Комбинаторные задачи в начальной школе

Комбинаторные задачи в начальном курсе математики

Начальный курс математики имеет все возможности для предварительного знакомства учащихся с комбинаторными задачами и методами их решения на соответствующем уровне.

« Включение комбинаторных задач в начальный курс математики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников.

Решение таких задач дает возможность расширять знания учащихся о самой задаче , например, о количестве и характере результата (задача может иметь не только одно , но и несколько решений – ответов или не иметь решения), о процессе решения (чтобы решить задачу, не обязательно выполнять какие – либо действия).

Учащиеся также знакомятся с новым методом решения задач. На комбинаторных задачах идет обучение методу перебора , решение задач с помощью таблиц, графов, схемы-дерева.

Кроме того, целенаправленное обучение решению комбинаторных задач способствует развитию такого качества мышления , как вариативность . Под ней понимается направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задачи в случае , когда нет специальных указаний на это».

« Многие комбинаторные задачи способствуют развитию мышления младших школьников . Поэтому необходимо включать комбинаторные задачи в обучение младших школьников .

В основе системы обучения решению таких задач лежат следующие принципы:

• психологическое содержание обучения составляет стратегия развития гибкости мышления детей;

• учет процесса интерриоризации (первоначальное выполнение заданий в практической деятельности , затем перенесение практических действий через речевые в план умственных действий);

• последовательное использование метода перебора с целью обучения рациональным приемам систематического перебора как основы для введения в дальнейшем комбинаторных правил и формул.

Сложность комбинаторных задач заключается в том , что при их решении должна быть выбрана такая система конструированного перебора , которая давала бы полную уверенность в том , что рассмотрены все возможные случаи (без повтора комбинаций).

Перебор всегда осуществляется по какому-либо признаку объектов и напрямую связан с операцией классификацией объектов. Поэтому важным элементом готовности ребенка к овладению способами решения комбинаторных задач является его умение выделять различные признаки предметов, классифицировать множества одних и тех же объектов по различным основаниям.

В основе комбинаторных действий ,в частности перебора всех возможных вариантов , лежат действия с конечными множествами. Объективный анализ ситуации , описанной в комбинаторной задаче, и правильное выполнение операций с множествами , о которых идет речь в задаче предполагают:

• владение на достаточно высоком уровне рядом логических и теоретико - множественных понятий (некоторый, каждый, все, отдельные, множество, часть, целое);

• понимание смысла союзов-связок и, или;

• умение устанавливать заданные отношения между элементами множеств и между множествами.

Целенаправленная пропедевтическая работа позволяет подготовить детей к знакомству с комбинаторными задачами. Сначала такие задачи решаются на основе практических действий путем перебора. Перебор может предусматривать обнаружение как всех возможных комбинаций с объектами , так и лишь их части , удовлетворяющей условиям задачи.

Приведем пример. У детей 5-6 лет на столах приготовлены бумажные геометрические фигуры разного цвета и размера : три круга(красный, желтый и зеленый) и два треугольника (желтый и зеленый).Эти фигуры обозначают фрукты разного цвета : три яблока и две груши.

Педагог сообщает детям, что к ним в гости на занятие пришли герои сказок (три медведя и девочка Маша), которые просят «сварить» для них разные компоты. Каждому медведю надо приготовить свой компот. В компоте должны быть яблоки и груши. Всего четыре фрукта. Каждый ребенок самостоятельно выполняет задание, составляя четыре вида компота, с помощью перебора различных комбинаций бумажных геометрических фигур разного цвета.

На следующем этапе формирования умения решать комбинаторные задачи происходит переход обучения от предметных действий к использованию схематизации, то есть решаются задачи с помощью таблиц и графов.

К решению комбинаторных задач с использованием таблиц можно перейти после того ,как освоен принцип их составления.

Целесообразно использовать специальные трафареты таблиц, в которых сделаны «окошки» в верхней стороне и первом столбике, а также прорези, намечающие места записи всех комбинаций. Это позволяет экономить время на вычерчивание самой таблицы. Например, для записи букв в математическом царстве один писарь предложил использовать знаки V ,N,Z. Сколько слов он сможет записать с помощью этих знаков, если для записи каждого из них можно использовать только два знака?

Работаем с трафаретом, дети вписывают в «окошки» данные задачи, а через прорези намечает места записи составленных объектов. Убрав трафарет, они могут отчертить прямыми линиями условие задачи. Затем с помощью предложенных значков учащиеся вписывают в соответствующие летки слова и подсчитывают их количество.

При заполнении таблиц, особенно на начальном этапе, важно обращать внимание детей на то, следует ли записывать составленное соединение, не повторяет ли оно уже имеющееся и удовлетворяет ли условиям задачи.

