Методические указания по самостоятельной работе по дисциплине «Математика» для студентов 2 курса специальнсти «Фармация»

	ЦМК ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ДИСЦИПЛИН
	УМК УД ЕН.02-Ф. УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

УТВЕРЖДАЮ

Зам. директора по УР

_________Е.Г.Ярандаева

«___»___________20___г

Методические указания по самостоятельной работе по дисциплине «Математика»

для студентов 2 курса отделения «Фармация»

Пояснительная записка

Данные методические указания предназначены для выполнения студентами внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика». В соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта по специальности «Фармация» самостоятельная работа студента является обязательной частью основной профессиональной образовательной программы, на нее отводится 50% времени от аудиторных занятий. В связи с этим, для получения итоговой оценки по дисциплине Вам необходимо подтвердить самостоятельное освоение дисциплины. Задания самостоятельной внеаудиторной работы выполняются в отдельной тетради и демонстрируется педагогу в начале практичиского занятия.

Тема 1. Дифференциальное исчисление.

Содержание темы. Рассмотрим некоторую последовательность, зависящую от натурального аргумента (а_п), например: (а_п)= х₁, х₂,х_3,х₄,х₅,…

п

Х 4 Х 2 X

Легко заметить, что при возрастании п члены последовательности все ближе подходят к значению А=2. Если вокруг этого значения выделить какую-то область радиусом  (-окрестность), то при некотором п х_п войдет в эту окрестность и уже не выйдет из нее, какой бы малой она ни была. Это и означает, что А - предел, к которому стремится последовательность (а_п).

Так что, если в некотором процессе изменение х„ та­ково, что в какой-то момент он попадает в  -окрестность числа А и не выходит из нее, то А - предел величины х_п:

lim х_п = А .

п—

Замечательные пределы.

Ряд достаточно часто встречающихся в практике пределов по историческим причинам получил название замечательных.

Первый замечательный предел: lim = lim =1

п—0 п—0

Второй замечательный предел lim (1 + ) ^х = е, е  2,7

п—

Производная и дифференциал функции.

1. Дифференцирование явных функций.

Пусть х₁ и х₂ – значения аргумента, у₁= f(x₁) и у₂= f(x₂) – значения функции,

х₂ - х₁ = ∆х – приращение аргумента, f(x₂) - f(x₁) = у₂ - у₁ = ∆у – приращение функции.

Определение: Производной от функции у= f(x) по аргументу х называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

у′ = lim или у′(х) = lim

^{∆х→0 ∆х→0} ∆x 0 Þ x₂ x₁

^{y T} M₂ M₁ Þ секущая M₁M₂ M₁T

^M₂ Ð a Ð φ

^y₂ Рассмотрим ∆М₁М₂С.

∆у Ð С = 90°

φ

y₁ M₁ α C tg α = Þ tg φ = lim = у′

^∆х→0

∆x

0 x₁ x₂ x

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции у= f(x) в точке х.

Физический смысл производной.

Производная есть скорость изменения функции в точке х.

Операция нахождения производной от данной функции называется дифференцированием.

Пример: Найти производные:

1. y=x² × e^x y′ = (x²)′ × e^x + x² × (e^x)′ = 2x × e^x + x² × e^x = x × e^x × (2 + x)

x² = u; e^x = v

(u × v ) ′ = u′ × v + u × v′

2. y = (2x³ + 5)⁴ y′ =((2x³ + 5)⁴)′ =4(2x³ + 5)³ × (2x³ + 5)′ =4(2x³ + 5)³× (6x² + 0)=

u = 2x³ + 5 =24x²(2x³ + 5)³

(u⁴ ) ′ = 4u³ × u′

₂

3. y = x^x

Основание и показатель степени зависят от х. Логарифмируя обе части, получим

ln y = x² × ln x. Продифференцируем обе части по х учитывая, что ln y – сложная

функция, а x² × ln x – произведение функций.

(ln y) ′ = 1/y × y′

(x² × ln x) ′ = (x²)′ × ln x + x² (ln x)′ = 2x × ln x + x² × 1/x = 2x ln x + x = x (2 ln x + 1)

1/y × y′ = x (2 ln x + 1) Þ y′/y = x ( 2 ln x + 1) Þy′ = y × x× (2 ln x + 1)

_{2 2 2}

т. к. y = x^x Þ y′ = x^x × x × (2 ln x + 1) = x^{x + 1} × (2 ln x + 1)

1. Дифференцирование неявных функций.

