Исследовательская работа по теме: «Решение систем уравнений в школьном курсе математики».

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Гимназия г.Болхова»

Исследовательская работа по математике

Тема: «Решение систем уравнений в школьном курсе математики»

Подготовила:

Тимошина Светлана Ивановна

г.Болхов, 2022 год

Содержание

1. Введение.

2. Системы уравнений в учебниках алгебры 7-9 классов.

3. Системы уравнений в учебниках алгебры и начал математического анализа 10-11 классов.

4. Основные виды и методы решения систем уравнений.

5. Нестандартные способы решения систем уравнений.

6. Системы уравнений на ОГЭ по математике в 9 классе.

7. Системы уравнений на ЕГЭ по математике (профильный уровень) в 11 классе.

8. План-конспект урока алгебры и начал математического анализа в 11-м классе.

9. Методико-педагогические проблемы при изучении  систем линейных уравнений  в средней школе.

10. Список литературы.

Введение.

В школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин. После окончания школы реальной необходимостью в наши дни становится  непрерывное образование, что требует полноценной базовой общеобразовательной подготовки, в том числе и математической. Все больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связанного с непосредственным применением математики.

Алгебра изучается с 7 класса и нацелена на формирование математического аппарата для решения задач из математики, смежных предметов, окружающей реальности. Язык алгебры подчеркивает значение математики как языка для построения математических моделей, процессов и явлений реального мира. Одной из основных задач изучения алгебры является развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса информатики; овладение навыками дедуктивных рассуждений. Преобразование символических форм вносит свой специфический вклад в развитие воображения, способностей к математическому творчеству. Другой важной задачей изучения алгебры является получение школьниками конкретных знаний о функциях как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных процессов (равномерных, равноускоренных, экспоненциальных, периодических и др.), для формирования у учащихся представлений о роли математики в развитии цивилизации и культуры.

Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Тему курса математики VII-IX классов «Системы уравнений» можно назвать значительной, так как к решению уравнений сводятся текстовые задачи, с которыми учащиеся встречаются в курсе математики, а также физике. Знания по этой теме являются базовыми при изучении такой темы, как «текстовые задачи» по математике и др.

Обучающиеся несколько раз сталкиваются с изучением систем уравнений: в VII классе с линейными системами, а затем каждый год ученики возвращаются к этой теме на более высоком уровне.

Данная тема является также материалом для организации повторения и систематизации знаний. А в последние годы, когда итоговая аттестация проводится в форме ОГЭ и ЕГЭ, на уроках повторения происходит расширение и углубление знаний. 
Анализ сдачи экзаменов в такой форме за прошлые годы показывает, что с решением систем уравнений справляются не более 25 % выпускников; особые затруднения вызывают у них те системы, которые можно решить только графическим способом.
Результаты ЕГЭ ещё раз доказывают важность изучения данной темы в школе. 

На основании этого мною была сформулирована цель работы:

разработать методику организации повторения и систематизации знаний учащихся, полученных при изучении систем уравнений. 

Для достижения цели поставлены задачи: 
1) изучить психолого-педагогическую и методическую литературу, посвященную проблеме повторения и систематизации знаний; 
2) рассмотреть изложение темы в школьных учебниках 7-11 классов, изучить тематическое планирование; 
3) разработать методику, направленную на повторение и систематизацию методов решения систем уравнений школьного курса математики. 

Системы уравнений в учебниках алгебры 7-9 классов.

Программа для классов с базовым углубленным изучением математики составлена на основе Фундаментального ядра содержания общего образования, требований к результатам освоения образовательной программы основного общего образования, представленных в федеральном государственном образовательном стандарте основного общего образования с учетом преемственности с примерными программами для начального общего образования по математике.

На изучение алгебры в 7-9 классах на базовом уровне отводится 3 часа в неделю в течение каждого года обучения.

Рассмотрим изучение данной темы в учебниках некоторых авторов, включенных в федеральный перечень, с учётом базового изучения предмета алгебра в 7-9 классах. Представленные планирования соответствуют сборнику рабочих программ Т.А.Бурмистровой Алгебра 7-9 классы: пособие для учителей общеобразовательных учреждений.

1. Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева, Л. О. Рослова «Алгебра, 7», «Алгебра, 8», «Алгебра, 9», Москва, «Просвещение».

В 7 классе данная тема не изучается.

В 8 классе тема представлена главой 4: «Системы уравнений».

