Из истории действительных чисел

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Лодейнопольская средняя общеобразовательная школа №68»

РАБОТА ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

на тему:

«Из истории действительных чисел»

Учитель математики МКОУ «Лодейнопольская СОШ №68»

Катковская Г. В.

г. Лодейное Поле 2014 год

Введение.

В условиях современного мира модернизация и инновационное развитие - единственный путь, который позволит России стать конкурентным обществом в мире 21-го века, обеспечить достойную жизнь всем нашим гражданам. В условиях решения этих стратегических задач важнейшими качествами личности становятся инициативность, способность творчески мыслить и находить нестандартные решения, умение выбирать профессиональный путь, готовность обучаться в течение всей жизни. Все эти навыки формируются с детства. 
Школа является критически важным элементом в этом процессе. Главные задачи современной школы - раскрытие способностей каждого ученика, воспитание порядочного и патриотичного человека, личности, готовой к жизни в высокотехнологичном, конкурентном мире. Школьное обучение должно быть построено так, чтобы выпускники могли самостоятельно ставить и достигать серьёзных целей, умело реагировать на разные жизненные ситуации. Развитие креативного мышления позволяет решать задачи, поставленные перед школой

Главная задача в развитии креативных способностей учащихся – это развитие мыслительной деятельности. При этом ориентироваться нужно не на уже достигнутый учеником уровень развития, а немного забегать вперёд, предъявляя к его мышлению требования, превышающие его возможности, и всюду, где только возможно, будить мысль ученика, развивать активность, самостоятельность и – как высший уровень – креативное творческое мышление.

Поставив целью развитие креативных, творческих способностей детей, можно выделить ряд задач:

– поддерживать и развивать интерес к предмету;

– формировать приемы продуктивной деятельности, такие как анализ, синтез, индукция, дедукция и т.д.;

– прививать навыки исследовательской работы;

– развивать логическое мышление, пространственное воображение;

– учить основам самообразования, работе со справочной и научной литературой, с современными источниками информации;

– показывать практическую направленность знаний, получаемых школьниками на уроках математики;

– учить мыслить широко, перспективно, видеть роль и место математики в общечеловеческой культуре, ее связь с другими науками

Математика начинается не со счета, а с загадки, проблемы. Обучение творчеству имеет важный социальный аспект. Если школьник с самого начала своей ученической деятельности подготавливается к тому, что он должен учиться создавать, придумывать, находить оригинальные решения задач, то формирование личности этого школьника будет отличаться от того, как формируется личность ребенка, обучаемого в рамках идеологии повторения сказанного учителем. Цель любого преподавателя — организовать обучающий процесс так, чтобы дать ученику возможность и мотив самостоятельной исследовательской работы! А вот задача ученика — использовать этот тактический шаг таким образом, чтобы самому прийти к истине!

Изучение истории развития математики позволяет учить ребенка мыслить критически, потому что история науки и ее прошлого должна критически составляться каждым научным поколением и не только потому, что меняются запасы наших знаний о прошлом, открываются новые документы или находятся новые приемы восстановления былого. Историю науки необходимо вновь научно перерабатывать, вновь исторически уходить в прошлое, потому что, благодаря развитию современного знания, в прошлом получает значение одно и теряет другое. Каждое поколение научных исследователей ищет и находит в истории науки отражение научных течений своего времени. Двигаясь вперед, наука не только создает новое, но и неизбежно переоценивает старое, пережитое. В этой работе я предлагаю информацию из истории действительных чисел, который использую на уроках в 5-6 классах. История действительных чисел вызывает живой интерес у учащихся.

Появление чисел. Обозначение чисел цифрами.

Первые исторические сведения о появлении чисел используются в 5 классе при изучении раздела «Натуральные числа».

Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. В своей теории Гегель делит историю появления чисел на 3 этапа:

1. Установление случайного нерегулярного взаимнооднозначного соответствия между двумя множествами.

2. Появление различных эталонов счета (в начале естественных, затем искусственных эталонов счета).

3. Переход к единому наиболее удобному эталону счета.

Понятие числа зародилось в глубокой древности. На протяжении веков это понятие подвергалось расширению и обобщению. Так, еще недавно у туземцев остров в Торресовом проливе (отделяющем Новую Гвинею от Австралии) были в языке названия только двух чисел: «урапун» (один) и «оказа» (два). Островитяне считали так: «оказа-урапун» (три), «оказа-оказа» (четыре) и т. д. Все числа, начиная с семи, туземцы называли словом, обозначающим «много».

Когда-то численность множества не отделялась от других его качеств, и для того чтобы сравнить два множества, их элементы располагали друг против друга. Но потом оказалась, что удобнее сравнивать все множества с одним и тем, же множеством-посредником. Так как пальцы были всегда при себе, то и стали считать по пальцам. А потом появились особые названия для чисел – сначала для небольших, а потом для все больших и больших чисел. Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их.

Первыми записями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или костях, а позднее – черточки. Но большие числа изображать таким способом было не удобно, поэтому стали применять особые знаки (цифры) для некоторых совокупностей черточек.

В Древнем Египте около 5000 лет назад стали обозначать число 10 иероглифом (возможно, это символ дуги, которую ставили над десятком черточек), число 100 – знаком @ (это символ измерительной веревки) и т. д. Из таких цифр составляли десятичную запись любого числа, например число 124 обозначали так: @.