Пусть уравнение F(x, y) = 0 определяет у как неявную функцию от х . Продифференцировав по х обе части уравнения F(x, y) = 0, получим уравнение первой степени относительно у′. Из этого уравнения легко находится у′, т. е. производная неявной функции для всех х и у, при которых множитель при у′ в уравнении не обращается в нуль.

Пример: Найти производную у′_х из уравнения x² + y² = 4.

Т. к. у является функцией от х , то будем рассматривать у² как сложную функцию от х,

т.е. ( у²)′ = 2у × у′. Продифференцируем обе части этого уравнения по х, получим ( x² + y² )′ = (4)′ по x (x²)′ + (y²)′ = 4′

2x + 2y × y′ = 0 Þ y′ = Þ y′ =

3. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Пусть у есть функция от х , заданная уравнениями x = φ(t), y = f(t), тогда

y′_x = или = /

Пример: Найти y′ = , если x = t³ + 3t + 1, y = 3t⁵ + 5t³ + 1

Найдём : = 3t² + 3; = 15t⁴ + 15t²;

и тогда = 15t²(t² + 1)/3(t² + 1) = 5t²

1. Дифференциалы первого и высших порядков.

Определение: Дифференциалом функции y = f(x) называется главная часть её приращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента: dx = ∆x.

Определение: Дифференциал функции равен произведению её производной на дифференциал аргумента: dy = y′ × dx

Письменное задание для самостоятельной проработки

1.1 Доказать, что последовательность (x_n) = ((2n + 1)/n) сходится к числу 2.

1.2 Доказать, что:   а)  при |q|   при |q| 1.

1.3 Найти предел .

1.4 Найти предел .

1.5 Доказать равенство .

1.6 Доказать равенство .

1.7 Вычислить пределы

_

а) 5

б) 1,2

в) 6

г) 0

а) 

б) 

в) – 5

г) 0

1.8 Найти производные функций

_

а) 

б) 

в) 

г) 

1.9 Найти производную третьего порядка в точке _

_

а) 528	б) 624		в) 420		г) 460
а) 528		б) 624		в) 420		г) 460

1.10 Найти производные функций

1. _

2. _

3. _

4. _

1.11 Найти первые три члена ряда и записать ответ

1.12 Исследовать сходимость ряда

1.	+
2.

Тема 2. Интегральное исчисление

Содержание темы. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

1. Непосредственное интегрирование:

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F′(x) = f(x) или dF(x) = f(x)dx . Любая первообразная функции f(x) может быть представлена в виде F(x) + C , где C – const.

Определение: Неопределённым интегралом от функции f(x) называется совокупность всех её первообразных. Обозначение: òf(x)dx = F(x) + C

Нахождение функции по её производной называется интегрированием. Интегрирование – операция, обратная дифференцированию.

Примеры: 1. ò (2x³ – 5x² + 7x – 3)dx = ½ x⁴ – 5/3 x³ + 7/2 x² –3x +C

1. ò (2 sin x + 3 cos x) dx = -2 cos x + 3 sin x + C

2. Методы интегрирования.

Замена переменной в неопределённом интеграле.

Замена переменной в неопределённом интеграле производится с помощью двух подстановок:

1. x = φ(t), где φ(t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t Формула замены имеет вид:

ò f(x)dx = ò f(φ(t)) × φ′ (t)dt

1. u = y(x), где u - новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:

ò f(y(x) ×y′ (x)dx = ò f(u)du = F(u) + C или ò f(u) × u′(x)dx = F(u) + C

Часто бывает полезной формула:

ò f(ax + b)dx = 1/a F(ax + b) + C , где F - первообразная f.

Пример: ò (2х + 1)²⁰dx = ò u²⁰ × du/2 = ½ ò u²⁰ × du = ½ u²¹/21 + C = u²¹/42 + C = = (2x + 1)²¹/42 + C

Обозначим u = 2x + 1

du = 2dx;

dx = du/2

Интегрирование по частям - это интегрирование по формуле ò u × dv = u × v – ò v × du

Пример: ò ln x dx = ln x - ò x dx/x = lnx x - ò dx = x ln x – x + C =

u = ln x; du = dx/x = x(ln x – 1) + C

dv = dx; v = x

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Числа  a  и  b  называются пределами интегрирования,  f ( x ) dx – подинтегральным выражением.

