kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Методика решения задач ЕГЭ по математике

Нажмите, чтобы узнать подробности

Методика решения задач ЕГЭ по математике Яковлевой Елена Гимновны, учителя математики МБОО Дая-Амгинская средняя общеобразовательная школа имени Х. И. Кашкина МР «Таттинский улус» Цель - создание условий для формирования и развития у обучающихся самоанализа и систематизации полученных знаний, подготовка к итоговой аттестации в форме ЕГЭ. Задачи: 1. Продолжить работу над повышением научно-теоретического уровня в области теории и методики преподавания математики; 2. Разработать и внедрить в практику рабочую программу по математике для 9 и 11 классов по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. 3. Разработать и внедрить в практику образовательной деятельности учебно-методические материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. 4. Разработать методические рекомендации, дидактические материалы в рамках реализуемой инновации. 5. Изучить психологические и возрастные особенности школьников. Актуальность темы ЕГЭ – важный шаг в жизни каждого выпускника, обдумывающего выбор своего будущего, стремящегося продолжить образование и овладеть профессиональными навыками. Основная цель введения единого экзамена по математике — независимая экспертиза качества знаний, совмещение выпускного (школьного) и вступительного (в высшее учебное заведение) экзаменов. С точки зрения ученика, более важной является задача подготовки к такому экзамену. Цель учителя- помочь учащимся. Проблема качества подготовки учащихся к сдаче ЕГЭ в последние годы стоит в центре внимания педагогов. ЕГЭ выполняет функцию вступительного вузовского экзамена, поэтому очень важно повысить мотивацию учащихся к учебному процессу. Основная задача, которая стоит перед каждым учителем, это как можно лучше подготовить учащихся к сдаче ЕГЭ. Потому что результаты, полученные выпускниками на ЕГЭ, это и оценка работы учителя и учащегося, и их учителя все больше заинтересованы в получении как можно лучших результатов. Поэтому каждый педагог ищет и применяет в своей работе наиболее эффективные методы, формы и технологии обучения. Ведущая идея моего опыта — повышение качества математической подготовки школьников на основе использования различных форм и технологий. Предполагаемый результат 1. Сформированность положительной установки и мотивации к предмету. 2. Стабильное качество знаний и успешность обучения учащихся. 3. Разработка пакета материалов для подготовки учащихся к ОГЭ и ЕГЭ. 4. Самообобщение опыта по исследуемой теме. 1. Единый государственный экзамен по мате¬матике, привнесенный в российское образо¬вательное пространство, имеет свои сильные и слабые стороны. Чтобы минусы обратить в плюсы, учителю, который готовит школьни¬ков к экзамену, в первую очередь необходимо знание о формате и структуре ЕГЭ, особенно¬стях процедуры его проведения. Эта инфор¬мация важна. Но не менее важна и внутрен¬няя готовность учителя к смене формата ито¬говой аттестации, формата оценки результата обучения и, соответственно результатов его труда. 2. Итоговая аттестация за курс средней (пол¬ной) школы в разные годы проходила в разных формах. Существенно отличались экза-менационные варианты для выпускников, изу¬чавших математику в так называемых общеоб¬разовательных классах, и для выпускников фи¬зико-математических и математических клас¬сов. Разный уровень подготовки имеет место и у учащихся одного класса, в частности, зависит и от того, намерен ли ученик продолжать обу¬чение, и будет ли его обучение связано с мате¬матикой. Все эти различия требуют от учителя разной методики подготовки учащихся к экза¬мену. Готовность ученика к экзамену включает и собственно умение выполнять предложенные задания, и выбор заданий, которые решить под силу, и способность к самоконтролю, и умение правильно распорядиться отведенным време¬нем, и психологический настрой и концентра¬ция. 3 Единый государственный экзамен совмеща¬ет два экзамена — выпускной за среднюю школу и вступительный в высшие учебные за¬ведения. Поэтому в рамках ЕГЭ осуществляется проверка овладения материалом курса алгебры и начал анализа 10-11-х классов, усвоение которо¬го должно проверяться на выпускном школьном экзамене, а также материалом некоторых тем курса алгебры основной школы и геометрии ос¬новной и средней школы, которые традиционно даются на вступительных экзаменах в вузы. 5. Контрольные измерительные материалы еди¬ного государственного экзамена имеют довольно сложную структуру. В работу входят задания трех типов. 6. Задания А — задания с выбором ответа (из четырех предложенных вариантов только один является верным); задания В — с кратким отве¬том (результатом является некоторое целое чис¬ло или число, записанное в виде десятичной дро¬би); задания С — с развернутым ответом (нужно записать на специальном бланке обоснованное решение). 7. Вариант состоит из трех частей. Часть 1 со¬держит 13 заданий (А1-А10 и В1-ВЗ) базового уровня по материалу курса алгебры и начал ана¬лиза. Часть 2 содержит 10 более сложных зада¬ний (В4-В11, С1, С2) по материалу курса алгеб¬ры и начал анализа, а также различных разделов курсов алгебры и геометрии основной и средней школы. К заданиям В4-В11 надо дать краткий ответ, к заданиям С1 и С2 — записать решение. Часть 3 содержит три самых сложных задания: два - алгебраических (СЗ, С5) и одно — геомет-рическое (С4). При их выполнении надо записать «полное» решение. 