Методика изучения дробей

Методика изучения дробей

В начальных классах, с целью подготовки к изучению дробей в 5 классе, по традиционной программе во 2 классе изучаются доли величины, их обозначение и сравнение, нахождение доли числа и числа по его доле; в 3 классе - образование дробей, их чтение и запись, сравнение дробей (простейшие случаи), нахождение части числа. Все эти вопросы раскрываются на наглядной основе.

К концу обучения в начальной школе учащиеся должны уметь:

1. Показывать и называть доли прямоугольника, круга и отрезка.

2. Читать и записывать доли в виде дроби со знаменателем, не превышающим число 10.

3. Решать задачи на нахождение доли числа и числа по его доле.

4. Показывать и называть часть прямоугольника, круга, отрезка.

5. Читать и записывать обыкновенные дроби со знаменателем, не превышающим числа 10; пользуясь записью дроби, сказать, на сколько равных частей, долей разделена величина и сколько таких частей взято.

6. Уметь сравнивать дроби, опираясь во всех случаях на рисунок.

7. Решать задачи на нахождение дроби числа.

Ознакомление с долями

Основная задача при ознакомлении с долями - научить детей практически образовать доли по математической записи и обратно: записывать доли, исходя из практических действий. Например, чтобы получить одну

третью долю круга, надо круг разделить на три равные части и взять одну такую часть; если круг разделили на шесть равных частей и взяли одну часть - это значит одна шестая доля круга.

При ознакомлении с долями у каждого ученика должны быть наглядные пособия, с которыми он работает, дублируя действия учителя. Предварительно создавая проблемную ситуацию, учитель мотивирует необходимость изучения новых чисел. После этого объявления темы, предлагает учащимся взять свои квадраты (заранее приготовлены) и просит их перегибанием разделить на две равные части (показывает как надо делать). Разрезав по линии сгиба, учитель наложением показывает учащимся, что две половинки равные и одну половинку называет "это одна вторая доля квадрата". После этого просит их показать одну вторую долю своего квадрата. Далее выясняют, что целый квадрат состоит из двух вторых частей.

Далее учащиеся аналогичным образом получают одну четвертую долю квадрата. После этого показываем запись долей: 1/2 и объясняем: число 2 показывает, что квадрат разделили на две равные части, а число 1 показывает, что взяли одну такую часть и т.д.

Закрепляя понятие доли, учащимся предлагаются вопросы:

1) Объясните, как получить 1/2 долю круга?

2) Что означает выражение " 1/5 отрезка"?

3) Круг разделили на 7 равных частей. Как назовете одну такую часть?

4 ) Отрезок разделили на 4 разные части. Можно ли одну часть назвать "одной четвертой долей отрезка"?

5) Назовите, какая доля прямоугольника закрашена и запишите эту долю (рис.115). Что обозначают в этой записи числа, записанные выше черты и ниже черты?

 

Сравнение долей

Учащимся предлагается взять два круга (или полоску бумаги) и разрезанием получить одну вторую и одну четвертую доли. Затем, одну вторую круга накладываем на одну четвертую круга и делаем вывод, что первое больше второго. Предлагаем записать: 1/2 1/4, 1/4

Далее можно научить сравнивать доли, используя отрезки. Пусть нам надо сравнить 1/3 и 1/4. Предлагаем начертить отрезок и показать дугой одну третью долю. Затем начертим такой же отрезок еще раз и просим показать одну четвертую долю. По длине отрезков делаем вывод, что 1/3 1/4 (рис.2).

Рис.2

Нахождение доли числа

Для ознакомления с решением задач на нахождение доли числа учителю полезно сначала провести практическую работу.

Учащимся раздаются полоски бумаги длиной 12 см, разделить ее (перегибанием) на 2 равные части. Измерить половину полоски.

- Сколько сантиметров содержится во всей полоске? (12 см.) А в половине ее? (Измерим - 6 см.) Разделите полоску на 4 равные части. Чему равна длина одной четвертой части полоски? Как это узнать без измерения? (Нужно 12 см разделить на 4, получится 3 см.) Почему нужно 12 разделить на 4? (Потому, что для получения одной четвертой доли полоску разделили на четыре равные части.) Проверим результат измерением. Запишем решение: 12:4=3 (см).

При решении других задач достаточно воспользоваться чертежом: число изобразить отрезком, который учащиеся делят на заданное число равных частей, обозначают долю, после чего выполняют решение устно или письменно.

В дальнейшем задачи на нахождение доли числа встречаются в задачах, в упражнениях типа: "Найди 1/4 от 1 м, 1/10 от 1 дм", "Сколько часов составляет 1/2, 1/4 сутки" и т.п.