Глава 4. Системы уравнений		Количество часов – 20 ч.
4.1	Линейное уравнение с двумя переменными.	7
4.2	График линейного уравнения с двумя переменными
4.3	Уравнение прямой вида у = kx + l
4.4	Системы уравнений. Решение систем способом сложения.	9
4.5	Решение систем уравнений способом подстановки.
4.6	Решение задач с помощью систем уравнений
4.7	Задачи на координатной плоскости	2
4.8	Обзор и контроль	2

После изучения темы обучающийся должен уметь:

- определять, является ли пара чисел решением уравнения с двумя переменными;

- приводить примеры решений уравнений с двумя переменными;

- решать задачи, алгебраической моделью которых является уравнение с двумя переменными;

- находить целые решения путём перебора;

- решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными;

- использовать графические представления для исследования систем линейных уравнений;

- решать простейшие системы, в которых одно из уравнений не является линейным;

- решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путём составления системы уравнений;

- решать составленную систему уравнений;

- интерпретировать результат.

В 9 классе – глава 3: «Уравнения и системы уравнений».

Глава 3. Уравнения и системы уравнений		Количество часов – 26 ч. (из которых на системы уравнений отводится 12 часов)
…
3.5	Системы уравнений с двумя переменными	7
3.6	Решение задач
3.7	Графическое исследование уравнения	3
3.8	Обзор и контроль	2

После изучения темы обучающийся должен уметь:

- строить графики уравнений с двумя переменными;

- конструировать эквивалентные речевые высказывания с использованием алгебраического и геометрического языков;

- решать системы двух уравнений с двумя переменными, используя широкий набор приёмов;

- решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путём составления уравнения или системы уравнений;

- решать составленную систему уравнений;

- интерпретировать результат;

- использовать функционально-графические представления для решения и исследования уравнений и систем.

1. Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин «Алгебра, 7», «Алгебра, 8», «Алгебра, 9», Москва, «Просвещение».

В 7 классе тема представлена главой 7: «Системы двух уравнений с двумя неизвестными».

Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными		Количество часов – 13 ч.
33	Уравнение первой степени с двумя неизвестными. Системы уравнений	1
34	Способ подстановки	2
35	Способ сложения	3
36	Графический способ решения систем уравнений	2
37	Решение задач с помощью систем уравнений	3
	Обобщающий урок	1
	Контрольная работа № 7	1

После изучения темы обучающийся должен уметь:

- определять, является ли пара чисел решением данного уравнения с двумя неизвестными;

- приводить примеры решений уравнений с двумя неизвестными;

- строить графики уравнений с двумя неизвестными, указанных в содержании;

- находить целые решения систем уравнений с двумя неизвестными путём перебора;

- решать системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными;

- решать текстовые задачи, алгебраической моделью которых является уравнение с двумя неизвестными: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путём составления системы уравнений;

- решать составленную систему уравнений;

- интерпретировать результат;

- конструировать речевые высказывания, эквивалентные друг другу, с использованием алгебраического и геометрического языков;

- использовать функционально-графические представления для решения и исследования уравнений и систем уравнений.

В 8 классе – глава 4 «Квадратные уравнения», в которую включены пункты, отведенные для решения систем уравнений.

Глава 4. Квадратные уравнения		Количество часов – 25 ч. (из которых на системы уравнений отводится 9 часов)
…
32	Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени	2
33	Различные способы решения систем уравнений	3
34	Решение задач с помощью систем уравнений	2
	Обобщающий урок	1
	Контрольная работа № 3	1

После изучения темы обучающийся должен уметь:

- решать системы двух уравнений с двумя неизвестными, содержащих уравнение второй степени;

- решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словес- ной формулировки условия задачи к алгебраической модели путём составления уравнения;

- решать составленное уравнение;

- интерпретировать результат.

В 9 классе данная тема не изучается.

1. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова «Алгебра, 7», «Алгебра, 8», «Алгебра, 9», Москва, «Просвещение».

В 7 классе тема изучается в главе 6: «Системы линейных уравнений».

Глава 6. Системы линейных уравнений		Количество часов – 16 ч.
15	Линейные уравнения с двумя переменными и их системы	5
16	Решение систем линейных уравнений	10
	Контрольная работа № 9	1

После изучения темы обучающийся должен уметь:

- определять, является ли пара чисел решением данного уравнения с двумя переменными;

- находить путём перебора целые решения линейного уравнения с двумя переменными;

- строить график уравнения ах + by = с, где а ≠ 0 или b ≠ 0;

- решать графическим способом системы линейных уравнений с двумя переменными;

- применять способ подстановки и способ сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными;

- решать текстовые задачи, используя в качестве алгебраической модели систему уравнений;

- интерпретировать результат полученный при решении системы.

В 8 классе данная тема не изучается.

В 9 классе – глава 3: «Уравнения и неравенства с двумя переменными».

Глава 3. Уравнения и неравенства с двумя переменными		Количество часов – 17 ч. (из которых на системы уравнений отводится 10 часов)
7	Уравнения с двумя переменными и их системы	10

После изучения темы обучающийся должен уметь:

- строить графики уравнений с двумя переменными в простейших случаях, когда графиком является прямая, парабола, гипербола, окружность;

- использовать их для графического решения систем уравнений с двумя переменными;

- решать способом подстановки системы двух уравнений с двумя переменными, в которых одно уравнение первой степени, а другое — второй степени;

- решать текстовые задачи, используя в качестве алгебраической модели систему уравнений второй степени с двумя переменными;

- решать составленную систему,

- интерпретировать результат.