8. За выполнение экзаменационной работы вы¬ставляются две отметки: аттестационная отмет¬ка (для школы) и тестовый балл (для вуза). Ат-тестационная отметка за усвоение курса алгебры и начал анализа 10—11-х классов выставляется по пятибалльной шкале. При ее выставлении не учитывается выполнение заданий В9—В11, С4. В тексте работы номера этих заданий отмечены звездочкой. Тестовый балл выставляется по 100-балльной шкале на основе первичных баллов, по¬лученных за выполнение всех заданий работы. 9. Экзамен не должен стать для выпускника (аби¬туриента) испытанием на прочность нервной системы. Чем раньше начнется подготовка к эк¬замену, тем легче пройдет сдача экзамена. Под¬готовка к экзамену — это не «натаскивание» выпускника на задания, аналогичные задани¬ям прошлых лет. Подготовка означает изучение программного материала с включением заданий в формах, используемых при итоговой аттеста¬ции. Кроме того, необходимо ликвидировать пробелы в знаниях и постараться решить общие проблемы, они хорошо известны каждому учите¬лю: отсутствие культуры вычислений и несформированность приемов самопроверки. 10. На первых уроках одиннадцатого класса обя¬зательно должны содержаться задания на вычис¬ление: сложение, умножение, деление дробей, преобразование иррациональных и тригономет¬рических выражений. И не так важно, в какой форме это будет проходить — в устной работе или письменной, но это должно быть. Очень важно правильно сориентировать один¬надцатиклассников — на каком уровне они будут изучать материал (на какую отметку они претендуют). Осилят ли они и выпускной, и вступительный экзамены? Если только выпу¬скной, то на какую отметку: «удовлетворитель¬но» — достаточно выполнить не менее 7 заданий части 1; «хорошо» — придется решать задания двух первых частей; «отлично» —нужно решить еще одно задание С1 или С2 части 2 или СЗ или С5 части 3. Если экзамен, помимо школьного вы¬пускного, должен стать и вступительным, то для того, чтобы претендовать на поступление в выс¬шее учебное заведение, нужно решить все или почти все. Подготовка должна носить системный ха¬рактер. Знакомство с параметрами. Определение. Если в уравнение или неравенство, кроме известных входят числа, обозначенные буквами, то они называются параметрами, а уравнение и неравенство – параметрическими. Определение. Решить уравнение или неравенство, содержащие параметр, это значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения (неравенства). Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в зависимости от параметров. Целесообразно начинать рассматривать решение уравнений с параметрами с простых уравнений без ветвлений. Например: 1. x-a = 0, ответ: при a (;), x=a 2. 5x=a, ответ: при a (;), x= 3. x:2=a, ответ: a, x=2a 4. |x|=|a|, ответ: a,x=a 5. =a, ответ: a, x= Затем выделим решение простейших уравнений с небольшим числом легко угадываемых ветвлений. Например: 1) Ax=10; x= Ответ: при a (;0)U(0, ), x= При a=0, корней нет. 2) 0 x = a Ответ: при a?0, корней нет При a=0 x-любое число из множества R 3) x = Ответ: при ?0, x= при a 0, x=a 3 Тригонометрические уравнения с параметрами 1) tg |x-2| = a Решение. Очевидно, что cos |x – 2| 0, т.е.|x – 2| +, т.е. x 2, k Z (5) Решаем исходное уравнение : |x – 2| = arctg a + n, n Z Так как |x – 2| 0, то arctg a + n 0 a) Если a 0, то n = 0, 1, 2, 3, 4, …. b) Если a 1, |a|, то уравнение sin = имеет на два новых корня Ответ: Если |a| 1, |a|, то 6 корней Пример 3 Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет на отрезке ровно три различных корня Решение Данное уравнение равносильно такой совокупности двух уравнений: a) Если a = 0, то На отрезок попадают ровно три корня: б) Если a, тогда D = = и из квадратного уравнения относительно sin находим sin = 1, sin = Таким образом совокупность уравнений равносильна Первые два уравнения имеют на ровно три корня, ранее указанные. Таким же свойством будет обладать вся совокупность уравнений лишь тогда, когда последнее уравнение либо имеет корни, уже известные, либо вообще не имеет корней на. Для этого необходимо и достаточно: Ответ: Пример 4 Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет на отрезке *0; + ровно два различных корня Решение Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений Вычислим дискриминант первого уравнения: D = = 4 + 20 + 5 = Решая первое уравнение относительно cos, находим, Следовательно, совокупность уравнений равносильна 11 Первое уравнение имеет на *0; + только один корень, второе = не имеет корней на *0; +. Для того, чтобы совокупность уравнений имела на данном отрезке ровно два различных корня, необходимо и достаточно, чтобы параметр a удовлетворял следующей системе неравенств: Решение последней системы находим методом интервалов: 1; Ответ: a, Задание из ЕГЭ Найдите все положительные значения параметра, при которых в области определения функции есть двузначные натуральные числа, но нет ни одного трехзначного натурального числа Решение Найдем область определения в зависимости от a. При a = 1 у неравенства нет решений, и значит, область определения пуста. Рассмотрим два других случая: 1) a 1, тогда x ax + 2 -2 (a-1)x т.к. a, то a - 1 0. Значит D(y) = Но в этом промежутке все числа отрицательные, то есть нет ни одного натурального числа. Поэтому такие a не удовлетворяют условию задачи. 2) 0, (1 - a)x 0,02 0,8