В Древней Греции числа 5, 10, 100, 1000, 10000 обозначали буквами Г, ∆, Н, Х, М, а число 1 – черточкой /. Позднее числа 1, 2, 3,4,5,6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000 и т. д. стали обозначать буквами греческого алфавита, к которому пришлось добавить еще три устаревшие буквы. Чтобы отличить цифры от букв над цифрами ставили черточку.

Сходная система обозначения чисел применялась и в Древней Руси, культура, которой была тесно связана с греческой культурой Византии. Над буквами, обозначавшими числа, ставили специальный знак – титло.

Первые десять букв алфавита обозначали единицы, следующие девять букв – десятки, а последние девять букв – сотни. Число десять тысяч называли словом «тьма» (и теперь мы говорим: «народу – тьма тьмущая»).

Из Древнего Рима дошли до нашего времени цифры I (1), V (5), X (10), C (100), D (500), M (1000). Одни ученые считают, что V обозначает раскрытую ладонь, а Х – две ладони или скрещенные руки. Другие считают, что знак Х ведет свое происхождение от двух линий, которыми перечеркивали десяток черточек, а V обозначает половину от Х. От римлян эта нумерация пришла в Европу и многие азиатские страны.

Вавилоняне уже пользовались позиционным принципом в обозначении чисел – один и тот же знак обозначал у них 1, и 60, и 3600 (их система счисления была шестидесятеричной). Не знали они только знака нуля – это замечательное открытие делали индийские математики в VI в.

Современная десятичная запись натуральных чисел впервые появилась в Индии в VI. Через арабов, завоевавших в VII–VIII вв. обширные районы Средиземноморья и Азии, индийская нумерация получила широкое распространение. Отсюда и название - арабские цифры. Эта система была введена в Европе примерно в 1120 году английским ученым-путешественником Аделардом. К 1600 году она была принята в большинстве стран мира.

В страны Европы новая, индийская нумерация была также занесена арабами в Х–ХIII вв., однако вплоть до ХVIII в. в официальных бумагах разрешалось ставить только римские цифры. Лишь к началу ХIХ в. индийскую нумерацию стали применять повсеместно.

В Росси уже в ХVII в. во всех без исключениях рукописях встречается только десятичная система счисления. В ней значение цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Поэтому такую систему счисления называют позиционной. Раньше некоторые народы применяли другие системы счета. В теплых странах Африки и Америки, где люди ходили босыми, для счета применялись не только пальцы рук, но и пальцы ног.

Для практических нужд требовалось не только уметь обозначать числа, но и выполнять с ними арифметические действия. Вавилоняне, чтобы справиться с трудностями своей шестидесятеричной системы счисления, применяли таблицы произведений, квадратов, кубов и т. д. А древние греки и римляне считали с помощью абака – прибора, похожего на русские счеты, но с камешками вместо косточек.

Замечательным достижением индийских математиков было введение понятия нуля и знака для него, что позволило им создать десятичную систему записи натуральных чисел и разработать правила операций над записанными так числами. Эту запись чисел стали применять математики восточных стран, откуда она попала в Европу. Теперь стало возможным записывать громадные числа. Цифрой нуль стали обозначать отсутствие единиц в разрядах десятичной записи числа.

Ученые полагают, что слово для обозначения сотни появилось более 7000 лет назад, для обозначения тысячи 6000 лет назад, а 5000 лет тому назад в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне появляются названия для громадных чисел – до миллиона. Но долгое время натуральный ряд чисел считали конечным: люди думали, что существует самое большое число. Величайший древнегреческий математик и физик Архимед (287 – 212 гг. до н. э.) придумал способ описания громадных чисел. Самое большое число, которое умел называть Архимед, было настолько велико, что для его цифровой записи понадобилась бы лента в две тысячи раз длиннее, чем расстояние от Земли до Солнца. Архимед разработал систему обозначения чисел вплоть до такого громадного числа, как. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

Появление дробей.

Понятия «обыкновенные дроби» и «десятичные дроби» также впервые вводится в 5 классе, но исторические сведения о появлении дробей можно использовать не только в 5 классе, но и в 6 и 7 классах.

С древних времен людям приходилось не только считать предметы (для чего и потребовались натуральные числа), но и измерять длину, время, площадь, вести расчеты за купленные или проданные товары. Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Приходилось учитывать и части, доли меры. Так появились дроби.

В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» - разбивать, ломать на части. В первых учебниках математики (в XVII веке) дроби так и назывались «ломаные числа». У других народов название дроби также связано с глаголом «ломать», «разбивать», «раздроблять».

Наряду с натуральными числами применяли дроби – числа, составленные из целого числа долей единицы. Понятие дроби создалось не сразу. Представление о «половине» возникло гораздо раньше, чем о «третях» и «четвертях». Необходимость выполнять измерения (длин, площадей, веса и т. д.) привела к положительным рациональным числам, т. е. дробям. Следы исторической связи исчисления дробей и системы мер можно обнаружить у многих народов. Так в вавилонской системе мер веса (и денег) 1 талант составляет 60 минут, а одна мина – 60 шекелей. Соответственно с этим в вавилонской математике широко употреблялись шестидесятеричные дроби. В древнеримской весовой (и денежной) системе 1 асс делился на 12 унций; сообразно с этим римляне пользовались двенадцатеричными дробями. Дробь, которую мы называем , римляне именовали «унцией», дробь, которую мы называем , римляне называли «полторы унции».