  Итак, если  f ( x ) 0 на отрезке [ a, b ] , то площадь  S  соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

  Формула Ньютона – Лейбница.  Сравнивая две формулы для площади криволинейной трапеции,приходим к следующему заключению: если F ( x ) - первообразная функции  f ( x ) на отрезке  [ a, b ] , то

 

Письменное задание для самостоятельной проработки

2.1 Вычислить неопределенный интеграл и записать ответ

_

_

2.2 Найдите общий вид первообразных для функции g(х) = 4sinх + 2соsх

1. 4 соs х - 2siп х + С 3. -4 соs х+ 2 sinх

2. -4 соs x +2sinх + С 4. такой функции нет

2.3 Покажите с помощью стрелок те функции для которых х³ + 3х + С – общий вид первообразных.

f(х) = х4 + 3x2

φ(х) =

g(х) = 3x3 + 3

x3 + 3х + C

h(х) = 3х2 + 3x – 9

φ(х) = 3x2 + 3x + 16

φ(х) = х5 + 3x3

2.4 Укажите ту первообразную для функции f(х) = 4х³ – 1, график которой проходит через точку М(1;-19).

2.5 Завершите предложения так, чтобы получилось истинное высказывание: "если функции

у = Ф(х) и у = F(х) являются первообразными для функции у = f/(х), то ...".

1. разность Ф(х) - F(х) = 0; 3. f'(х) = Ф(x) и f'(х) = F(х);

2. Ф(х) =F(х) + С, где С- соnst.

2.6 Вычислите интеграл dx

1. -1 2. 1 3. 12 4. 4

2.7 Верно ли, что

1. да; 2. нет

2.8 Найдите площадь фигуры ограниченной линиями: у = 0, у = 4 – х²

y

-2 0 2 x

2.9 Завершите предложение так, чтобы получилось истинное высказывание: "площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции у = f(х), заданной

на [а; b], можно найти ..."

1. как значение первообразной заданной функции в точке х_а = b

2. как разность f(b) – f (а)

3. как

2.10 Выберите формулу, по которой можно вычислить площадь фигуры изображенной на рисунке. y

у = g(х)

a b x

1. S = g'(b) - g'(a)

2. S = G(b) - G(a), где у =G(х) – первообразная для функции y = g(x)

3. S = g(b) - g(a)

Тема3. Обыкновенные Дифференциальные уравнения.

Содержание темы. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию, аргумент и производные различных порядков данной функции.

Простой пример дифференциального уравнения дает задача о нахождении первообразной F(x) для заданной функции f(x), т.к. ее вполне можно рассматривать как задачу о нахождении функции F(x), удовлетворяющей уравнению F'(x)=f(x).

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде

G(x,y,y',yⁿ,...) =0,

где G — некоторая функция, при этом порядок п старшей производной, входящей в запись урав­нения, называется порядком дифференциального уравнения. Например, задача о нахождении пер­вообразной приводит к дифференциальному уравнению первого порядка, уравнение х(у ")³ - 4у '+ 8х² =0 - второго порядка.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция y-f(x), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество. Например, функция y=sin х является решением уравнения у "+у=0, так как (sin х)"+ sin x=0 для любых х.

Задача о нахождении решения дифференциального уравнения называется задачей интег­рирования данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравне­ния называется интегральной кривой.

Отметим, что без дополнительных предположений решение дифференциального уравнения принципиально неоднозначно, т.е., аналогично неопределенному интегралу, содержит постоян­ные константы С, число которых равно порядку уравнения. Такое решение называется общим решением дифференциального уравнения. Для определения этих постоянных и получения одно­значного частного решения используются дополнительные условия, которые задают значения решения либо в точке х=0 (начальные условия), либо в точках хО (граничные условия). Решение дифференциального уравнения с использованием дополнительных условий называется задачей Коши.