Системы уравнений в учебниках алгебры и начал математического анализа 10-11 классов.

Одной из ключевых дисциплин, изучаемых в старшем звене средней школе, является алгебра и начала математического анализа. Данный курс в 10-11 классах преподается на трех возможных уровнях: профильная подготовка, углубленное изучение, базовый курс.

Рассмотрим изучение темы системы уравнений в учебниках алгебры и начал математического анализа некоторых авторов учебников, которые включены в федеральный перечень, и остановимся на базовом уровне. Воспользуемся рабочей программой составителя Т.А.Бурмистровой Алгебра и начала математического анализа Сборник рабочих программ 10-11 классы: учебное пособие для учителей общеобразовательных организаций.

1. Ш. А. АЛИМОВ, Ю. М. КОЛЯГИН, М. В. ТКАЧЁВА, Н. Е. ФЁДОРОВА, М. И. ШАБУНИН «АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА», Москва, «Просвещение».

На базовое изучение предмета в 10-11 классах предполагается отводить 3 часа в неделю.

В 10 классе тема представлена главой: «Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений».

Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений.	Количество часов – 13ч., из них на изучение систем уравнений – 8 ч.
…
Системы нелинейных уравнений с двумя переменными.	2
Различные способы решения систем уравнений.	2
Решение задач с помощью систем уравнений.	2
Урок обобщения и систематизации знаний.	1
Контрольная работа №2.5	1

В 11 классе данная тема не изучается.

1. А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын, Б.М.Ивлиев, С.И.Шварцбурд , «АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА», Москва, «Просвещение».

В 10 и 11 классе данная тема не изучается.

1. Ю.М.Колягин, М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова, М.И.Шабунин , «АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА», Москва, «Просвещение».

Базовое изучение предмета алгебра и начала математического анализа предполагает 2 часа в неделю в первом полугодии и 3 часа в неделю во втором полугодии по учебнику данного автора.

В 10 классе тема системы уравнений изучается в том или ином виде в трёх главах.

Глава 3: «Многочлены. Алгебраические уравнения». (только на профильном уровне)

Глава 6: «Показательная функция».

Глава 9: «Тригонометрические уравнения». (только на профильном уровне)

Глава 3. Многочлены. Алгебраические уравнения (только на профильном уровне)		Количество часов – 17 ч. (из которых на системы уравнений отводится 3 часа)
…
10	Системы уравнений.	3

Глава 6. Показательная функция		Количество часов – 11 ч. (из которых на системы уравнений отводится 2 часа)
…
4	Системы показательных уравнений и неравенств	2

Глава 9. Тригонометрические уравнения (только на профильном уровне)		Количество часов – 21 ч. (из которых на системы уравнений отводится 2 часа)
…
6	Системы тригонометрических уравнений	2

В 11 классе данная тема не изучается.

1. С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин «АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА», Москва, «Просвещение».

На базовое изучение предмета отводится 3 часа в неделю.

В 10 классе тема представлена главой 2: «Рациональные уравнения и неравенства».

Глава 2. Рациональные уравнения и неравенства		Количество часов при 3 ч. в неделю	Количество часов при 4 ч. в неделю
…
2.7	Системы рациональных уравнений	2	2

В 11 классе тема изучается:

в параграфе 9: «Равносильность уравнений и неравенств системам»;

в параграфе 14: «Системы уравнений с несколькими неизвестными»;

в параграфе 15: «Уравнения, неравенства и системы с параметрами».(только при углубленном изучении – 5 ч. в неделю)

§9. Равносильность уравнений и неравенств системам		Количество часов при 3 ч. в неделю	Количество часов при 4 ч. в неделю
…
9.2 - 9.3	Решение уравнений с помощью систем	4	4

§14. Системы уравнений с несколькими неизвестными		Количество часов при 3 ч. в неделю	Количество часов при 4 ч. в неделю
14.1	Равносильность систем	2	2
14.2	Система-следствие	2	2

§15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами		Количество часов при 3 ч. в неделю	Количество часов при 4 ч. в неделю
…
15.3	Системы уравнений с параметрами	Не изучается	Не изучается

Основные методы решения систем уравнений.

1) Метод подстановки.

1. a) Метод прямой подстановки.

Идея метода. Выбирается уравнение, в котором одна из переменных наиболее просто выражается через остальные переменные. Полученное выражение этой переменной подставляется в оставшиеся уравнения системы.

1. b) Комбинирование с другими методами.

Идея метода. Если метод прямой подстановки не применим на начальном этапе решения, то используются равносильные преобразования систем (почленное сложение, вычитание,   умножение, деление), а затем проводят непосредственно прямую подстановку.