Дроби общего вида, у которых числители и знаменатели могут быть любыми натуральными числами, появляются в некоторых сочинениях древнегреческого ученого Архимеда (287 – 212 гг. до н. э.). Индийское обозначение дробей и правила действий над ними были усвоены в IХ веке в мусульманских странах благодаря Муххамеду аль-Хорезми. Древние греки практически умели производить все действия над обыкновенными дробями. Действия над дробями еще в средние века считались самой сложной областью математики. До сих пор немцы говорят про человека, попавшего в затруднительное положение, что «он попал в дроби». Правила действий с дробями, изложенные индийскими ученым Брамагуптой (VIII век н. э.).

Современное обозначение дробей берет свое начало в Древней Индии; его стали использовать и арабы, а от них в XII – XIV веках оно было заимствовано европейцами. Дроби выражались словесно, применяли особую запись, в которой около числа, обозначающего знаменатель дроби, справа ставился штрих, использовались и другие способы записи.

Вначале в записи дробей не использовалась дробная черта; например, числа записывалась так: . Современная запись дроби была введена лишь в 1202 г. в Западную Европу итальянским купцом и математиком Леонардо Фибоначчи из Пензы в его произведении «Книга абака». Названия «числитель» и «знаменатель» ввел в XIII веке Максим Плаунд – греческий монах, ученый-математик.

Наряду с «обыкновенными дробями» применялись и шестидесятеричные дроби. Они были позднее вытеснены десятичными дробями, которые были придуманы для того, чтобы облегчить действия с обыкновенными дробями. Ввел их выдающийся самаркандский ученый Гиясэддин Джемшид аль-Каши Ибн Масуд (ХIV–ХV века), работавший в городе Самарканде в обсерватории Улугбека. Он же описал и правила вычислений с десятичными дробями. Записывал аль-Каши десятичные дроби так же, как принято сейчас, но он не пользовался запятой: дробную часть он записывал красными чернилами или отделял вертикальной чертой.

Это нововведение оставалось неизвестным европейским математикам. В Европе десятичные дроби были введены в практику голландским купцом и выдающимся инженером-ученым Симоном Стевином в 1584 г. Стевин записывал десятичные дроби довольно сложно. Например, число 24,56 выглядело так: 24 0 5 1 6 2 или - вместо запятой нуль в кружке (или 0 над целой частью), цифрами 1, 2, 3, ... помечалось положение остальных знаков.

Запятая или точка для отделения целой части стали использоваться с XVII века. В России учение о десятичных дробях изложил Леонтий Филиппович Магницкий в 1703 году в первом учебнике математики «Арифметика, сиречь наука числительная».

Долгое время дроби не называли числами. Иногда их называли «ломаными числами». Только в ХVIII в. дроби стали воспринимать как числа. Этому способствовал выход в 1707 г. книги английского ученого И. Ньютона (1643 – 1727) «Всеобщая арифметика», в которой дроби не только признаются равноправными числами, но и происходит расширение понятия дроби как частного от деления одного выражения на другое. В этой книге, в частности, говорится: «Запись одной из двух величин под другой, ниже которой между ними проведена черта, обозначает частное или же величину, возникающую при делении верхней величины на нижнюю. Так означает величину, возникающую при делении 6 на 2, ... - величину, возникшую при делении 5 на 8, ... есть величина возникающая при делении на ,... означает величину, получающуюся при делении на , и т. д. Величины такого рода называются дробями».

Простые, составные, совершенные и дружественные числа.

Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «...элементы чисел являются элементами всех вещей, и весь мир в целом является гармонией и числом». Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытию, сделанным одним из пифагорейцев. Им было доказано, что нельзя выразить рациональным числом диагональ квадрата, если за единицу измерения принять его сторону. Такие отрезки, как диагональ квадрата и его сторона, назвали несоизмеримыми. Отсюда следовало, что натуральных чисел недостаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было не возможно.

Открытие несоизмеримых величин наложило глубокий отпечаток на развитие древнегреческой математики. Т. к. в то время не знали чисел, отличных от натуральных и дробей, возникли две науки, которые развивались параллельно, но имели различные объекты изучения: арифметика – наука о числах и геометрия, в которой, в частности, рассматривалось учение о величинах – длинах, площадях, объемах.

Древнегреческие ученые умели складывать и вычитать величины, находили их кратные и доли, а над их отношениями умели выполнять операции умножения, деления, возведения в степень. Однако, поскольку не существовало общей идеи числа, все эти операции невозможно было объединить в единую систему, в арифметику действительных чисел. Это тормозило развитие древнегреческой науки, сковывало, как панцирь, живое тело античной математики. Гораздо свободнее, но менее строго, обращались к числам ученые, занимавшиеся практическими задачами: астрономы, землеустроители, географы и т. д. В их работах, относящимся ко II – III вв. до н. э., постепенно стирается грань между числами и величинами. В течение более 25 столетий задачи теории чисел были любимой областью исследования крупнейших математиков и многих тысяч дилетантов. Еще в Древней Греции в пифагорейской школе (6 в. до н. э.) изучалась делимость целых чисел. Были выделены отдельные подклассы целых чисел, как например, простые, составные, квадратные числа и т. д. Изучалась структура совершенных чисел (число а, равное сумме своих истинных делителей, т. е. натуральных делителей, отличных от самого а, называется совершенным) и дружественных чисел (если для двух чисел а и b сумма истинных делителей каждого из них равняется другому, то такие числа называются дружественными). Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа (6, 28, 496). Четвертое – 8.128 – стало известно в I веке н. э. Евклиду. Пятое – 33.550.336 – было найдено в XV веке. К 1983 году было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор ученые не знают, есть ли нечетные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо составное, т. е. может быть представлено в виде произведения простых чисел. Простые числа – это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа. Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно – в одних частях ряда их больше, в других – меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли самое большое простое число? Древнегреческий математик Евклид (III век до н. э.) в своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть еще большее простое число.