Нахождение числа по его доле

При ознакомлении с задачами на нахождение числа по его доле, учителю сначала полезно провести практическую работу:

- Покажите свои полоски бумаги (полоски должны быть заготовлены заранее так, чтобы длина их была различной, но выражалась четным числом сантиметров). Покажите 1/2 полоски. Измерьте половину полоски. Чему равна длина 1/2 полоски? (Спросить у нескольких учеников.) Теперь подумайте, чему равна длина всей полоски. Как это узнать без измерения?

Снова спрашивается несколько учеников:

- Чему была равна 1/2 твоей полоски? Какова длина всей полоски? Как ты это узнал? Почему нужно было длину половины полоски умножить на 2? (Потому что во всей полоске содержится 2 раза постольку сантиметров, сколько их в половине.) Проверьте измерением.

После этого задачу "Длина 1/3 полоски равно 4 см. Какова длина всей полоски?" решают, используя чертеж. Изобразим отрезок, показывающий одну третью часть полоски. (Чертят отрезок длиной 4 см.) Какую часть всей полоски показывает этот отрезок? (1/3) Как нарисовать весь отрезок? (Взять 3 раза по 4 см.) Почему? (4 см - это полоски, а во всей полоске будет три трети.) Начертите. Какой длины была полоска? (12 см.) Как

узнали? (4*3=12 (см).)

При решении таких задач и упражнений вида: "Найди число, если 1/4 его равна 8" учителю надо научить учащихся сначала дать рассуждение: "четвертая часть числа (отрезка) равна 8, а само число (отрезок) будет в 4 раза больше, поэтому 8 умножим на 4 и получим 32" и только после этого записать решение. Этот образец рассуждения учащиеся должны запомнить. В противном случае они, задачи и упражнения на нахождение числа по его доле, будут продолжать решать делением. Это связано с тем, что в их памяти сохранилось мнение, что "доля - это делить" и поэтому они ошибочно полагают: " - это доля, значит 8 делим на 4".

Ознакомление с дробями

Образование дробей, как и образование долей рассматривается с помощью наглядных пособий.

Разделите круг на 4 равные части. Как назвать каждую такую часть? (Одна четвертая круга.) Покажите две четвертые доли. Вы получили дробь - две четвертых. Это записывают так 2/4. Сколькими частями вы покажете дробь 3/4? (Три четвертые доли.) Мы записали дроби 2/4, 3/4. Что показывает число 4? (Число 4 показывает, на сколько равных частей разделили круг.) А что показывают числа 2 и 3? (Сколько таких равных частей взяли.) Дроби 2/4 и 3/4 читают так: две четвертых, три четвертых. А теперь прочитайте упражнение учебника и объясните, как получены указанные дроби (в учебнике круги иллюстрируют дроби 1/8, 5/8, 3/8, 2/3).

После ознакомления с дробями учащиеся выполняют упражнения:

1) на объяснение образования дробей по готовому рисунку;

2) на запись дробей по готовому рисунку;

3) изображение дробей с помощью отрезка (например, покажи 3/5 отрезка);

4) на сравнение дробей в основном по изображению равных прямоугольников.

Учащимся предлагается начертить 4 одинаковых прямоугольника (рис.3):

Рис. 3

В первом целом прямоугольнике запишем число 1. Второй прямоугольник разделите на 2 равные части и запишите полученные доли. Сколько вторых долей в целом прямоугольнике? Третий прямоугольник разделите на 4 равные части и запишите полученные доли. Сколько четвертых долей в целом прямоугольнике? Сколько четвертых долей в половине? Что больше: одна вторая или одна четвертая? Запишем так: (1/2 1/4). Какие числа знаки поставим, чтобы следующие равенства и неравенства были верными: 1/2 = □ /4, 3/4 * 1/2, 2/4 * 3/4?

Следующий прямоугольник делится на 8 равных частей и учащиеся отвечают на аналогичные вопросы.

Сравнение дробей можно иллюстрировать отрезками. Например, при сравнении дробей 2/5 и 3/4 ученик выполняет чертеж (рис.4):

Рис. 4

рассуждая при этом так: "на отрезке покажу 2/5 и 3/4: для этого его разделю на 5 равных частей и возьму 2 части; такой же отрезок разделю на 4 равные части и возьму 3 части. Вижу, что второй от резок, отмеченный дугой, длиннее и поэтому 3/4 2/5.

Задачи на нахождение дроби числа

Для ознакомления с решением задач на нахождение дроби числа лучше первыми включить задачи с отрезками, так как в этом случае легко иллюстрировать решение.