2) Метод независимого решения одного из уравнений.

Идея метода. Если в системе содержится уравнение, в котором находятся взаимно обратные выражения, то вводится новая переменная и относительно её решается уравнение. Затем система распадается на несколько более простых систем.

Решить систему уравнений

Рассмотрим первое уравнение системы:

Сделав замену     , где  t ≠ 0, получаем  

Откуда t₁ = 4, t₂ = 1/4.

Возвращаясь к старым переменным, рассмотрим два случая.

Корнями уравнения  4у² – 15у – 4 = 0   являются   у₁ = 4, у₂ = — 1/4 .

Корнями уравнения   4х² + 15х – 4 = 0 являются  х₁ = — 4, х₂ =   1/4 .

3) Сведение системы  к объединению более простых систем.

a) Разложение на множители способом вынесения общего множителя.

Идея метода. Если в одном из уравнений есть общий множитель, то это уравнение раскладывают на множители и, учитывая равенство выражения нулю,  переходят к решению более простых систем.

b) Разложение на множители через решение однородного уравнения.

Идея метода. Если  одно из уравнений представляет собой однородное уравнение , (то решив его относительно одной из переменных, раскладываем на множители, например:  a(x-x₁)(x-x₂) и, учитывая равенство выражения нулю,  переходим к решению более простых систем.

Решим первую систему  

c) Использование однородности.

Идея метода. Если в системе есть выражение, представляющее собой произведение переменных величин, то  применяя метод алгебраического сложения, получают однородное уравнение, а затем используют метод разложение на множители через решение однородного уравнения.

4) Метод алгебраического сложения.

Идея метода. В одном из уравнений избавляемся от одной из неизвестных, для этого уравниваем модули коэффициентов при одной из переменных, затем производим или почленное сложение уравнений, или вычитание.

     

 

5) Метод умножения уравнений.

Идея метода. Если нет таких пар (х;у), при которых обе части одного из уравнений обращаются в ноль одновременно, то это уравнение можно заменить произведением обоих уравнений системы.

Решим второе уравнение системы.

Пусть   = t, тогда  4t³ + t² -12t -12 = 0.  Применяя следствие из теоремы о корнях многочлена, имеем t₁ = 2.

Р(2) = 4∙2³ + 2² — 12∙2 – 12 = 32 + 4 — 24 — 12 = 0. Понизим степень многочлена, используя метод неопределенных коэффициентов.

4t³ + t² -12t -12 = (t – 2) (at² + bt + c).

4t³ +t² -12t -12 = at³ + bt² + ct — 2at² -2bt — 2c.

4t³ + t² — 12t -12 = at³ + (b – 2a) t² + (c -2b) t — 2c.

Получаем уравнение 4t² + 9t + 6 = 0, которое не имеет корней, так как D = 9²— 4∙4∙6 = -15

Возвращаясь к переменной у, имеем   = 2, откуда у = 4.    

Ответ. (1;4).

6) Метод деления уравнений.

 Идея метода. Если нет таких пар (х; у), при которых обе части одного из уравнений обращаются в ноль одновременно, то это уравнение можно заменить уравнением, которое получается при делении одного уравнения системы на другое.

7) Метод введения новых переменных.

 Идея метода. Некоторые выражения от исходных переменных принимаются за новые переменные, что приводит к более простой, чем первоначальная, системе от этих переменных. После того как новые переменные будут найдены, нужно найти значения исходных переменных.

Возвращаясь к старым переменным, имеем:

Решаем первую систему.

8) Графический метод.

Идея метода. Строят графики функций в одной системе координат и находят координаты точек их пересечения.

1) Переписав первое уравнение систем в виде у = х²,  приходим к выводу: графиком уравнения является парабола.

2) Переписав второе уравнение систем в виде у =2/х² , приходим к выводу: графиком уравнения является гипербола.

3) Парабола и гипербола пересекаются в точке А. Точка пересечения только одна, поскольку правая ветвь параболы служит графиком возрастающей функции, а правая ветвь гиперболы — убывающей. Судя по построенной геометрической модели  точка А имеет координаты (1;2). Проверка показывает, что пара (1;2) является решением обоих уравнений системы.

Ответ (1;2).

Нестандартные способы решения систем уравнений.

Единых способов решения систем нестандартных алгебраических уравнений нет, этот раздел в алгебре считается по праву трудным, поэтому исследуемая тема сегодня особенно актуальна и востребована, особенно при сдаче ЕГЭ, на олимпиадах и конкурсах.

Очень часто в вузах, где ещё проводятся вступительные испытания для абитуриентов, предлагаются задачи, в которых требуется решить системы алгебраических уравнений. Этот раздел алгебры по праву считается одним из трудных, так как нет единых способов решения нетрадиционных систем алгебраических уравнений.

Многие учащиеся вопрос о нахождении решений системы уравнений понимают как формальное выполнение ряда алгебраических преобразований и не обосновывают законность выполняемых преобразований, которые могут привести как к появлению посторонних решений, так и к потере решений.