В этот же период времени было дано решение неопределенного уравнения в целых числах. Евклид в своих «Началах» дал систематическое построение теории делимости. Он впервые высказал теорему об однозначном разложении натурального числа на простые множители, играющую основную роль в теории делимости целых чисел, и с её помощью построил арифметику рациональных чисел. Евклид доказал теорему, что при простом является совершенным. Кроме того, Евклид дал решение первой задачи из теории распределения простых чисел в натуральном ряде, доказав бесконечность числа простых чисел.

Вскоре после Евклида Эратосфеном (276 – 194 гг. до н. э.) был найден метод получения всех простых чисел, не превосходящих некоторого натурального числа , который носит название «решето Эратосфена». Этот метод заключается в следующем: Эратосфен записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычеркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8, 10 и т. д.) Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два числа все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3). В конце концов, оставались не вычеркнутыми только простые числа:

Т. к. греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычеркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена и называют «решетом Эратосфена»: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных. Таким способом и сейчас составляются таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.

Математики Древней Греции со времен Пифагора коллекционировали диковинные факты о конкретных натуральных числах, иногда очень больших, но теорем о числах не доказывали (за несколькими исключениями). Лишь древнегреческий математик Диофант (III в.) внес большое значение в развитие математики. Ему принадлежит одно из первых сочинений по теории чисел, именуемое «Арифметикой» и состоящее из 13 книг, из которых до нас дошло только 6, изданных в 1621 году во Франции. В этой книге Диофант вводит понятие отрицательных чисел и элементы символики, но, прежде всего многочисленные факты решения алгебраических уравнений в целых числах. Помимо изложения начал алгебры, в этом сочинении приведено много задач, сводящихся к неопределенным уравнениям различных степеней, и указан ряд методов для нахождения решений таких уравнений в рациональных числах. В честь этого ученого названы соответствующие разделы теории чисел – теория диофантовых уравнений и теория диофантовых приближений.

В Китае, начиная со 2 века, в связи с календарно - астрономическими расчетами возник интерес к задаче в определении наименьшего целого числа, дающего при делении на заданные числа заданные остатки.

Процесс стирания грани между числами и величинами завершили математики среднего Востока (Омар Хайям, ХI – ХII вв.)

Отрицательные числа.

Понятие «отрицательные числа» вводится в 6 классе. Исторический материал можно использовать на своих урока в ходе изучения всей темы «Отрицательные и положительные числа», на которую по тематическому планированию отводится 38 часов Решение уравнений привело к появлению отрицательных чисел. Еще до нашей эры их стали употреблять китайские математики (II в. до н. э.). Но ни египтяне, ни вавилоняне, ни древние греки отрицательных чисел не знали. Широко использовали отрицательные числа и индийские математики (Брахмагупта, VII в.). Однако долгое время их считали «фиктивными» и истолковывали как «долг», как «недостачу», положительные числа тогда трактовались, как имущество. Правила действий над положительными и отрицательными числами длительное время рассматривались лишь для случаев сложения и вычитания. Например, индийские математики 7 века так формулировали эти правила: «Сумма двух имуществ есть имущество, сумма двух долгов есть долг, сумма имущества и долга равна их разности». В Европе отрицательными числами начали пользоваться с XII – XIII вв., но до XVI в., как и в древности, они понимались, как долги, большинство ученых считали их «ложными» в отличии от положительных чисел – «истинных». Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика, физика и философа Рене Декарта (1596 – 1650). Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел – ввел координатную прямую (1637 г.). Лишь в 17 веке с использованием метода координат, введенного Декартом и Ферма, отрицательные числа были признаны в качестве равноправных с положительными числами. Окончательное и всеобщее признание как действительно существующие отрицательные числа получили лишь в первой половине XVIII в. Тогда же утвердилось и современное обозначение для отрицательных чисел. Было установлено, что свойства действий над отрицательными числами те же, что и над положительными (например, сложение и умножение обладают переместительным свойством).

Рациональные числа.

Целые и дробные числа (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Эти числа удобны для вычислений: сумма, разность, произведение и частное (при условии, что делитель отличается от нуля) двух рациональных чисел являются рациональным числом. Рациональные числа обладают свойством плотности, благодаря чему всякий отрезок можно с любой степенью точности измерить отрезком, принятым за единицу, и выразить результат измерения рациональным числом. Поэтому рациональные числа долгое время вполне обеспечивали (и обеспечивают их до сих пор) практические потребности людей. Тем не менее, задача измерения величин привела к появлению новых, иррациональных чисел.