Другим средством организации перебора являются графы.

Например, встретились пятеро друзей, здороваясь, они пожали друг другу руки.

Сколько всего рукопожатий было сделано? Сначала выясняется, как можно обозначить каждого человека. Рассматривая разные предложения, дети приходят к выводу, что удобнее изображать детей точками. Педагог советует расположить точки по кругу. Дети придумывают, как показать человека, которые пожали друг другу руки.

От двух точек навстречу друг другу проводятся черточки – «руки», которые, встречаясь, образуют одну линию. Так происходит переход к символическому изображению рукопожатия. Сначала составляются рукопожатия одного человека, потом переходят к другому человеку. И так действуют до тех пор, пока все не «поздороваются» друг с другом. По получившемуся графу подсчитывается число рассуждений /их всего 10/

Для решения комбинаторных задач детей также можно познакомить с граф-деревом. Важно, чтобы необходимость схематизации возникла у каждого ребенка, как внутренняя потребность зафиксировать свои рассуждения графически.

Например, учитель задает вопрос: «Сколько различных башенок можно построить из трех кубиков красного, синего и желтого цветов?»

При решении этой задачи дети могут прибегнуть к практическим действиям. Но важно подвести их к необходимости рационализировать перебор всевозможных вариантов башенок с помощью вопросов: «Как бы ты решил эту задачу, если бы у нас не было конструктора с кубиками? Все ли возможные башенки ты построил? Как это проверить?»

В процессе ответа ученику приходится выстраивать цепочку умозаключений, ориентируясь на два признака кубика: цвет и место расположения в башенке.

Называя новый вариант башенки, ребенку приходится удерживать в памяти все предыдущие варианты и соотносить их друг с другом, что достаточно сложно.

Чтобы выйти из этого положения, учащимся предлагают перейти к построению графа-дерева.

Ж С Ж К С К верхний кубик

| | | | | |

C Ж К Ж К С средний кубик

\ / \ / \ /

К С Ж нижний кубик

\__________|__________/

?

Анализируя построенный граф, педагог, может обратить внимание детей на закономерность: каждый кубик два раза оказывается на каждом «этаже» (кроме нижнего). Осознав эту закономерность, ученики могут сделать вывод, что по условию задачи можно построить ровно 6 башенок…

На четвертом этапе детей необходимо познакомить с такими правилами комбинаторики, как правило суммы и правило произведения; подвести к применению комбинаторных формул без их обозначения (для подсчета числа сочетаний, размещений и перестановок). В процессе достижения выделенных задач каждый ребенок учится представлять в умственном плане все возможные варианты комбинаций без обращения к практическим или графическим средствам. Педагогу важно организовать учебный процесс так, чтобы дети активно рассуждали, комментировали свои действия и на основе правил суммы и произведения получали ответ на поставленный вопрос о подсчете числа комбинаций.

Таким образом, обобщая рациональные приемы систематического перебора, ученики переходят на такой уровень решения комбинаторных задач, когда они могут, рассуждая вслух, проводить доказательства в обобщенном лане, не обращаясь к выделению каждого частного варианта перебора. Здесь не подразумевается полный отказ от схем, таблиц и графов, а имеется ввиду лишь их рациональное использование. Одним из критериев сформированности комбинаторных действий на достаточно высоком уровне является самостоятельное, аргументированное, логическое рассуждение детей в плане громкой речи с опорой на модели , комбинаторные правила и формулы.

Этап обобщения рациональных приемов систематического перебора целесообразнее начать с комбинаторной задачи на правило суммы. Это правило дети могут «открыть» для себя на примере такой задачи: «В вазе 4 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно взять из вазы один из фруктов?» Приведем возможный вариант беседы учителя с детьми:

- Что значит «взять 1 из фруктов? Это значит взять яблоко или грушу.

- Сколькими способами можно взять 1 яблоко? Почему? (Четырьмя способами, так как яблок всего 4 они разные).

- сколькими способами можно взять 1 грушу и почему? (Тремя способами, так как груш всего 3 и они разные).

- Сколькими способами можно взять один из фруктов?( Семью способами 7=4+3).

После решения нескольких задач важно обобщить, когда же применяется правило суммы. Ученики делают вывод: «Это правило необходимо, когда нужно выбрать 1 предмет из нескольких различных множеств».

Могут предлагаться такие виды задач:

1. У Вани 2 книжки со сказками и 3 с раскрасками.

Сколькими способами он может выбрать книгу для чтения?

Измени условие задачи так, чтобы количество способов увеличилось (уменьшилось).