Рассмотрим виды различных преобразований систем уравнений с двумя и тремя неизвестными.

Решим несколько уравнений методом три - «З» (задать, заметить, заключить) и несколько нетрадиционных систем уравнений известными способами, которые ещё надо заметить методом пристального взгляда и применить их.

Метод - три «З» (задать, заметить, заключить).

№1. Решите систему уравнений:

.

1-ое «З» - задание.

2-ое «З» - замечание: применить способ сложения.

3-е «З» - заключение: решить, проверить, ответить.

Решение. Сложив уравнения системы, получим

откуда x = 3, y = −2.

Пара чисел x = 3 и y = −2, как показывает проверка, образует решение системы.

Ответ: (3; −2).

№2. Решите систему уравнений:

1-ое «З» - задание.

2-ое «З» - замечание: применить почленное умножение.

3-е «З» - заключение: решить, проверить (если потребуется), ответить.

Решение. Запишем систему в виде

Перемножив почленно уравнения этой системы, получим уравнение

которое вместе с одним из уравнений системы (1)−(2) образует систему, равносильную системе (1)−(2).

Из уравнения (3) находим

то есть

xy = 8 или xy = .

Если xy = 8, то из уравнения (1) следует, что , откуда и тогда

Если , то . Это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: (4; 2), (−4; −2).

Прежде чем рассмотреть решение симметричных систем уравнений следует ввести понятие симметричных выражений.

Определение: Выражение с двумя переменными называется симметричным, если при замене одного неизвестного на другое и наоборот выражение не меняется.

Полезным будет знание следующей теоремы.

Теорема: Любое симметричное выражение с двумя неизвестными может быть представлено, как алгебраическая комбинация, через два простейших симметричных выражения: a+b=t и ab=z.

№3. Решите систему уравнений:

Пусть тогда система имеет вид:

Вычтем из первого уравнения второе уравнение:

а)

По теореме, обратной теореме Виета, данная система порождает квадратное уравнение m²-4m+3=0, корнями которого являются x и y. В силу симметричности имеем: (1;3); (3;1).

б)

Из порожденного квадратного уравнения n²+4n+3=0 следуют решения

(-3;-1); (-1;-3).

Ответ: (1;3); (3;1); (-3;-1); (-1;-3).

Рассмотрим комбинированные приёмы решения систем уравнений.

№4. Решить систему уравнений:

Решим первое уравнение как квадратное, полагая, что y - параметр.

2x²-yx-3y²+5y-2=0.

X_1,2= = = ;

а)

б)

Ответ:

№5. Решить систему уравнений с тремя неизвестными.

Решение.

Обозначим и запишем исходную систему в следующем виде (1)

Сложив уравнения системы (1) и обозначив получим уравнение , откуда

Подставляя найденные значения суммы в систему (1), найдем искомые значения

Если то

Аналогично, если

Ответ:

При решении алгебраических систем уравнений мы применили как распространенные преобразования и способы, так и другие методы, связывающие новые с традиционными.

Системы уравнений на ОГЭ по математике в 9 классе.

В последние годы на итоговой аттестации по математике в форме ОГЭ довольно часто встречается решение системы уравнений. Фигурирует это задание либо в явном виде, как например, №№ 21, 23 ОГЭ, либо в неявном виде (текстовая задача, решаемая с помощью системы уравнений – №22 ОГЭ).

Для успешного его решения мало уметь преобразовывать систему уравнений, часто бывает необходимо строить графики функций (уравнений), записанных в системе, и рассматривать их взаимное расположение на координатной плоскости. Либо интерпретировать условие задачи, составлять систему уравнений и решать её.

Для иллюстрации выше сказанного рассмотрим задания №21 ОГЭ по математике, в которых необходимо решить систему уравнений.

1. Решите си­сте­му урав­не­ний:  

Решение.

Подставим у=5-3х во вто­рое урав­не­ние системы, по­лу­чим урав­не­ние от­но­си­тель­но х: От­сю­да х=3 . Под­ста­вим х=3  в урав­не­ние у=5-3х, получим: у=-4.

 

Ответ: (3; −4).

1. Решите си­сте­му уравнений:  

Решение.

Подставим у=х+5  во вто­рое уравнение системы, по­лу­чим уравнение от­но­си­тель­но х: х²-2х(х+5)-(х+5)²=17. От­сю­да х=-7 и х=-3. Под­ста­вим х=-7  и х=-3 в урав­не­ние у=х+5, получим: у=-2 и у=2 соответственно.

 

Ответ: (-7; −2), (-3; 2).

1. Решите си­сте­му уравнений:

Решение.

Сложим два урав­не­ния системы: 2х²+6х=-4; х²+3х+2=0; (х+1)(х+2)=0.