Просмотр содержимого документа
«Методика решения задач ЕГЭ по математике»

Методика решения задач ЕГЭ по математике

Яковлевой Елена Гимновны,

учителя математики

МБОО Дая-Амгинская средняя общеобразовательная школа имени Х. И. Кашкина

МР «Таттинский улус»


Цель - создание условий для формирования и развития у обучающихся самоанализа и систематизации полученных знаний, подготовка к итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

Задачи:

  1. Продолжить работу над повышением научно-теоретического уровня в области теории и методики преподавания математики;

  2. Разработать и внедрить в практику рабочую программу по математике для 9 и 11 классов по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.

  3. Разработать и внедрить в практику образовательной деятельности учебно-методические материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.

  4. Разработать методические рекомендации, дидактические материалы в рамках реализуемой инновации.

  5. Изучить психологические и возрастные особенности школьников.

Актуальность темы

ЕГЭ – важный шаг в жизни каждого выпускника, обдумывающего выбор своего будущего, стремящегося продолжить образование и овладеть профессиональными навыками. Основная цель введения единого экзамена по математике — независимая экспертиза качества знаний, совмещение выпускного (школьного) и вступительного (в высшее учебное заведение) экзаменов.  С точки зрения ученика, более важной является задача подготовки к такому экзамену. Цель учителя- помочь учащимся. Проблема качества подготовки учащихся к сдаче ЕГЭ в последние годы стоит в центре внимания педагогов. ЕГЭ выполняет функцию вступительного вузовского экзамена, поэтому очень важно повысить мотивацию учащихся к учебному процессу.