Письменное задание для самостоятельной проработки

3.1 Найти общее решение дифференциального уравнения 

3.2 Решить задачу Коши 

3.3 Показать, что функция  является общим интегралом дифференциального уравнения 

3.4 Составить дифференциальное уравнение семейства кривых 

3.5 Решить дифференциальное уравнение 

3.6 Решить дифференциальное уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

3.7 Решить дифференциальное уравнение

3.8 Решить дифференциальное уравнение

Тема 4. Понятие множества. Операции с множествами.

Содержание темы.

Определения, термины и символы

Множество - совокупность различимых между собой объектов, объединяемых в целое некоторым общим признаком. Например, множества студентов, книг, законов, чисел и т.п. Обозначения: А, В, С,... - множества, а, Ь, с,... - элементы (точки) множеств.

Изображение:

Круги или диаграммы Эйлера-Венна.

Операции над множествами

Множества А и В равны, А = В, тогда и только тогда, когда А  В и В  А, т.е. состоят из одинаковых элементов, причем порядок следования элементов не имеет значения: если A= {1;2;3}, а B={2; 1; 3}, то A=B.

Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно иА, иВ: С = А ∩ В = {2; 1; 3}

Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество С всех элементов, входящих либо в А, либо в В. Причем общие элементы учитываются только один раз:

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из тех элементов множе­ства А, которые не содержатся в множестве В: С = А\В = {х\х А и х  В}. Отметим, что А\В не равно В\А.

Заметим, что на втором рисунке В А. В этом случае разность А\В называется дополнени­ем множества В до множества А и обозначается СUВ=А.Введенные выше операции распространяются и на несколько множеств.

Письменное задание для самостоятельной проработки

4.1 А={х | х 8}; В={х \х 3}. Найти А ∩В.

Ответ: (3; 8)

4.2 Заданы множества А = (1; 3; 4; 6} и B = {3; 5; 6; 7} . Определить результаты опера­ций А U В; А ∩ В; А \ B; В \ А; А + В .

4.3 Вычислить

1. 537+849=

2. 648+275=

3. 749+127=

4. 26+19+34+51=

5. 630+40+160+70=

6. 70+90+130+10=

7. 869-535=

8. 414-198=

9. 435-175=

10. 45,36*10=

11. 2256,36*100=

12. 0,325/100=

13. 62,369/1000=

4.4 Записать в стандартном виде числа:

0,000475 = 4,75 · 10^-4

826000 = 8,26 · 10⁵

4.5 Округлите числа с заданной точностью:

а) 1,5783; 23,4997; 0,00025; 0,07964 до 10^-3

б) 4,761; 31,009; 471,2583; 0,00126 до 10^-2

в) 159734; 28,34; 7654321; 984,56 до 10

4.6 В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на

стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион-3; цирк и

стадион -1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а

три ученика не посетили ни одного места?

4.7 В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 – черешню. Двое любят груши и

черешню; 6 – груши и яблоки; 5 – яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика,

которые любят всё и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого

класса любят яблоки?

Тема5. Проценты и пропорции. Линейные уравнения и их системы.

Содержание темы.

Определителем второго порядка называется число ∆ , вычисляемое по формуле

a₁ b₁

∆ = a₂ b ₂ = a₁ b ₂ - a₂ b_1.

Определители и системы линейных уравнений

Рассмотрим систему из двух уравнений первого порядка:

a₁х + b₁у = с₁

a₂х + b ₂у = с₂

Выделим из этой системы три определителя:

a₁ b₁

a₂ b ₂

определитель самой системы ∆ =

c₁ b₁

с₂ b ₂

определитель для первого неизвестного ∆х =

a₁ c₁

a₂ c₂

определитель для второго неизвестного ∆у = .

Из школьного курса математики вам известно три метода решения систем линейных уравнений (метод подстановки, метод сложения и графический метод). Знание определителей позволяет применить ещё один метод – метод Крамера.

1. Определитель системы ∆  O. Тогда имеем единственное решение (формулы Крамера для двух неизвестных).

2. ∆ = ∆х = ∆у = 0. В этом случае система имеет бесконечное множество решений.

3. ∆ = 0, но ∆х или ∆у, или оба вместе, не равны нулю. В этом случае система несовместна т.е. не имеет никаких решений.

Письменное задание для самостоятельной проработки.