Откуда по­лу­ча­ем х=-2    или х=-1.  
Вычтем из пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы второе:  2у²=8; у²=4.
Таким образом, ре­ше­ния си­сте­мы: (-2;-2), (-2;2), (-1;-2),  (-1;2).

Ответ:   (-2;-2), (-2;2), (-1;-2),  (-1;2).

1. Решите си­сте­му уравнений:

Решение.

откуда:

или

Ответ: (1;5), (-1; - ).

1. Решите си­сте­му уравнений:

Решение.

Выразим пе­ре­мен­ную у из вто­ро­го урав­не­ния и под­ста­вим в первое:

 

Решим пер­вое урав­не­ние системы. Пусть х²=t, t≥0.

t +

t² - 37t +36=0,

Тогда х= -1, х=1, х=-6, х=6.

Система имеет че­ты­ре пары решений:

или или или

 

Ответ: (-1; -6), (1; 6), (-6;-1), (6;1).

Как уже было отмечено, решение систем уравнений встречается и при решении некоторых текстовых задач ОГЭ второй части. Рассмотрим задания №22, где приходится составлять и решать систему уравнений.

1. Смешав 60%−ый и 30%−ый рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 5 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 20%−ый рас­твор кислоты. Если бы вме­сто 5 кг воды до­ба­ви­ли 5 кг 90%−го рас­тво­ра той же кислоты, то по­лу­чи­ли бы 70%−ый рас­твор кислоты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 60%−го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Решение.

Пусть х кг и у кг — массы пер­во­го и вто­ро­го растворов, взя­тые при смешивании. Тогда х+у+5 кг — масса по­лу­чен­но­го раствора, со­дер­жа­ще­го 0,6х+0,3у кг кислоты. Кон­цен­тра­ция кис­ло­ты в по­лу­чен­ном рас­тво­ре 20 %, откуда

0,6х+0,3у=0,2(х+у+5).

Решим си­сте­му двух по­лу­чен­ных уравнений:

Ответ: 2 кг.

1. Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, в первом растворе содержится 10*0,87=8,7 килограмма кислоты.

Ответ: 8,7.

 

Хочется отметить, что задания ОГЭ по математике, в которых находит применение решение систем уравнений, достаточно разнообразны. Кроме того, все они встречаются во второй части ОГЭ, где обучающиеся могут получить 2 балла за каждое верно выполненное задание. Поэтому считаю необходимым уделять изучению данной темы особое внимание.

Системы уравнений на ЕГЭ по математике

(профильный уровень) в 11 классе.

При сдаче экзамена по математике в форме ЕГЭ практически всегда встречается система уравнений. Фигурирует она либо в №18 ЕГЭ, либо в неявном виде (текстовая задача, решаемая с помощью системы уравнений – №11 ЕГЭ).

В этой связи особую сложность для выпускников представляет задание №18 ЕГЭ (профильный уровень). Для успешного его решения мало уметь преобразовывать систему уравнений, часто бывает необходимо строить графики функций (уравнений), записанных в системе, и рассматривать их взаимное расположение на координатной плоскости.

Рассмотрим решение таких заданий.

1. Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 72% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 78% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора кислоты — c₁, а концентрация второго — c₂.  Если смешать эти растворы кислоты, то получится раствор, содержащий 72% кислоты: 100с₁+20с₂=120*0,72. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 78% кислоты: mc₁₊mc₂=2m*0,78. Решим полученную систему уравнений:

Поэтому m₁=0,69*100=69 кг.

 

Ответ: 69.

1. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение.

Пусть масса 30-процентного раствора кислоты – m₁ кг, а масса 60-процентного – m₂ Если смешать 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавить 10 кг чистой воды, получится 36-процентный раствор кислоты: 0,3m₁+0,6m₂=0,36(m₁+m₂+10). Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты: 0,3m₁+0,6m₂+0,5*10=0,41(m₁+m₂+10). Решим полученную систему уравнений:

Ответ: 60.

Теперь перейдем к рассмотрению более сложных заданий профильного ЕГЭ - №18, и рассмотрим решение некоторых систем уравнений.

1. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Решение.

Первое уравнение системы раскладывается на множители:

(x − 2y)(y − 2x) = 0. Следовательно, уравнение задаёт пару прямых 

x = 2y и y = 2x.

Второе уравнение при каждом a ≠ 0 — уравнение окружности c центром (a, a) и радиусом  .

Если a=0, то система имеет единственное решение и поэтому не удовлетворяет условию задачи.

Пусть а≠0. Тогда условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда окружность касается каждой из прямых. То есть расстояние от центра до каждой из прямых равно радиусу окружности.

Можно воспользоваться геометрическим методом или использовать формулу расстояния от точки до прямой.

Отсюда a = ± 0,2.

Ответ: a = ± 0,2.