Основная задача, которая стоит перед каждым учителем, это как можно лучше подготовить учащихся к сдаче ЕГЭ. Потому что результаты, полученные выпускниками на ЕГЭ, это и оценка работы учителя и учащегося, и их учителя все больше заинтересованы в получении как можно лучших результатов. Поэтому каждый педагог ищет и применяет в своей работе наиболее эффективные методы, формы и технологии обучения. Ведущая идея моего опыта — повышение качества математической подготовки школьников на основе использования различных форм и технологий.

Предполагаемый результат

  1. Сформированность положительной установки и мотивации к предмету.

  2. Стабильное качество знаний и успешность обучения учащихся.

  3. Разработка пакета материалов для подготовки учащихся к ОГЭ и ЕГЭ.

  4. Самообобщение опыта по исследуемой теме.

    1. Единый государственный экзамен по мате­матике, привнесенный в российское образо­вательное пространство, имеет свои сильные и слабые стороны. Чтобы минусы обратить в плюсы, учителю, который готовит школьни­ков к экзамену, в первую очередь необходимо знание о формате и структуре ЕГЭ, особенно­стях процедуры его проведения. Эта инфор­мация важна. Но не менее важна и внутрен­няя готовность учителя к смене формата ито­говой аттестации, формата оценки результата обучения и, соответственно результатов его труда.

    2. Итоговая аттестация за курс средней (пол­ной) школы в разные годы проходила в разных формах. Существенно отличались экза­менационные варианты для выпускников, изу­чавших математику в так называемых общеоб­разовательных классах, и для выпускников фи­зико-математических и математических клас­сов. Разный уровень подготовки имеет место и у учащихся одного класса, в частности, зависит и от того, намерен ли ученик продолжать обу­чение, и будет ли его обучение связано с мате­матикой. Все эти различия требуют от учителя разной методики подготовки учащихся к экза­мену. Готовность ученика к экзамену включает и собственно умение выполнять предложенные задания, и выбор заданий, которые решить под силу, и способность к самоконтролю, и умение правильно распорядиться отведенным време­нем, и психологический настрой и концентра­ция.

  1. Единый государственный экзамен совмеща­ет два экзамена — выпускной за среднюю школу и вступительный в высшие учебные за­ведения. Поэтому в рамках ЕГЭ осуществляется проверка овладения материалом курса алгебры и начал анализа 10-11-х классов, усвоение которо­го должно проверяться на выпускном школьном экзамене, а также материалом некоторых тем курса алгебры основной школы и геометрии ос­новной и средней школы, которые традиционно даются на вступительных экзаменах в вузы.

  1. Контрольные измерительные материалы еди­ного государственного экзамена имеют довольно сложную структуру. В работу входят задания трех типов.

  2. Задания А — задания с выбором ответа (из четырех предложенных вариантов только один является верным); задания В — с кратким отве­том (результатом является некоторое целое чис­ло или число, записанное в виде десятичной дро­би); задания С — с развернутым ответом (нужно записать на специальном бланке обоснованное решение).

  3. Вариант состоит из трех частей. Часть 1 со­держит 13 заданий (А1-А10 и В1-ВЗ) базового уровня по материалу курса алгебры и начал ана­лиза. Часть 2 содержит 10 более сложных зада­ний (В4-В11, С1, С2) по материалу курса алгеб­ры и начал анализа, а также различных разделов курсов алгебры и геометрии основной и средней школы. К заданиям В4-В11 надо дать краткий ответ, к заданиям С1 и С2 — записать решение. Часть 3 содержит три самых сложных задания: два - алгебраических (СЗ, С5) и одно — геомет­рическое (С4). При их выполнении надо записать «полное» решение.

  4. За выполнение экзаменационной работы вы­ставляются две отметки: аттестационная отмет­ка (для школы) и тестовый балл (для вуза). Ат­тестационная отметка за усвоение курса алгебры и начал анализа 10—11-х классов выставляется по пятибалльной шкале. При ее выставлении не учитывается выполнение заданий В9—В11, С4. В тексте работы номера этих заданий отмечены звездочкой. Тестовый балл выставляется по 100-балльной шкале на основе первичных баллов, по­лученных за выполнение всех заданий работы.

