгн.(3).

3. Вращение точки вокруг оси совершается по закону (t) = t³+12 t²+7 t, где (t)- угол (рад), t – время (с). Известно, что ускорение α в некоторый момент времени t₀ равно 9 . Найдите t₀.

4. Напишите уравнение касательной к графику функции (𝓍) = в точке с абсциссой 𝓍 ₀ = 1

5. К графику функции = проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой 𝓍 ₀ = - 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается данной функции.

6. Напишите уравнение касательной к графику функции , если эта касательная проходит через точку (0;4) и абсцисса точки касания положительна.

Тема 4.3 Возрастание и убывание функции. Экстремумы.

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика.

Определение возрастающей функции.

Функция возрастает на интервале X, если для любых и , выполняется неравенство Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция убывает на интервале X, если для любых и , выполняется неравенство Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Точка называется точкой максимума функции , если для всех из её окрестности справедливо равенство . Значение функции в точке максимума называется максимумом функции. Обозначается: .

Точка называется точкой минимума функции , если для всех из её окрестности справедливо равенство . Значение функции в точке минимума называется минимумом функции. Обозначается: .

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Достаточное условие возрастания функции.

Если производная функции  положительна для любого из интервала X, то функция возрастает на X.

Достаточное условие убывания функции.

Если производная функции отрицательна для любого из интервала X, то функция возрастает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

1) Найти область определения функции

2) Найти производную ;

3) Найти критические точки функции, где:

а) б) не существует

4) Отметить критические точки и область определения функции на числовой прямой;

5) Найти знак производной на каждом из полученных промежутков, сделать вывод о возрастании, убывании и наличии экстремумов.

Пример 1:

Найти критические точки функции .

Решение:

1. 

2. 

3. Критические точки функции, где:

а) б) не существует

таких точек нет

Ответ: .

Пример 2:

Исследовать функцию на возрастание, убывание и экстремумы.

Решение:

1)

2)

3) Критические точки функции, где:

а) б) не существует

4)

При функция возрастает;

При функция убывает.

Тема 4.4 Наибольшее и наименьшее значения функции

Решение практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [𝑎;𝑏]:

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную

3. Найти критические точки функции, где:

а) б) не существует

Выбрать из них те, которые принадлежат отрезку [𝑎;𝑏].

1. Найти значение функции в критических точках и на концах отрезка, из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее значения функции.

Пример 1:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение:

1)

2)

3) Критические точки функции, где:

а) б) не существует

таких точек нет

4)

Пример 2:

Представьте число 52 в виде суммы трёх положительных слагаемых так, чтобы сумма квадратов всех слагаемых была наименьшей, а отношение первого числа ко второму было равно 1:3.

Решение:

Пусть - первое слагаемое, - второе слагаемое, тогда - третье слагаемое.

Составим функцию ,

+

8

– точка минимума

8 – первое слагаемое

– второе слагаемое

- третье слагаемое

Ответ:

Задания для самостоятельного решения:

1. Исследуйте на возрастание, убывание и экстремумы функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

4. Число 42 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых так. Чтобы отношение первого числа ко второму было равно 3:4, а произведение всех трех чисел было наибольшим.

5. Произведение трех последовательных членов геометрической прогрессии с отрицательным знаменателем равно 343. Найдите наибольшую сумму этих трех членов среди всех прогрессий, обладающих указанными свойствами.

6. Участок в форме прямоугольника площадью 800 огорожен с трех сторон забором. Найдите наименьшую длину забора.

7. Периметр параллелограмма с острым углом 30˚ равен 4. Найти максимально возможное значение площади параллелограмма.

8. В пирамиде SABC ребра SA и BC образуют угол 60˚, SA=4, BC=6 . Найдите наименьшую площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной SA и BC.

9. Определите наименьшую суммарную длину всех ребер прямоугольного параллелепипеда, полная поверхность которого равна 600 см², если основание его является квадратом.

Глава 5. Комбинаторика

Тема 5.1 Элементы комбинаторики

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются за­дачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечно­го множества. В каждой из них требуется подсчитать число возмож­ных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами?».

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью сле­дующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.

Правило умножения (основной принцип): если из некоторого ко­нечного множества первый объект (элемент ) можно выбрать спо­собами и после каждого такого выбора второй объект (элемент ) мож­но выбрать способами, то оба объекта ( и ) в указанном порядке можно выбрать способами.

Этот принцип распространяется на случай трех и более объектов.

Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2,3,4,5, если:

а) цифры не повторяются?

б) цифры могут повторяться?

Решение:

а) Имеется 5 различных способов выбора цифры для первого места (слева в трехзначном числе). После того как первое место занято, на­пример, цифрой 2, осталось четыре цифры для заполнения второго места. Для заполнения третьего места остается выбор из трех цифр. Следовательно, согласно правилу умножения, имеется спо­собов расстановки цифр, т. е. искомое количество трехзначных чисел есть 60. (243, 541, 514, 132, ...)