Комментарий: на самом деле, конечно, задача сводится к исследований количества решений системы

То есть, уравнения:

 (x-a)²+(2x-a)²=5a⁴; 

5x²-6ax+2a²-5a⁴=0,

которое имеет единственное решение при D=100a⁴-4a²=4a²(25a²-1)=0;

При a=0 прямые пересекаются, поэтому исходная система имеет не два, а всего одно решение.

1. При каких значениях параметра a система

имеет ровно 4 решения?

Решение:

Преобразуем второе уравнение системы, выделив полный квадрат:

y²-4y+4=(y-2)².

Сделав замену переменных t=y-2, получим систему:

При такой замене число решений новой и старой системы одинаково. Построим графики уравнений (1) и (2)в системе координат Oxt.

График уравнения (1) — ромб, диагнали которого, равные 24 и 10, лежат соответственно на осях Ox и Ot, а графиком уравнения (2) является семейство окружностей с центром в начале координат и радиусом r=|a|.

Графики уравнений системы имеют ровно 4 общие точки, и следовательно, система имеет ровно 4 решения тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо её радиус удовлетворяет условию 5

В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12, откуда

r=|a|= a=

Во втором случае получаем 5  откуда -12 или 5 .

Ответ: a∈(−12;−5)∪{±4​​ }∪(5;12).

Таким образом, отметим, что решение систем уравнений – это процесс, требующий от выпускника хорошей математической подготовки, знаний всех способов решения уравнений, систем уравнений, а также умений видеть наиболее рациональные пути решения задач.

План-конспект урока алгебры и начал анализа в 11-м классе.

Тема: «Графический способ решения систем уравнений с параметром».

Цели: Формирование умений и навыков решения систем уравнений графическим способом.

Задачи:

образовательные:

повторить основные виды преобразования графиков функций, закрепить и углубить навыки решения уравнений графическим способом;

развивающие:

развивать познавательный интерес учащихся, умение выделять главное, сравнивать, анализировать;

воспитательные:

воспитание умения работать в сотрудничестве в парах, оценивать работу товарища.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, индивидуальные карточки.

Ход урока.

1. Организационный момент

Вступительное слово учителя.

- В школе, изучая математику, нам постоянно приходилось решать уравнения и системы уравнений. Сегодня на уроке вновь пойдёт речь о системах уравнений.

Для каждого типа систем уравнений вам предлагали различные способы решения, и, возможно, у вас создалось впечатление о наличии огромного числа всевозможных приёмов, которые необходимо запомнить. На самом деле это не так, есть несколько общих методов решения систем уравнений, в которых необходимо разбираться и уметь подбирать к данному упражнению наиболее рациональный способ решения. Сегодня нам необходимо дойти до самой сути графического способа решения систем уравнений. Наша задача – научиться выбирать те системы уравнений, и те задания, связанные с анализом корней уравнений, при решении которых этот способ или необходим, или помогает быстро проанализировать систему уравнений.

II. Актуализация опорных знаний

Обучающимся предлагается ответить на вопросы. В это время 2 ученика работают самостоятельно по карточкам различного уровня сложности.

Вопросы классу:

1) Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

2) Что называется решением системы уравнений?

3) Что значит решить систему уравнений?

4)Установите соответствие (на экране функции и названия их графиков).

окружность

кубическая парабола

гипербола

прямая

парабола

Задания для работы по индивидуальным карточкам.

Карточка №1. (уровень А)

1 . Используя рисунок, укажи решение системы уравнений

1. (4; 3); (3; 4); (-3; 4); (-4; 3)

1. (4; 3); (3; 4)

1. (-4; -3); (-3; -4); (3; 4)

1. (4; 3); (3; 4); (-3; -4); (-4; -3)

2. Сколько решений имеет система уравнений ?

1. Одно 2. Два 3. Три 4. Не имеет решений

Карточка №2. (уровень B)

1. Сколько решений имеет система уравнений ?

1. Одно 2. Два 3. Три 4. Не имеет решений

2. Реши графически систему уравнений

Ответ:__________

Проверить работу обучающихся по карточкам, выставить отметки.

III. Основная часть

Решение задач. - Прежде чем переходить непосредственно к системам уравнений с параметрами, учитывая сложность данных упражнений, рассмотрим сначала решение уравнений с параметрами.

Задача 1. Сколько корней имеет уравнение | | x | – 2 | = a в зависимости от параметра a?

Решение. (1 ученик работает у доски)

Можно заранее подготовить изображение графиков на слайде, а затем проверить решение ученика с использованием готового рисунка.

 В системе координат (x; y) построим графики функций y = | | x | – 2 | и y = a. График функции y = | | x | – 2 | изображен на рисунке.

Графиком функции y = α является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).

Из графика видно, что:

Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | две общие точки; значит, исходное уравнение имеет два корня (в данном случае корни можно найти: x_1,2 = + 2).
Если 0  a  Если a = 2, то прямая y = 2 имеет с графиком функции три общие точки. Тогда исходное уравнение имеет три корня.
Если a  2, то прямая y = a будет иметь с графиком исходной функции две точки, то есть данное уравнение будет иметь два корня.