2. Составь свою комбинаторную задачу, которая решается так 5+4.

3. Составь комбинаторную задачу на правило суммы, используя слова магазин. Рыбки. купить.

На следующем этапе совместно с учащимися могут быть рассмотрены задачи на правило произведения. Следует уделить особое внимание осознанию смысла этого правила, так как в дальнейшем на его основе будут решаться задачи на определение числа размещений, перестановок, сочетаний из n элементов по m.

Приведем пример задачи: «В вазе 4 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно взять из вазы пару фруктов: яблоко и грушу?»

- Можно ли здесь для ответа на вопрос задачи применить правило суммы?

Почему? (Нет, так как в задаче требуется выбрать пару фруктов).

- Сколькими способами можно выбрать1 яблоко для набора (четырьмя способами).

- Пусть яблоко выбрано.

Сколькими способами можно выбрать 1 грушу?

(Грушу можно выбрать к каждому яблоку 3 способами)

- Сколько всего способов выбора груши к яблокам мы нашли?

(Всего 12 способов: 4х3=12)

Ученики могут проверить правильность своих рассуждений, решая эту задачу с помощью таблицы.

Ученикам при решении комбинаторных задач на правило произведения предлагается задача на определение числа размещений из n элементов по m элементов.

Например, из 5 картин нужно повесить на стену в один ряд только 3 картины. Сколькими способами можно отобрать из 5 картин 3, чтобы наборы отмечались не только картинами, но и порядком расположения.

Важно обратить внимание на то, что составляемые наборы должны отличаться ре только составом картин , но и их расположением.

Приведем возможные рассуждения учеников: «Из 5 различных картин на первое место картину можно выбрать 5 способами , на второе место 4 способами , а на третье – тремя способами» . Всего из 5 картин можно выбрать наборы по 3 картины и расположить их в один ряд: 5*4*3=60 способа.

Задачи с перестановками из n элементов могут быть введены педагогом как частный случай задач с размещениями из n элементов по m, когда m=n. Поэтому большую часть работы по исследованию способа решения таких задач учащиеся могут выполнить самостоятельно. Сначала педагог может предложить следующие задание:

- Внимательно прочитайте задачи. Чем они похожи? Чем отличаются?

Задача 1.

Из 5 картин нужно повесить в ряд только 3. Сколькими способами можно отобрать из 5 картин 3, чтобы наборы отличались не только наборами(картинами), но и порядком расположения.

Задача 2.

Сколькими способами можно повесить на стену 3 картины в ряд?

Анализируя задачу 2, педагог может предложить ученикам представить, как они будут по-разному развешивать картины. Педагог сообщает, что в этой задаче надо найти число перестановок из трех элементов.

Задача 1 была решена школьниками. А вот рассуждения второй задачи: «Из трех различных картин на первое место картину можно выбрать тремя способами, на второе – двумя способами, на третье – одна картина. Поэтому на стену три картины можно повесить 3•2•1=6 способами».

Используя приемы сравнения двух задач и способов их решения, ученики вместе с педагогом могут рационализировать и процесс определения числа сочетаний из n элементов по m. Для этого им можно предложить сравнить следующие задачи:

Задача 1 Три ученика дежурят по одному в классе, толовой и коридоре. Сколькими способами могут быть выбраны эти дежурные из четырех человек?

Задача 2 Сколькими способами могут быть выбраны три ученика из четырех для дежурства в классе?

Подобной парой задач педагог предлагает, чтобы показать отличия размещений от сочетаний из n элементов по m. Такая цель достигается в процессе сравнительного разбора и решений этих задач при последовательной организации следующей деятельности учеников на занятии.

Опираясь на предыдущий опыт решения аналогичных задач, учащиеся могут найти решения первой задачи: 4•3•2=24 способами.

После этого педагог предлагает решить эту задачу с помощью практического перебора выборок.

А во второй задаче число перестановок из трех человек: 3•2•1=6

В заключении педагог подводит учеников к обобщению, в котором отмечается чем похожи и чем отличаются предложенные задачи» [10, 83-90]

Таким образом, на основе проработанной литературы, методика обучения решению комбинаторных задач включает четыре этапа. Каждый из этапов обучения комбинаторики связан с возрастными особенностями интеллектуального развития детей от 4 до 10 лет и не имеет жесткой привязанности к определенной возрастной группе. Этап обобщения рациональных приемов перебора является итогом подготовки детей к введению комбинаторных формул.

И также включение в обучение детей дошкольного и младшего школьного возраста комбинаторным задачам будет способствовать как интеллектуальному развитию ребенка в целом, так и возможности « создавать полезные комбинации», что позволит в будущем решать творческие задачи.