б) Если цифры могут повторяться, то трехзначных чисел . (255, 333, 414, 111, ...)

Правило суммы. Если некоторый объект можно выбрать спосо­бами, а объект можно выбрать способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов ( или ), можно выбрать способами.

Это правило распространяется на любое конечное число объектов.

Пример 2. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколь­кими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

Решение:

По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14·13 = 182 способами, а двух юношей - 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студенток или двух юношей. Соглас­но правилу сложения таких способов выбора будет 182 + 30 = 212.

Решение вероятностных (и не только их) задач часто облегчается, если использовать комбинаторные формулы. Каждая из них опреде­ляет число всевозможных исходов в некотором опыте (эксперименте), состоящем в выборе наудачу элементов из различных элементов рассматриваемого множества.

Существуют две схемы выбора элементов из исход­ного множества: без возвращения (без повторений) и с возвращением (с повторением). В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно; можно отобрать сразу все элементов или последовательно отбирать их по одному. Во второй схеме выбор осуществляется поэле­ментно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге. Мы рассмотрим только первую схему.

Пусть дано множество, состоящее из различных элементов.

Тема 5.2 Факториал

Факториалом числа называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

Пример 3:

По определению полагают

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе. Факториал является чрезвычайно быстрорастущей функцией, он растет быстрее, чем многочлен любой степени.

Задания для самостоятельного решения.

1. Вычислить: 2!, 6!, 8!, 12!

Тема 5.3 Размещения

Размещениями из элементов по элементов на­зываются соединения, каждое из которых состоит из элементов, взятых из данных элементов. При этом размещения отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком.

Число размещений из элементов по элементов обозначается символом и вычисляется по формуле

… и 0!=1

Для составления размещения надо выбрать элементов из множества с элементами и упорядочить их, т. е. заполнить мест элементами множества. Первый элемент можно выбрать способами, т. е. на первое место можно поместить любой из элементов. После этого второй элемент можно выбрать из оставшихся элементов способами. Для выбора третьего элемента имеется способа, четвертого - способа и т.д.

Пример 3. Составить различные размещения по 2 из элементов мно­жества ; подсчитать их число.

Решение. Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: , , , , , . Согласно форму­ле (1) их число: = 3·2 = 6

Пример 4: Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4 так, чтобы цифры не повторялись?

Решение:

=

Задания для самостоятельного решения.

1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 4,5,6,7,8 так, чтобы цифра не повторялись?

2. Завучу школы из 8 предметов: алгебра, геометрия, информатика, физика, химия, ОБЖ, литература, физическая культура необходимо составить расписание на один день из 5 уроков. Сколькими способами можно это сделать?

3. Учащиеся шестых классов изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день так, чтобы 5 уроков были различными?

4. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти различных цветов?

5. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовить три различные детали по одной на каждого?

6. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различны и нечетны?

7. Из команды в 10 человек нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать?

8. Сколькими способами можно обозначить вершины четырехугольника, если даны буквы А,В,С,Д,Е,F?

9. Лифт, в котором 9 пассажиров, может останавливаться на 10 этажах. Пассажиры выходят группами в 2,3 и 4 человека. Сколькими способами можно это сделать?

10. Сколькими способами можно разложить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждом ящике не более одного письма?

11. Сколько сигналов можно подать 5 различными флажками, поднимая их в произвольном порядке и в любом количестве?

Тема 5.4 Перестановки

Перестановками из элементов называются раз­мещения из элементов по элементов, отличающиеся друг от друга лишь порядком элементов.

Число перестановок из эле­ментов обозначается символом и вычисляется по фор­муле

Пример 5. Составить различные перестановки из элементов мно­жества ; подсчитать их число.

Решение. Из элементов данного множества можно составить следующие пе­рестановки: (2,7,8); (2,8,7); (7,2,8); (7,8,2); (8,2,7); (8,7,2). По фор­муле (3) имеем: = 3! = 1·2·3 = 6.

Пример 6: Сколькими способами можно вписать в колонку фамилии 23 студентов?

Решение:

Пример 7: Сколько существует различных анаграмм слова

а) туман; б) мама?

Решение:

2. =6 (так как в слове мама встречаются две буквы «а» и две буквы «м»)

Задания для самостоятельного решения.

1. Сколькими способами можно вписать в колонку фамилии 30 учащихся?

2. Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7, 8, если все цифры различны?

3. Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, если среди них есть 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять радом?

4. У Атоса, Бортоса и Арамиса на всех имеется одна шпага, один кинжал и один пистолет. Сколькими способами можно распределить оружие так, чтобы все были вооружены?