Изучение понятия числа шло не только путем обобщения, но и путем выделения из общего понятия числа важных частных случаев. Например, в множестве R действительных чисел были выделены рациональные и иррациональные числа, т. е. числа, которые соответственно можно записать в виде дроби и которые нельзя записать в таком виде.

В дальнейшем (V–IV в. до н. э.) древнегреческими математиками бала доказана иррациональность для любого натурального п, не являющегося полным квадратом.

Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, а позднее и Европы пользовались иррациональными величинами. Однако долгое время не признавали их за равноправные числа. Их признанию способствовали появление «Геометрии» Декарта. На координатной прямой каждое рациональное или иррациональное число изображается точкой. И, наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует некоторое рациональное или иррациональное, т. е. действительное число. С введением иррациональных чисел все «просветы» на координатной прямой оказались заполненными. Имея в виду это свойство, говорят, что множество действительных чисел (в отличие от множества рациональных чисел) является непрерывным.

Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби (периодической или непериодической). В XVIII веке Л. Эйлер (1707 – 1783) и И. Ламберт (1728 – 1777) показали, что всякая периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Непериодическая бесконечная десятичная дробь представляет иррациональное число. Построение действительных чисел на основе бесконечных десятичных дробей было дано немецким математиком К. Вейерштрассом (1815 – 1897). Другие подходы к изложению теории действительного числа были предложены немецкими математиками Р. Дедекиндом (1831 – 1916) и Г. Кантором (1845 – 1918).

Теория чисел.

Раздел математики, в котором изучаются свойства чисел и действий над ними, называют теорией чисел.

Начало созданию теории чисел положили древнегреческие ученые Пифагор, Евклид, Эратосфен и другие.

Некоторые проблемы теории чисел формулируются очень просто – их может понять любой шестиклассник. Но решение этих проблем иногда настолько сложно, что на него уходят столетия, а на некоторые вопросы ответов нет до сих пор. Например, древнегреческим математиком была известна всего одна пара дружественных чисел – 220 и 284. И лишь в XVIII в. знаменитый математик, член Петербургской академии наук Леонард Эйлер нашел еще 65 пар дружественных чисел (одна из них 17296 и 18416). Однако до сих пор не известен общий способ нахождения пар дружественных чисел.

Почти 250 лет назад член Петербургской академии наук Христиан Гольдбах высказал предположение, что любое нечетное число, большее 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел. Например: 21 = 3 + 7 + 11, 23 = 5 + 7 + 11 и т. п. Доказать это предложение сумел лишь 200 лет спустя замечательный русский математик, академик Иван Матвеевич Виноградов (1891 – 1983). Но утверждение «Любое четное число, больше 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел» (например: 28 = 11 + 17, 56 = 19 + 37, 924 = 311 + 613 и т. д.) до сих пор не доказано.

Основные этапы в развитии теории чисел.

Метод решения неопределенных уравнений первой степени в целых числах был вновь найден в 17 в. французским математиком Баше де Мезериаком. Решение этой задачи привело к построению теории непрерывных дробей.

Средневековая математика не внесла в теорию чисел ничего существенно нового.

Расцвет в теории чисел в Европе начался с работ французского математика П. Ферма (1601 – 1665). Будучи юристом, по образованию и профессии, Ферма занимался самыми разнообразными математическими вопросами, не заботясь об опубликовании полученных им замечательных результатов, большая часть, которых известна из сохранившейся переписки Ферма с Б. Паскалем и Декартом, Валлисом и другими выдающимися математиками его времени. Первые достижения теории чисел возникли при попытках решения ряда задач, поставленных Ферма. Начал он с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чисел – арифметические теоремы. Несомненно, большое влияние на Ферма оказала книга Диофанта «Арифметика», которая стала его настольной книгой. Об этом свидетельствуют записи об его удивительных открытиях на полях этой книги. Заметки и письма – вот все, что осталось от занятий Ферма математикой. Большинство задач Ферма впоследствии были решены Эйлером, Коши и другими математиками. Ферма обнаружил, что число 2^р-1 – 1 при простом р всегда делится на р (малая теорема Ферма), а число 2^2k + 1 простое при . Он решил, что эти числа просты при всех k, но Эйлер впоследствии показал, что при k = 5 имеется делитель 641. Эйлер также доказал теорию П. Ферма: простые числа вида 4 k + 1 представляются в виде суммы квадратов (5 = 4 + 1; 13 = 9 + 4), а вида 4 k + 3 – нет. Ферма занимают «невозможные» задачи - задачи, не имеющие решений. Он обнаружил, что нельзя найти прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами, у которого площадь точный квадрат. Самое знаменитое утверждение о «невозможности» - великая теорема Ферма.

Хотя открытия Ферма и недостаточны для того, чтобы обосновать теорию чисел, как науку, но, тем не менее, они возбудили всеобщий интерес к теории чисел.