  5. Экзамен не должен стать для выпускника (аби­туриента) испытанием на прочность нервной системы. Чем раньше начнется подготовка к эк­замену, тем легче пройдет сдача экзамена. Под­готовка к экзамену — это не «натаскивание» выпускника на задания, аналогичные задани­ям прошлых лет. Подготовка означает изучение программного материала с включением заданий в формах, используемых при итоговой аттеста­ции. Кроме того, необходимо ликвидировать пробелы в знаниях и постараться решить общие проблемы, они хорошо известны каждому учите­лю: отсутствие культуры вычислений и несформированность приемов самопроверки.

  6. На первых уроках одиннадцатого класса обя­зательно должны содержаться задания на вычис­ление: сложение, умножение, деление дробей, преобразование иррациональных и тригономет­рических выражений. И не так важно, в какой форме это будет проходить — в устной работе или письменной, но это должно быть. Очень важно правильно сориентировать один­надцатиклассников — на каком уровне они будут изучать материал (на какую отметку они претендуют). Осилят ли они и выпускной, и вступительный экзамены? Если только выпу­скной, то на какую отметку: «удовлетворитель­но» — достаточно выполнить не менее 7 заданий части 1; «хорошо» — придется решать задания двух первых частей; «отлично» —нужно решить еще одно задание С1 или С2 части 2 или СЗ или С5 части 3. Если экзамен, помимо школьного вы­пускного, должен стать и вступительным, то для того, чтобы претендовать на поступление в выс­шее учебное заведение, нужно решить все или почти все. Подготовка должна носить системный ха­рактер.



Знакомство с параметрами.

Определение. Если в уравнение или неравенство, кроме известных входят числа, обозначенные буквами, то они называются параметрами, а уравнение и неравенство – параметрическими.

Определение. Решить уравнение или неравенство, содержащие параметр, это значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения (неравенства).

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в зависимости от параметров. Целесообразно начинать рассматривать решение уравнений с параметрами с простых уравнений без ветвлений.

Например:

1. x-a = 0, ответ: при a (;), x=a

2. 5x=a , ответ: при a (;), x=

3. x:2=a, ответ: a, x=2a

4. |x|=|a|, ответ: a,x=a

5. =a, ответ: a, x=


Затем выделим решение простейших уравнений с небольшим числом легко угадываемых ветвлений.

Например:

1) Ax=10; x=


Ответ: при a (;0)U(0, ), x=

При a=0, корней нет.

2) 0 x = a


Ответ: при a≠0, корней нет

При a=0 x-любое число из множества R

3) x =


Ответ: при ≥0, x=

при a

4) |x| = a


Ответ: при a 0, x=a 3


Тригонометрические уравнения с параметрами

1) tg |x-2| = a


Решение.

Очевидно, что cos |x – 2| 0, т.е.|x – 2| + , т.е. x 2, k Z (5)

Решаем исходное уравнение : |x – 2| = arctg a + n, n Z Так как |x – 2| 0, то arctg a + n 0

a) Если a 0, то n = 0, 1, 2, 3, 4, …..

b) Если a


Из |x – 2| = arctg a + n следует, что x = 2(arctg a + n) Найденное решение удовлетворяет соотношению (5)

Ответ: x = 2(arctg a + n), n = 0, 1, 2, 3, 4, ….. при a 0 x = 2(arctg a + n), n = 1, 2, 3, 4, ….. при a

2) (a-1)cos x + (a + 1)sin x = 2a

Решение Запишем уравнение ввиде , т.е. (6) a) Если 3a-1 = 0, т.е. a = , то уравнение (6) имеет вид , т.е. . Отсюда , т.е. и , т.е. , т.е. , б) Если 3a-1 , то (6) можно записать так: , отсюда Уравнение имеет решение, если, если 1-, т.е.