5.1 Вычислить определители третьего порядка:

5.2 Школьники сдали в аптеку 6 кг сушёной малины и 5 кг сушёной черники. Сколько кг свежих ягод они собрали, если при сушке малина теряет 75% веса, а черника 80%? Решение проверить.

5.3 Картофель содержит 20% крахмала. Сколько крахмала нужно для получения 12 кг крахмала?

5.4 Определить процент соли в растворе, если в 300 г раствора содержится 15 г соли.

5.5По денежным вкладам, положенным на определённый срок (срочным вкладам), сберкасса выплачивает 3% годовых. В сберкассу был сделан срочный вклад на сумму в 400 руб. сроком на год, а по истечении срока этот вклад вместе с процентными деньгами был оставлен ещё на год. В какую сумму обратился вклад через два года?

Тема6. Понятие вероятности случайных событий. Комбинаторика.

Содержание темы.

Комбинаторика – часть математики. Она изучает комбинаторные задачи. Это задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно осуществить то или иное требование, выполнить какое-либо условие, сделать тот или иной выбор.существует 3 основные комбинаторные операции:

1. Перестановки – P_n

2. Размещения - A_n^k

3. Сочетания - C_n^k

n + порядок P_n = n!

n!

Из n k + порядок A_n^{k =} (n – k)!

n!

k C_n^{k =} (n – k)!· k!

Классическое определение вероятности: Вероятностью события А называется отношение числа m исходов, благоприятствующих этому событию, к числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов. Обозначается:

m

P(A) ⁼ n

Письменное задание для самостоятельной проработки.

6.1 Сколькими способами можно расставить 6 книг на полке?

6.2 Сколькими способами из 30 учеников класса можно выбрать старосту, физорга и профорга?

6.3 В классе 30 человек. Сколькими способами можно выделить 3 человека для участия в конференции?

6.4 На выпускном вечере 20 человек обменялись фотографиями. Сколько было роздано фотографий?

6.5 В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий сыграно в турнире?

6.6 Какова вероятность того, что при броске игральной кости, выпадет чётное число очков?

6.7 Бросили две монеты. Какова вероятность того, что выпали два герба?

Исходы: гг, гр, рг, рр.

6.8 Из слова «автоматика» выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это буква «а»?

Тема7. Простейшие характеристики законов распределения.

Содержание темы.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины  Х  , принимающей конечное число значений  х_i  с вероятностями  р_i , называется сумма:

 

М ( Х ) = х₁ · р₁ + х₂ · р₂ + х₃ · р₃ + ... + х_n· р_n .

 

Свойства математического ожидания:

 

   1)   М ( с · Х ) = с · М ( Х ) ,   c  R ,

 

   2)   М ( Х + Y ) = М ( Х ) + М ( Y ) ,     Х , Y  Е ,

 

    3)   М ( Х · Y ) = М ( Х ) · М ( Y )  для независимых случайных величин  Х  и  Y . 

 

Дисперсией случайной величины  Х  называется число:

 D ( Х ) = М{ [ Х – М ( Х )] ² }= М ( Х ² ) – [М ( Х )] ² .

 

Свойства дисперсии:

 

   1)   D ( с · Х ) = с ² · D ( Х ) ,   c  R ,   

 

   2)   D ( Х + Y ) = D ( Х ) + D ( Y ) для независимых случайных величин  Х  и  Y .

 

Среднее квадратичное отклонение:

 

Письменное задание для самостоятельной проработки.

7.1 Найти математическое ожидание и дисперсию следующих случайных величин, заданных своими таблицами распределения.

а)

x2	1	9	16	36	49
x	1	3	4	6	7
p(x)	0,1	0,1	0,3	0,4

б)

x2	25	49	100	225
x	5	7	10	15
p(x)	0,2		0,2	0,1

в)

x2
x	-2	-1	0	1	2
p(x)	0,1	0,2	0,3	0,3

7.2 В группе по биологии 6 чел. – «5», 11 чел. – «4», 13 чел. – «3».

Каков средний балл по предмету?

7.3 Имеются следующие данные о распределении участников похода по возрасту:

Возраст, лет	18-22	22-26	26-30	30-34
Число участников	25	18	5	2

Заменив каждый интервал его серединой, найдите средний возраст участника походов.