Теория чисел, как наука, начинается с Л. Эйлера. Он занимался разнообразными вопросами математики и ее приложений, в том числе и теорией чисел, написав в этой области свыше 100 работ. Эйлер начал последовательно строить элементарную теорию чисел. Он начал с теории степенных вычетов. Эта теория исследует остатки (вычеты), которые получаются, если делить степени фиксированного натурального числа а на простое число р (модуль), не являющееся делителем а. Оказывается, вычет 2^р-1 всегда равен единице. (Это малая теорема Ферма, Эйлер дал её доказательство). Далее Эйлер занялся квадратичными вычетами. Назовем а квадратичным вычетом простого числа р, если вычет а такой же, как у некоторого квадрата. Все вычеты разбиваются на две группы: квадратичные вычеты и квадратичные невычеты р. Самый трудный вопрос, связанный с квадратичными вычетами, - найти при фиксированном а вид тех простых чисел р, для которых а является квадратичным вычетом. Эйлер заметил, что те р, которые находятся в некоторых определенных арифметических прогрессиях, зависят от а. Это так называемый квадратичный закон взаимности.

Эйлер доказывает теорему обратную теореме Евклида о совершенных числах: всякое четное совершенное число имеет вид: , где - простое. Вопрос о том, существуют ли вообще нечетные совершенные числа, остается до сих пор нерешенным. Он занимается также и дружественными числами, изучает числовую функцию s(n), обозначающую сумму натуральных делителей числа п. Эйлер опубликовал список 64 дружественных пар, однако, как показала более поздняя проверка, в двух случаях он ошибся. Вторую по величине пару дружественных чисел (1184 и 1210), которую все проглядели, открыл в 1867 г. 16-летний итальянский юноша Б. И. Паганини. На 1973-й год было известно 600 дружественных пар, которые состоят либо из двух нечетных чисел, либо из двух четных чисел. Никто не доказал, что не существует дружественной смешанной пары.

Следует отметить, что в переписке Эйлера с петербургским академиком Х. Гольдбахом (1690 – 1764) высказаны три знаменитые проблемы:

Всякое нечетное число есть сумма трех простых чисел;

Всякое четное число есть сумма двух простых чисел;

Всякое нечетное число, начиная с 5, может быть представлено в виде , где k – целое, а р – простое число.

Две последние проблемы до сих пор не решены.

Эйлер также много лет занимался решением неопределенных уравнений второй степени с двумя неизвестными. Еще Ферма в 1651 году предложил всем математикам мира показать, что при целом положительном А, не являющимся квадратом, неопределенное уравнение (это уравнение теперь называют уравнением Пелля) имеет бесконечно много решений (х, у) в целых числах. Эйлер исследовал общее неопределенное уравнение , где - целые числа и х и у также ищутся целые. Такие же уравнения первой степени были решены ещё в древности: если с делится на наибольший общий делитель а и , то такие уравнения всегда имеют бесконечно много решений. Эйлер понял, что для уравнения второй степени задача поставленная Ферма, сводится к доказательству того, что квадратный корень из натурального числа А (если А не квадрат) всегда разлагается в периодическую непрерывную дробь . Эйлер использовал для решения неопределенных уравнений непрерывные дроби. С их помощью он решал, например, уравнение Ферма: .

Во всех трех фундаментальных вопросах (которые больше двух столетий после Эйлера и составляли основной объем элементарной теории чисел) – степенные вычеты, закон взаимности, решение неопределенного уравнения второй степени – Эйлер ушел очень далеко, однако во всех трех случаях его постигла неудача. Эйлеру принадлежит инициатива создания и второй части теории чисел – аналитической теории чисел, в которой глубочайшие тайны целых чисел, например, распределение простых чисел в ряду всех натуральных чисел, получаются из рассмотрения свойств некоторых аналитических функций.

Созданная Эйлером теория чисел продолжает свое развитие и в наши дни. Один из самых глубоких в ней методов создан в 1934 году академиком И. М. Виноградовым (о вкладе развития теории чисел академика Виноградова см. последний пункт реферата). В работах Эйлера по теории чисел поражает не только глубина идей и тонкость методов, но и то, что он никогда не останавливался перед вычислительными трудностями задачи. Большую часть работ по теории чисел, напечатанных в разных академических изданиях, была затем собрана в издании его ученика Фусса под названием «Собрание арифметических исследований».

Таким образом, можно сделать вывод, что теория чисел только в 17 – 18 веках оформляется как наука в трудах Ферма и Эйлера.

Дальнейшее развитие теории чисел вплоть до Гаусса в основном было связано с трудами английского математика Э. Варинга (1734 – 1798) и французских математиков Ж. Лагранжа (1736 – 1813) и А. Лежандра (1752 – 1933), но почти все крупные математики в этот период занимаются теорией чисел.

Варингом была доказана теорема о том, что при простом р, (р – 1)! + 1делится на р. Эту теорему он назвал в честь своего ученика теоремой Вильсона (1741 – 1793). Независимо от Эйлера и Гольдбаха им была высказана теорема о том, что всякое четное число представляет собой сумму двух, а нечетное – сумму трех простых чисел. Но прославила Варинга высказанная им в 1770 году знаменитая теорема, известная как «проблема Варинга», о том, что всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы одинаковых степеней целых положительных чисел, число которых ниже некоторого предела, вполне определяемого показателем степени, и независящее от разлагаемого числа.