Пример1

sin(2x + 3) = b + 1

Решение

1) Если , 2x + 3 = ,

2)Если , то решений нет

Ответ: Если b, то ,

Пример 2

Определить количество корней уравнения на отрезке *0; 2]

Решение

Исходное уравнение равносильно уравнению 

Итак, множество корней исходного уравнения совпадает с множеством решений совокупности двух уравнений. Из указанной серии решений первого уравнения на отрезок *0; 2+ попадают следующие четыре корня: 10 Для отыскания других корней исходного уравнения, содержащихся среди корней второго уравнения и попадающих на отрезок *0; 2+, рассмотрим четыре случая:

1) |a| 1, |a| , то уравнение sin = имеет на два новых корня

Ответ: Если |a| 1, |a| , то 6 корней

Пример 3 Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет на отрезке ровно три различных корня

Решение Данное уравнение равносильно такой совокупности двух уравнений:

a) Если a = 0, то На отрезок попадают ровно три корня:

б) Если a, тогда D = = и из квадратного уравнения относительно sin находим sin = 1, sin = Таким образом совокупность уравнений равносильна

Первые два уравнения имеют на ровно три корня, ранее указанные. Таким же свойством будет обладать вся совокупность уравнений лишь тогда, когда последнее уравнение либо имеет корни, уже известные, либо вообще не имеет корней на . Для этого необходимо и достаточно: Ответ:

Пример 4 Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет на отрезке *0; + ровно два различных корня Решение Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений Вычислим дискриминант первого уравнения: D = = 4 + 20 + 5 = Решая первое уравнение относительно cos , находим , Следовательно, совокупность уравнений равносильна 11 Первое уравнение имеет на *0; + только один корень , второе = не имеет корней на *0; +. Для того, чтобы совокупность уравнений имела на данном отрезке ровно два различных корня, необходимо и достаточно, чтобы параметр a удовлетворял следующей системе неравенств: Решение последней системы находим методом интервалов: 1; Ответ: a,

Задание из ЕГЭ

Найдите все положительные значения параметра, при которых в области определения функции есть двузначные натуральные числа, но нет ни одного трехзначного натурального числа

Решение Найдем область определения в зависимости от a. При a = 1 у неравенства нет решений, и значит, область определения пуста. Рассмотрим два других случая: 1) a 1, тогда x ax + 2 -2 (a-1)x т.к. a , то a - 1 0. Значит D(y) = Но в этом промежутке все числа отрицательные, то есть нет ни одного натурального числа. Поэтому такие a не удовлетворяют условию задачи. 2) 0 , (1 - a)x 0,02 0,8 Ответ: (0,8; 0,98]




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Прочее

Целевая аудитория: 11 класс

Скачать
Методика решения задач ЕГЭ по математике

Автор: Яковлева Елена Гимновна

Дата: 17.01.2016

Номер свидетельства: 277864

Похожие файлы

object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(61) "Подготовка к ЕГЭ. Решение задач С1"
    ["seo_title"] => string(40) "podghotovka-k-iege-rieshieniie-zadach-s1"
    ["file_id"] => string(6) "273172"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1452164650"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(79) ""Решение текстовых задач" - элективный курс "
    ["seo_title"] => string(47) "rieshieniie-tiekstovykh-zadach-eliektivnyi-kurs"
    ["file_id"] => string(6) "183641"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1425906721"
  }
}
object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(77) "Рекомендации ученикам по подготовке к ЕГЭ"
    ["seo_title"] => string(49) "riekomiendatsii-uchienikam-po-podghotovkie-k-iege"
    ["file_id"] => string(6) "276077"
    ["category_seo"] => string(22) "klassnomuRukovoditeliu"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1452676731"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(142) "Использование современных образовательных технологий на уроках математики. "
    ["seo_title"] => string(84) "ispol-zovaniie-sovriemiennykh-obrazovatiel-nykh-tiekhnologhii-na-urokakh-matiematiki"
    ["file_id"] => string(6) "181925"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1425409573"
  }
}
object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(28) "Задача №19 (егэ) "
    ["seo_title"] => string(16) "zadacha-19-ieghe"
    ["file_id"] => string(6) "166344"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1422952333"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства