Исследовательский проект "Нестандартные задачи по алгебре" 7 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа №32 с углублённым изучением английского языка"

Индивидуальный проект

ТИП проекта: исследовательский

Тема проекта:

«Нестандартные задачи по алгебре»

Автор проекта:

________________________

обучающийся 7 класса

Наставник проекта:

Корякина Елена Викторовна,

учитель математики

Озёрск, 2022 г.

Содержание:

1. Введение

2. Основная часть

2.1. Что такое нестандартная текстовая задача–

2.2. Основные виды нестандартных текстовых задач

2.3. Методы решения нестандартных текстовых задач

2.4. Практическое применение методов решения нестандартных текстовых задач

3. Заключение

3.1. Вывод

3.2. Источники информации

1. Введение

Я выбрал для своего индивидуального проекта тему «Нестандартные задачи поалгебре». Она меня заинтересовала, потому что мне интересен школьный предмет алгебра, но при решении некоторых нестандартных текстовых задач у меня возникали сложности.В итоге выяснилось, что у меня и моих сверстников отсутствуют представления о решении нестандартных текстовых задач.Это явилось поводом для начала работы над индивидуальным проектом.

Вначале я предположил, что для решения нестандартных текстовых задач по алгебре 7 класса существует единый метод решения.
Для доказательства или опровержения этой гипотезы я вывел следующую цель:

• исследовать методы решения нестандартных текстовых задач по алгебре, выбрать из них наиболее подходящие для обучающихся 7 класса, понять, существует ли среди них универсальный для решения любых нестандартных текстовых задач.

Для достижения этой цели я поставил следующие задачи:

• познакомиться с понятием «нестандартная текстовая задача»;

• изучить виды нестандартных задач по алгебре;

• определить методы решения нестандартных текстовых задач по алгебре для обучающихся 7 класса;

• применить методы решения нестандартных задач на практике;

• составить подборку нестандартных текстовых задач по алгебре для обучающихся 7 класса, оформив её в виде пакета рекомендаций.

Нестандартные текстовые задачи играют важную роль в жизни обучающихся, так как:

• способствуют умению находить нестандартные способы решения задач;

• оказывают влияние на развитие смекалки, сообразительности обучающихся;

• создают благоприятные условия для повышения прочности и глубины знаний обучающихся;

• помогают подготовиться к олимпиадам и ГИА¹;

• обеспечивают сознательное усвоение математических понятий;

• формируют навыки ориентировки в сложной ситуации.

2. Основная часть

2.1. Что такое нестандартная текстовая задача

Существует несколько определений нестандартной задачи. Например, Л. М. Фридман²считает:

«Нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения».

Нестандартная задача от учащихся предполагает проведение исследования для её решения. В тоже время, если одна и та же задача по алгебре для одного учащегося является нестандартной, поскольку он незнаком с методом её решения, то для другого ученика решение этой же задачи происходит стандартным образом, так как он уже умеет решать такие задачи. Так же считает и Ю. М. Колягин³:

«Под нестандартной понимается задача, при предъявлении которой учащиеся не знают заранее ни способа её решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение».

Текстовые задачи сформулированы на естественном языке (поэтому они получили своё название). В них часто описывается количественная сторона каких-то явлений, событий (поэтому ещё их называют арифметическими или сюжетными). Они обычно представляют собой задачи на разыскивание искомого и сводятся к вычислению неизвестного значения некоторой величины (поэтому их иногда называют вычислительными).

2.2. Основные виды нестандартных текстовых задач

Существует огромное количество видов нестандартных текстовых задач, а вариантов их классификации, соответственно, тоже много. Однако среди них единой не существует. Чаще всего семикласснику попадаются следующие виды нестандартных текстовых задач, с которыми он может справиться:

1. Задачи на переливание (задачи, в которых обычно требуется разлить заданное количество жидкости по сосудам так, чтобы получить требуемое количество жидкости в каком-либо сосуде).

2. Задачи на взвешивание (задачи, в которых за минимальное число взвешиваний требуется, например, вычислить фальшивую монету, отличающуюся по массе).