Лагранж впервые дал общий метод для решения неопределенного уравнения 2-й степени, который основывался на сведении вопроса к уравнению Ферма. Способ решения последнего уравнения был известен частично в Индии. Впоследствии указанный способ одновременно с построением первой систематической теории непрерывных дробей был разработан английским математиком Броункером и впервые нашел свое полное теоретическое обоснование в работах Лагранжа. Также Лагранж занимался общими вопросами теории квадратичных форм. В частности, он дал первое известное доказательство теоремы о представимости натурального числа в виде суммы четырех квадратов, и положил начало изучению относительных минимумов форм. Лагранж провел существенные исследования по теории непрерывных дробей.

Лежандр был автором первого сочинения, специально посвященного теории чисел (1798), которое оказало большое влияние на её развитие. В третьем издании его двухтомника «Теория чисел» (1830) были изложены результаты Эйлера, Лагранжа и самого автора, а также дано подробное изложение некоторых глав сочинения Гаусса «Арифметические исследования» (1801).

Двенадцатилетний Гаусс окончательно решил заниматься математикой (до этого он никак не мог сделать выбор между математикой и филологией). И всего через 9 дней в его дневнике появляется запись об открытии. Гауссу принадлежит заслуга создания основных методов и систематического построения теории сравнений. Им построена теория сравнений второй степени и доказан основной результат этой теории - квадратичный закон взаимности – один из основных теории чисел, сформулированный еще Эйлером.

Эти вопросы рассмотрены в его «Арифметических исследованиях». В значительной мере Гауссу теория чисел обязана введением геометрических и аналитических методов. Ему принадлежит также заслуга введения понятия целого комплексного числа, т. е. числа вида , где - целые рациональные числа, что явилось первым расширением понятия целого рационального числа. Если до Гаусса теория чисел представляла собой собрание отдельных результатов и идей, лишь в дальнейшем оформившихся как общие методы, то после работ Гаусса она начала развиваться в различных направлениях, как стройная теория.

Дальнейшее развитие теории чисел в Европе в основном связано с именами немецких математиков Дирихле (1805 – 1859), Римана (1826 – 1866), Куммера (1810 – 1893),Дедекинда (1831 – 1916), Кронекера (1823 – 1891), Минковского (1864 – 1909), Якоби (1804 – 1851), французских математиков Коши (1789 – 1857), Лиувилля (1809 – 1882), Эрмита (1822 – 1901) и особенно с математиками петербургской школы теории чисел.

Ведущая роль русской математики в развитии теории чисел.

Теория чисел в дореволюционной России находилась на очень высоком уровне. Исследования русских математиков по теории чисел и результаты, полученные ими, были первостепенной важности. Можно сказать, что теория чисел как наука впервые оформилась в трудах Эйлера в нашей стране. В нашей стране получили своё начало и отдельные отрасли теории чисел – аналитическая (Л. Эйлер), алгебраическая (Е. Золотарев) и геометрическая (Г. Вороновой, независимо от Г. Минковского). В СССР появилась и его новая отрасль – теория трансцендентных чисел (А. Гельфонд). Теорию трансцендентных чисел можно отнести к области диофантовых приближений, т. к. трансцендентность числа устанавливается по характеру приближений его рациональными или алгебраическими числами.

Но русская школа теории чисел начинается с великого русского математика и механика Пафнутия Львовича Чебышева (1821 – 1894).Со времен Пифагора математики интересовались таинственными законами, по которым в натуральном ряду возникают простые числа. Они могут идти подряд: 5, 7, 11, 13, 8004119, 8004121, а то появляются большие отрезки, на которых простых чисел вовсе нет (например, между 113 и 127). Математики проделали огромную экспериментальную работу, проявили поразительное остроумие, пытаясь установить закономерность их появления. Трудно было сомневаться в справедливости этих наблюдений, проверенных на таком большом материале, но доказательство получить не удалось. Лишь в 1848 – 1850 гг., П. Л. Чебышев показал, что если существует, то он равен 1.

П. Л. Чебышеву удалось доказать неравенство , из которого следовала гипотеза Бертрана (постулат Бертрана).

Исследования Чебышева по теории чисел сразу же выдвинули молодого русского математика в число первых ученых Европы.

В дальнейшем развитие теории чисел русские ученые занимали ведущую роль. Т. к. П. Л. Чебышевым была создана теоретико-числовая петербургская школа теории чисел, единственная по своему значению во всем мире; в неё входили П. Л. Чебышев, А. Коркин, Е. Золоторев, А. Марков, Г. Вороной, заслуги которых в теории чисел трудно переоценить.

Александр Николаевич Коркин (1837 – 1908), профессор Петербургского университета, вместе с П.Чебышевым сыграли большую роль в создании петербургской математической школы. Их работы по теории чисел, лекции и советы привлекли к этой области внимание ряда учеников (Е. Золоторева, А. Маркова, Г. Вороного,д. Граве). А Коркиным был разработан метод решения двучленных сравнений, дающий весьма хорошие результаты и практически применимый в значительно более широких пределах, чем таблицы индексов, доведенные Якоби до модулей, не превышающих 1000. Совместные работы А. Коркина и Е. Золоторева о минимумах положительных квадратичных форм получили большую известность.

Егор Иванович Золотарев (1847 – 1878), ученик А. Коркина, П. Чебышева, выдающийся математик прожил только 31 год, но и за это короткое время успел написать ряд работ первостепенной важности. Помимо упомянутых исследований, относящихся к теории квадратичных форм и неопределенным уравнениям 3-ей степени, ему принадлежит построение общей теории делимости алгебраических чисел. Он опередил Дедекинда на 4 года.