5. Четыре лектора должны прочитать по одной лекции. Сколько вариантов составить расписание?

6. Капитан Жеглов рассматривает фотографии, всего их 9. Сколько существует вариантов рассмотрения?

7. У мамы есть 1 апельсин, 1 груша, 1 яблоко и 1 банан. Она хочет разделить их четверым детям так, чтобы каждому достался какой-нибудь фрукт. Сколько имеется вариантов это сделать?

8. Сколько существует различных анаграмм слова: а) ГРАФИК б) ИНТЕГРАЛ в) ФАКТОРИАЛ г) ПЕРЕСТАНОВКА д) КОМБИНАТОРИКА?

9. В конкурсе участвуют 8 школьников. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?

10. Сколькими способами можно составить маршрут путешествия через 7 городов?

11. Сколькими способами можно расставить на полке 10 различных книг?

Тема 5.5 Сочетания

Сочетаниями из элементов по элементов на­зываются соединения, каждое из которых состоит из элементов, взя­тых из данных элементов. Эти соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений, порядок следования элементов здесь не учитывается.

Число сочетаний из элементов по элементов обозначается сим­волом и вычисляется по формуле

Пример 8. Составить различные сочетания по 2 из элементов множества ; подсчитать их число.

Решение. Из трех элементов можно образовать следующие сочетания по два элемента: , , . Их число: .

Пример 9: В шахматном кружке занимаются 2 девочки и 7 мальчиков. Для участия в соревнованиях необходимо составить команду, в которую должна входить хотя бы одна девочка. Сколькими способами можно это сделать?

Решение:

1. 1девочка и 3 мальчика

=

=

2. 2 девочки и 2 мальчика

=

=

3. 70+21=91(сп)

Ответ: 91 способ составить команду, в которую будет входить хотя бы одна девочка

Глава 6. Логарифмы и их свойства Тема 6.1 Понятие логарифма

Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести число , чтобы получить число .

Логарифм числа по основанию 10 называется десятичным

Задание 1. Вычислить логарифмы:

1) , так как

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Тема 6.2 Свойства логарифмов

1.

2.

3. - основное логарифмическое тождество

4.

5.

6.

7.

8.

9. - формула перехода от одного основания к другому

Задание 2. Найти значение выражения:

1) (свойства 1, 8)

2)

3) (свойство 5)

4) (свойство 4)

5)

6) (свойства 5, 6, 9)

7) (свойство 3)

8)

9)

10)

Задания для самостоятельного решения

1. Вычислите логарифмы:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

2. Найдите значение выражения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Глава 7. Логарифмическая функция

Функция вида , где , называется логарифмической функцией.

Задание 1. Построить график функции ( )

				1	3	9	27

Задание 2. Построить график функции ( )

				1	3	9	27

Свойства логарифмической функции.

1. Область определения :	1. Область определения :
2. Множество значений :	2. Множество значений :
3. Возрастает на	3. Убывает на

Задание 3. Найти область определения функции

1. 

𝑥

1

Ответ:

2.

𝑥

10

-10

Ответ:

3.

Решим неравенство

Найдём точки, в которых числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль и отметим их на числовой прямой:

𝑥

8

-6,5

Изобразим решение системы на числовой прямой:

𝑥

8

-3

-4

𝑥

Ответ:

Задания для самостоятельного решения

1. Постройте графики функций и .

2. Найдите область определения следующих функций:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Глава 8. Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Способы решения:

1. По определению

Примеры:

1. 

Ответ:

2)

Ответ:

3)

Ответ:

2. Приведение к одному основанию.

Примеры:

1)

Ответ: .

2)

Ответ: .

3)

ОДЗ:

Ответ: .

4)

ОДЗ:

посторонний корень

Ответ: .

3. Потенцирование.

Потенцированием называется переход от логарифмического выражения к алгебраическому.

ОДЗ:

Примеры:

1)

ОДЗ:

Ответ: .

2)

ОДЗ:

посторонний корень

Ответ: .

4. Введение новой переменной.

Пусть , тогда . Выполнив замену, получим квадратное уравнение . Решим полученное уравнение:

и

Выполним обратную замену:

и

Ответ: , .

Задания для самостоятельного решения

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

Глава 9. Логарифмические неравенства

Неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

При логарифмическая функция возрастает при , поэтому данное неравенство равносильно системе (знак неравенства сохраняется):

При логарифмическая функция убывает при , поэтому данное неравенство равносильно системе (знак неравенства изменяется на противоположный):

Примеры:

1)

, , знак неравенства сохраняется

Ответ: .

2)

, знак неравенства сохраняется

.

Ответ: .

3)

, , знак неравенства изменяется на противоположный

12 18

Ответ: .

3)

, , знак неравенства сохраняется

Ответ:

4)

, , знак неравенства изменяется на противоположный

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения

1. Решите неравенства

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

75