3. Задачи на переправы (задачи с затруднительными ситуациями, когда требуется кому-либо переправиться с одного берега на другой).

4. Задачи на разъезды (задачи с затруднительными ситуациями, когда группе транспортных средств в ходе движения требуется разъехаться).

5. Задачи на дележи (задачи, в которых требуется без подручных средств разделить некоторые предметы между несколькими лицами).

2.3. Методы решения нестандартных текстовых задач

В алгебре нет каких-либо общих правил, позволяющих решить любую нестандартную задачу, так как они в какой-то степени неповторимы. Поэтому рассмотрим несколько методов решения таких задач:

• алгебраический;

• арифметический;

• метод предположения;

• графический;

• табличный;

• метод перебора.

Алгебраический метод решения задач обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении уравнений, и экономит время. Для того, чтобы решить задачу алгебраическим методом, необходимо:

• провести разбор задачи с целью выбора основного неизвестного и выявления зависимости между величинами, а также выражения этих зависимостей в форме двух алгебраических выражений;

• найти основание для соединения этих выражений знаком «=» и составить уравнение;

• найти решения полученного уравнения.

При арифметическом методе решения задачи находятся в результате выполнения последовательности действий и операций с имеющимися в тексте задачи числами, величинами.

Метод предположения используется при поиске решения в такой нестандартной задаче, в которой алгебраический и арифметический методы недостаточно эффективны. В этом случае выдвигается гипотеза: пусть ответ задачи будет таким-то. Путём рассуждений и вычислений проверяется принятая гипотеза. И если число удовлетворяет условиям задачи, то гипотеза принимается за её ответ.

Графическим методом можно воспользоваться для решения любой простой и составной задачи. Для этого создаётся графическая интерпретация условия задачи (рисунок, чертёж, диаграмма, граф). Информация, представленная в графической форме, легче для восприятия, а также ёмка и достаточно условна. Этот метод опредмечивает абстрактные понятия для ученика.

Табличный метод превращает сюжетный текст задачи в информационную структуру со связями заданного вида, что помогает подойти к окончательному решению. Он позволяет ученикам яснее увидеть зависимости между данными и искомыми величинами, оценить задачу в целом.

При методе перебора для решения задачи на первый план выходит процесс составления различных вариантов. В зависимости от сложности осуществления перебора задачи делятся на три группы:

1. Задачи, в которых нужно произвести полный перебор всех возможных вариантов.

2. Задачи, в которых нужно произвести сокращённый перебор (нужно сразу исключить некоторые варианты, не рассматривая их, так как использовать приём полного перебора нецелесообразно).

3. Задачи, в которых операция перебора производится несколько раз и по отношению к разного рода объектам.

2.4. Практическое применение методов решения нестандартных текстовых задач

Задача №1: «Фазаны и кролики»

Впервые данная задача упоминается в древнем китайском трактате «Девять отделов искусства счета», а в настоящее время практически каждый ученик слышал о ней, что удивительно для такой старинной задачи.

В клетке находятся фазаны и кролики, у них суммарно 35 голов и 94 ноги. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?

Решение:

Способ №1: метод предположения

П редположим, что в клетке было 23 фазана, тогда голов в клетке окажется 23, а ног — 46. Остаётся добавить 12 голов и 48 лапок, то есть 12 кроликов.

23+12=35 голов

46+48=94 ноги

Ответ: 23 фазана, 12 кроликов.

Способ №2: метод полного перебора

Д ля удобства все возможные варианты, полученные в результате полного перебора, оформим в виде таблицы:

Итак, после полного перебора всех возможных вариантов в клетке оказалось 23 фазана и 12 кроликов, так как это единственный вариант, удовлетворяющий условию.

Ответ: 23 фазана, 12 кроликов.

Способ №3: арифметический метод

1) 35×2=70 (ног) будет стоять на земле, если все кролики встанут на две лапки.

2) 94– 70=24 (лапки) находятся над землёй.

3) 24÷ 2=12 (кроликов) находятся в клетке.

4) 35– 12=23 (фазана) находятся в клетке.

Ответ: 23 фазана, 12 кроликов.