Заметим, что профессор Петербургского университета И. Иванов (1862 – 1939) установил эквивалентность алгебраических Золотарева и Дедекинда.

Академик Андрей Андреевич Марков (1856 – 1922) достиг блестящих результатов в области теории чисел в своей магистерской диссертации «О бинарных квадратичных формах положительного определителя» (1880). Результаты, полученные им в этой работе, послужили основой дальнейших исследований в этой области. В 1884 году Марков защитил докторскую диссертацию, посвященную непрерывным дробям, в которой доказал и обобщил некоторые неравенства Чебышева, опубликованные раньше без доказательств.

Георгий Феодосьевич Вороной (1868 – 1908), профессор Варшавского университета, член-корреспондент Российской академии наук, занимался почти исключительно теорией чисел. Работы Вороного по теории алгебраических чисел 3-го порядка и соответствующее обобщение алгоритма непрерывных дробей (открытое им же и до настоящего времени считается наилучшим) положили начало общей теории неопределенных уравнений 3-ей степени. Его работы по аналитической теории чисел касаются также общих вопросов о методах суммирования функций. Один из этих методов получил имя Вороного.

Академик АН Украины Д. Граве(1863 – 1939), все творчество которого связано с развитием идей Петербургской математической школы, в области теории чисел построил теорию идеалов при помощи функционалов. Им создан «Элементарный курс теории чисел», который был самым богатым по содержанию, выходящим далеко за пределы дореволюционных университетских программ. Его учениками были Б. Делоне, Н. Чеботарев, О. Шмидт и др.

Иван Матвеевич Виноградов (1891 – 1983) – один из крупнейших современных математиков – посвятил свою деятельность аналитической теории чисел. Эта отрасль теории чисел тесно связана с теорией функции комплексного переменного, теории рядов, теорией вероятностей и др. Виноградов является создателем своего собственного метода в аналитической теории чисел, который позволил ему сделать в этой области математики ряд открытий, принадлежащих к наиболее выдающимся достижениям в теории чисел.

Ивану Матвеевичу принадлежит решение одной из двух проблем Гольдбаха, которые были поставлены в переписке Х. Гольдбаха (немецкого математика XVIII в., большую часть жизни прожившего в России) с Эйлером в 1742 г. Они формулируются так: каждое четное число является суммой двух простых чисел (бинарная проблема Гольдбаха) и каждое нечетное число является суммой трех простых чисел (тернарная проблема Гольдбаха). Эти проблемы не поддавались усилиям крупных математиков. И. М. Виноградов не только решил тернарную проблему Гольдбаха, доказав, что каждое достаточно большое нечетное число представляется суммой трех простых чисел, но также получил формулу, выражающую количество таких представлений. По этой формуле можно узнать, сколькими способами заданное нечетное число может быть разложено на сумму трех простых чисел. Для решения проблемы Гольдбаха ученый создал один из самых общих и мощных методов теории чисел – метод тригонометрических сумм.

Методы, созданные Виноградовым, были развиты и успешно применялись и применяются многими российскими математиками к решению ряда различных центральных проблем теории чисел.

Алгебраическая теория чисел образует область, переходящую от арифметики к алгебре. Именно к этой области относятся некоторые из замечательных работ члена-корреспондента АН СССР Николая Григорьевича Чеботарева (1894 – 1947). Его работы в этом направлении связывают важнейший отдел современной алгебры – теорию Галуа с вопросами теории чисел. Один из основных результатов, полученных в этой области Чеботаревым, относится к изучению плотности простых чисел, принадлежащих данному классу подстановок. Его результат является обобщением теоремы Дирихле о бесконечности простых чисел и арифметических прогрессиях. Метод, найденный Чеботаревым, был использован немецким математиком Э. Артином (1898 – 1962) для доказательства важного общего закона взаимности.

Приведенных результатов достаточно для суждения о значительном вкладе российских математиков в развитии теории чисел. Аналитические метода Виноградова, работы Гельфонда, Шнирельмана, Шафаревича сыграли важную роль в современной теории чисел и создали весьма перспективные направления для её развития.

Можно без малейшего преувеличения сказать, что никогда, ни в одной стране не было получено такого количества первоклассных результатов по теории чисел на протяжении последних 100 – 150 лет, сколько их получено в нашей стране.

Литература:

1. Энциклопедический словарь юного математика, составитель Савин А. П., издательство Москва «педагогика», 1989 г., 350 с.

2. С. Г. Гиндикин, рассказы о физиках и математиках, издательство Москва «наука» главная редакция физико-математической литературы, 1985 г., 190 с.

3. С. П. Капица, Замечательные ученые, издательство Москва «наука» главная редакция физико-математической литературы, 1980 г., 192 с.

4. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», Математика, 25-28 февраля 1999 г.

5. Н. Я. Виленкин, Математика, учебник для 5 класса, издательство Москва «Мнемозина», 2012 г.

6. Н. Я. Виленкин, Математика, учебник для 6 класса, издательство Москва «Мнемозина», 2011 г.

7. С. А. Теляковский, Алгебра, издательство Москва «Просвещение», 2010 г.

8. М. Я. Выгодский, справочник по элементарной математике, издательство г. Элиста АПП «Джангар», 1996 г.

21