7.4 По приведенным результатам измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов. (В качестве варианта принять середины указанных интервалов.)

Рост	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182
Число студентов	10	14	26	28	12	8	2

7.5 При изучении учебной нагрузки студентов попросили отметить время (с точностью до 0,1 ч), которое они затратили в определенный день на выполнение домашних заданий. Получили следующие данные:

2,7, 2,5, 3,1, 3,2, 3,4, 1,6, 1,8, 4,2,

2,6, 3,4, 3,2, 2,9, 1,9, 1,5, 3,7, 3,6,

3,1, 2,9, 2,8, 1,5, 3,1, 3,4, 2,2, 2,8,

4,1, 2,4, 4,3, 1,9 3,6, 1,8, 2,8, 3,9.

Представьте полученные данные в виде интервального ряда с интервалами

длиной 0,5 ч. Найдите среднее арифметическое, моду, медиану и размах.

7.6 При изучении вопроса о количестве детей в семьях, проживающих в поселке, составили таблицу частот:

Количество детей	0	1	2	3	4	5
Частота	12	23	32	10	5	2

Постройте полигон относительных частот.

7.7 Проверочную работу по математике выполняли 180 студентов. По полученным оценкам составили таблицу:

Оценка	1	2	3	4	5
Частота	0	16	77	65	22

Составить полигон распределения оценок.

7.8 Построить гистограмму частот по данному распределению выборки объема n=100:

Номер интервала i	Частичный интервал	Сумма частот вариант интервала	Плотность частоты
1	1 — 5	10	2,5
2	5 — 9	20	5
3	9 — 13	50	12,5
4	13 — 17	12	3
5	17 — 21	8	2

7.9 Заполнив предварительно последний столбец таблицы, построить гистограмму частот по данному распределению выборки:

i
1	2 — 7	5
2	7 — 12	10
3	12 — 17	25
4	17 — 22	6
5	22 — 27	4

Тема 8. Простейшие положения математической статистики.

Содержание темы.

Статистика – наука, которая изучает количественную сторону общественных явлений в неразрывной связи с их качественной стороной.

Статистика, изучающая вопросы, связанные с медициной, гигиеной и здравоохранением, носит название санитарной статистики.

Санитарная статистика рассматривает 5 групп вопросов:

1. Изучение здоровья населения в целом и его основных групп (численность, рождаемость и т. д.)

2. Выявление и установление связей с заболеваемостью с различными факторами окружающей среды.

3. Сбор и изучение данных о сети лечебно - профилактических учреждений.

4. Подытоживание и оценка опыта по предупреждению и лечению заболевания.

5. Содействие планированию, организации и проведения исследований, выявление закономерностей различных явлений в здоровом и больном организме и оценка эффективности новых способов лечения и профилактики.

1 и 2 относится к «Статистике здоровья», 3 и 4 – к «Статистике здравоохранения», 5- к «Медицинской статистике». В ней особенно широко применяются приёмы исследования, основанные на теории вероятностей, теории выборочного метода.

Стадии статистического исследования.

Статистическое исследование делится на несколько стадий:

1. Стадия наблюдения (организация учёта, регистрация изучаемых признаков, явлений, проверка собранного материала).

2. Статистическая группировка и сводка (сведения, отражающие результаты отдельных наблюдений, сводятся в систематизированные ряды или таблицы).

3. Счётная обработка (по абсолютным числам таблиц вычисляются производные величины – относительные числа и средние).

4. Научный анализ (определение достоверности производных величин, сопоставление их между собой и с материалами других исследований, формулировка объективных выводов, полученных путём этих сравнений, научные, практические и организационные результаты исследования).

5. Литературное и графическое оформление данных исследования (подготовка их к публикации).

Письменное задание для самостоятельной проработки.

8.1 В результате проверки 400 электрических лампочек 40 штук оказалось бракованными.

Найти доверительный интервал уровня 0,99 для вероятности брака.

8.2 Основная гипотеза состоит в том, что данный человек лишён телепатических спо-

собностей и угадывает мысли на расстоянии в каждом единичном эксперименте с

вероятностью 1/2. Гипотеза же о наличии телепатических способностей у данного

человека принимается, если в 100 независимых однотипных экспериментах по уга-

дыванию мыслей на расстоянии не менее 70 заканчиваются успехом. Чему равна

вероятность признать телепатом человека без телепатических способностей?