Предлагается решить задачу: "Начертите отрезок длиной 12 см. Сколько сантиметров в 2/3 отрезка?". Ученики чертят отрезок заданной длины. Как получить 2/3 отрезка? (Разделить отрезок на 3 равные части и взять 2 такие части.) Разделите отрезок на 3 равные части. Как назвать каждую часть? (Одна третья.) Покажите 1/3 отрезка.(Ученики проводят сверху дугу и записывают:1/3) Сколько сантиметров в 1/3 отрезка? (4 см.) Как узнали? (12:3=4.) Покажите 2/3 отрезка. (Подчеркивают дугой снизу две третьих отрезка и подписывают: 2/3) Как узнать, сколько сантиметров в двух третьих отрезка? (4*2=8.)

Запись на доске и в тетрадях:

12:3=4 (см) 4*2=8 (см)

После достаточного осмысления последовательности этих двух действий можно решение записывать в виде: 12:3·2 =8 (см).

Рассматривая еще несколько задач, делаем вывод: чтобы найти, например,3/4 от числа 8, это число делим на 4 и умножим на 3.

Позднее задачи на нахождение дроби включаются в составные задачи. Например: "С одного опытного участка собрали 45 ц пшеницы, с другого втрое больше. 2/3 всей пшеницы насыпали в мешки по 80 кг в каждый. Сколько получилось мешков пшеницы?". Решение лучше записывать в виде отдельных действий:

1) 45*3=135 (ц) - пшеницы собрали с другого участка;

2) 135+45=180 (ц) пшеницы собрали с двух участков;

3) 180:3*2=120 (ц) - пшеницы насыпали в мешки;

4) 12000:80=150 (мешков) - пшеницы получилось.

Различные упражнения с дробями следует чаще включать для устных и письменных работ в течение всего учебного года.

Задачи на доли

Задачи на нахождение части от целого

Д
лина ленты 10м. Найдите 1\5 этой ленты. 

10:5=2(м) - длина 1\5 всей ленты.

Задачи на нахождение целого по его части

О
т ленты отрезали 4м. Найдите длину всей ленты, если отрезали 1\4 ленты. 

 4*4=16(м)- длина всей ленты.

Задачи на нахождение дробного отношения

О
т ленты длиной 10м отрезали 1м. Какую часть ленты отрезали. Чаще всего такие задачи решаются устно. Или так 1:10=1/10 – всей ленты.

Задачи на дроби

Задачи на нахождение части от целого

Д
лина ленты 10м. Найдите 3\5 этой ленты. 

 1) 10:5=2(м)- длина 1\5 всей ленты.

2) 2*3=6(м)- длина 3\5 всей ленты

Задачи на нахождение целого по его части

О
т ленты отрезали 9м. Найдите длину всей ленты, если отрезали 3\4 ленты.  

1)9:3=3(м)- длина 1\4 всей ленты.

2) 3*4=12(м)- длина всей ленты.

Задачи на нахождение дробного отношения

От ленты длиной 10м отрезали 5м. Какую часть ленты отрезали. 

Чаще всего такие задачи решаются устно. Или так 5:10=5/10 – всей ленты (сокращать в начальной школе дети не умеют).

Действия с обыкновенными дробями.

Сложение и вычитание.

1. Привести дроби к общему знаменателю.

2. Сложить или вычесть числители, а знаменатель оставить без изменения.

Умножение.

Умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель (по возможности – сократить).

Деление.

Делитель (вторую дробь) «перевернуть» и выполнить умножение.

Выделение целой части из неправильной дроби.

Перевод смешанного числа в неправильную дробь.

Сокращение дроби.

Сократить дробь – разделить числитель и знаменатель на одно и тоже число.

Например:  Можно короче: .

Приведение дробей к общему знаменателю.

• найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей (наименьший общий знаменатель);

• разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;

• умножить числитель и знаменатели каждой дроби на ее дополнительный множитель

Привести к общему знаменателю дроби: 5/6 и 4/9.

НОК(6, 9) = 18

18/6 = 3 — дополнительный множитель первой дроби,
18/9 = 2 — дополнительный множитель второй дроби.

Тогда:

5	=	5·3	=	15
6		6·3		18

4	=	4·2	=	8
9		9·2		18

НОК – наименьшее общее кратное

Сложение и вычитание смешанных чисел.

Сложить или вычесть отдельно целые части, отдельно - дробные.

«Особые» случаи:

«Превратить» 1 в дробь, у которой числитель и знаменатель равны знаменателю данной дроби.

Занять 1 и «превратить» её в дробь, у которой числитель и знаменатель равны знаменателю данной дроби.

Занять 1 и прибавить знаменатель к числителю.

Умножение и деление смешанных чисел.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и выполнить умножение или деление.