Способ №4: алгебраический метод

1) Пусть в клетке было x фазанов и y кроликов.

2) x∈N, y∈N.

3) Тогда у фазанов 2x ног, а у кроликов 4y лапок.

4 ) Зная, что всего в клетке 35 голов, а ног 94, составим систему уравнений:

Ответ: 23 фазана, 12 кроликов.

Задача №2: «Работа выполнена досрочно»

Для выполнения работ наняли 57 рабочих, которые могли окончить работу за 45 дней. Но через 15 дней добавили ещё несколько рабочих, и работа была закончена на 12 дней раньше срока. Сколько рабочих добавили?

Р ешение (графический метод):

Выполненная работа прямо пропорциональна числу рабочих и числу дней, отработанных каждым из них. Следовательно, всю работу можно изобразить в виде прямоугольника OABC со сторонами OA (57 рабочих) и OC (45 дней). По условию через 15 дней, то есть когда была выполнена работа, изображённая прямоугольником OEDA, где OE=15 дней, добавили x рабочих. Оставшаяся часть работы изображена прямоугольником EDBC, где EC=45– 15=30 дней.

После того, как добавили x рабочих, работа была закончена на 12 дней раньше срока, то есть через 30– 12=18 дней (это отрезок EF). Тогда S_ECBD = S_EFGH. Из этого составим уравнение:

18(57+x)=30×57

18 × 57+18 × x=30 × 57

18x=30 × 57–18 × 57

18x=57(30–18)

18x=57 × 12

18x=684

x=684÷18

x=38

Ответ: 38 рабочих.

Задача №3: «Математическая олимпиада»

В школьной математической олимпиаде приняли участие 9 учеников седьмого класса. За каждую решённую задачу ученик получил 2 очка, а за каждую нерешённую с него списали 1 очко. Всего было предложено 10 задач. Докажите, что по крайней мере 2 ученика седьмого класса набрали одинаковое число очков (считается, что ученик, набравший больше штрафных баллов, чем зачётных, набрал 0 баллов).

Решение
(принцип Дирихле):

Всего в олимпиаде приняло участие 9 учеников седьмого класса, а вариантов количества набранных очков 8.Значит, по крайней мере 2 ученика седьмого класса набрали одинаковое число очков.

3. Заключение

3.1. Вывод

После достижения поставленной цели путём выполнения тех задач, которые были определены до начала работы над проектом, можно сделать вывод о характере выдвинутой мной гипотезы. Итак, как говорилось ранее "В алгебре нет каких-либо общих правил, позволяющих решить любую нестандартную задачу, так как они в какой-то степени неповторимы". Действительно, ведь только среди часто встречающихся нестандартных текстовых задач для 7 класса были определены такие, как задачи на переливание, на взвешивание, на переправы, на разъезды, на дележи, а в задачах для практического применения изученных нами методов решения были такие, которые не входили ни в одну из ранее перечисленных групп. Каждый из способов решения нестандартных текстовых задач оказался настолько уникальным, что трудно найти между ними сходства.

Таким образом, можно сделать вывод, что ранее выдвинутая мной гипотеза оказалась ложной, и на самом деле универсального способа решения нестандартных текстовых задач по алгебре 7 класса не существует.

1. Источники информации:

Мендыгалиева А. К. Некоторые виды нестандартных задач в начальном курсе математики // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2016. – Т. 17. – С. 686–690. – URL: http://e-koncept.ru/2016/46313.htm.

Методика решения задач повышенной трудности в старших классах средней школы https://studwood.ru/1069151/pedagogika/nestandartnye_zadachi_kak_sredstvo_formirovaniya_interesa_k_matematike_u_uchaschihsya

https://studfile.net/preview/5473515/page:56/

https://infourok.ru/statya-iz-istorii-matematiki-kitaya-i-indii-402360.html

https://www.uchportal.ru/publ/23-1-0-7885

1 ГИА – государственная итоговая аттестация.

2Л. М. Фридман – Лев Моисеевич Фридман.

3 Ю. М. Колягин – Юрий Михайлович Колягин.

14