8.3 При n = 4040 бросаниях монеты Бюффон получил 2048 выпадений герба и 1992 вы-

падений решётки. Совместимо ли это с гипотезой о том, что существует постоянная

вероятность p = 1/2 выпадения герба?

8.4 По официальным данным в Швеции в 1935 г. родилось 88 273 ребенка, причем в

январе родилось 7280 детей, в феврале — 6957, марте — 7883, апреле — 7884, мае —

7892, июне — 7609, июле — 7585, августе — 7393, сентябре — 7203, октябре — 6903,

ноябре — 6552, декабре — 7132 ребенка. Совместимы ли эти данные с гипотезой, что

день рождения наудачу выбранного человека с равной вероятностью приходится на

любой из 365 дней года?

Тема 9. Математические методы в проф. деятельности.

Содержание темы.

Математические методы в медицине — совокупность методов количественного изучения и анализа состояния и (или) поведения объектов и систем, относящихся к медицине и здравоохранению. В биологии, медицине и здравоохранении в круг явлений, изучаемых с помощью М.м., входят процессы, происходящие на уровне целостного организма, его систем, органов и тканей (в норме и при патологии); заболевания и способы их лечения; приборы и системы медицинской техники; популяционные и организационные аспекты поведения сложных систем в здравоохранении; биологические процессы, происходящие на молекулярном уровне. Степень математизации научных дисциплин служит объективной характеристикой глубины знаний об изучаемом предмете. Так, многие явления физики, химии, техники описываются М.м. достаточно полно. В результате эти науки достигли высокой степени теоретических обобщений. В биологических науках М.м. пока еще играют подчиненную роль из-за сложности объектов, процессов и явлений, вариабельности их характеристики, наличия индивидуальных особенностей. 

Систематические попытки использовать М.м. в биомедицинских направлениях начались в 80-х гг. 19 в. Общая идея корреляции, выдвинутая английским психологом и антропологом Гальтоном (F. Galton) и усовершенствованная английским биологом и математиком Пирсоном (К. Pearson), возникла как результат попыток обработки биомедицинских данных. Точно так же из попыток решить биологические проблемы родились известные методы прикладной статистики. До настоящего времени методы математической статистики являются ведущими М.м. для биомедицинских наук. Начиная с 40-х гг. 20 в. математические методы проникают в медицину и биологию через кибернетику и информатику. Наиболее развиты М.м. в биофизике, биохимии, генетике, физиологии, медицинском приборостроении, создании биотехнических систем. Благодаря М.м. значительно расширилась область познания основ жизнедеятельности и появились новые высокоэффективные методы диагностики и лечения; М. м. лежат в основе разработок систем жизнеобеспечения, используются в медицинской технике. Все большую роль во внедрении М.м. в медицину играют ЭВМ (см. Электронная вычислительная машина). 

В частности, применение методов математической статистики облегчается тем, что стандартные пакеты прикладных программ для ЭВМ обеспечивают выполнение основных операций по статистической обработке данных. М.м. смыкаются с методами кибернетики и информатики, что позволяет получать более точные выводы и рекомендации, внедрять новые средства и методы лечения и диагностики. Математические методы применяют для описания биомедицинских процессов (прежде всего нормального и патологического функционирования организма и его систем, диагностики и лечения). Описание проводят в двух основных направлениях. Для обработки биомедицинских данных используют различные методы математической статистики, выбор одного из которых в каждом конкретном случае основывается на характере распределения анализируемых данных. Эти методы предназначены для выявления закономерностей, свойственных биомедицинским объектам, поиска сходства и различий между отдельными группами объектов, оценки влияния на них разнообразных внешних факторов и т.п. 

Список литературы.

Основная:

1. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М. и др. Алгебра и начала анализа. Учебник

для 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений. М: Просвещение, 2004 г.

2. Алгебра и начала анализа, под ред. Яковлева Г.Н. в 2-х ч. М., Просвещение

1987г.

3. Пехлецкий И.Д. Математика. М., 2001 г.

Дополнительная:

1. Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т.Я. Высшая математика в

упражнениях и задачах, в 2-х ч. М.,1986 г.

Страница 79 из 79