Ответ: если a  
если a = 0, a  2, то два корня; 
если a = 2, то три корня; 
если 0  a 

Сформулируйте алгоритм решения уравнения с параметром:

1. выделяем в уравнении две функции;

2. строим их графики;

3. сдвигая параллельным переносом график с параметром вдоль осей ОХ или ОУ, ищем ответ на вопрос задания.

Ответьте на вопросы:

1. Сколько времени заняло всё решение?

2. Сколько времени строили графики?

3. Сколько времени искали значение параметра?

4. Сделайте вывод.

- Если мы хотим научиться решать задачи с параметром, нужно использовать компьютерные средства, чтобы не терять время на построение графиков.

Задача 2. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{х + у = а,
{у – х² = 1.

Решение. (предложить 1 обучающемуся решить данную задачу у доски)

- Данную систему решим с использованием графического метода.

Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1). Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а.

1,25 = 0,5 + а;

а = 0,75.

Ответ: а = 0,75.

Задача 3.

Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{х² + у² = 9,
{у – |х| = а.

Решение. (1 обучающийся решает задачу у доски)

Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы

х² + у² = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.

Ответ: а = 3.

Ⅳ.Итог урока.

- Перечислить достоинства и недостатки графического способа решения уравнений.

Достоинства

1. дает возможность решения уравнений,

которые не решаются стандартными

способами;

2. наглядно отвечает на вопрос о

количестве корней уравнения;

3.наглядно анализирует уравнения с

параметром на количество корней в зависимости от параметра.

Недостатки

1.сложность построения некоторых графиков;

2. возможны неточности ответов.

V. Домашнее задание.

№1. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений    имеет ровно два решения.

Методико-педагогические проблемы при изучении  систем линейных уравнений  в средней школе.

В совокупности все рассмотренные выше причины (количество часов на изучение данной темы по базисному плану, состояние учебной литературы, возрастные и психологические особенности  подростков и т.д.) порождают ряд проблем. Каковы же эти проблемы?

Уравнения, как правило, вызывают затруднения, поэтому требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций. Большинство ошибок связано с формальным и поверхностным усвоением учащимися основных понятий и методов решения  уравнений.

В некоторых случаях трудности могут возникнуть из-за слабых знаний по ранее изученным темам. Перечислим типичные ошибки, допускаемые учащимися при решении  уравнений и систем уравнений: неправильно найден неизвестный компонент уравнения, неумение производить действия с отрицательными числами, не подходящий выбранный способ решения системы , найденное решение системы не соответствует условию задачи и т.д. Другой трудностью является хроническая нехватка времени, отводимого программой на изучение  уравнений и систем уравнений.  

На протяжении нескольких лет мною проводилось анкетирование по выявлению у обучающихся трудностей и пробелов в знаниях по рассматриваемой теме, отношения к математике и мотивов её изучения. Предлагались анкеты, по их результатам составлялись диаграммы, в которых было показано следующее: повышение интереса к математике в процессе обучения, эмоциональное отношение к процессу изучения математики, уровень испытываемых трудностей в усвоении математического материала, уровень знаний. Приведу пример одной из таких анкет.

Анкета:

1. Как вы считаете, насколько полезным было проведенное занятие? Получены ли новые знания и умения?

2. Кратко опишите, какие моменты занятия вам особенно запомнились.

3. Каких моментов занятия вам хотелось бы избежать?

4. Какие трудности вы испытали при изучении материала, при ответе на вопросы, в ходе решения заданий? Сумели ли вы их преодолеть? Если да, то как?

5. Опишите свои впечатления от проведенного занятия. Хотели бы вы в будущем принимать участие в таких занятиях?

На основании данных, полученных в результате опроса, при изучении данной темы в школьном курсе алгебры каждому учителю необходимо учитывать трудности, которые испытывает обучающийся, постараться включить в занятие упражнения, которые вызовут у детей положительные моменты и, тем самым, будут способствовать более качественному освоению изучаемого материала.

Список литературы

1. Алгебра: Для 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло и др. – М.: Просвещение, 2005.

2. Алгебра: Для 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев. – М.: Просвещение, 2005.

3. Бояринов И.О. Системы уравнений и интерпретации функций. // Математика в школе. - 2015. - №4.

4. Вавилов В. В., Мельников И. И. и др. Задачи по математике. Алгебра. – М.: Наука, 1988.

5. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Под ред. Г.В. Дорофеева. – М.: Просвещение, 2003.

6. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2003.

7. Маргулис Б.Е. Системы линейных уравнений. – М.: Изд-во физико-математической литературы, 1960.

8. Осетрова Е. Решение систем уравнений второй степени. // Математика. - 2010. - №7.

9. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев 5-11 классы. – М.: Дрофа, 2004.

10. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики. – Саранск, «Красный Октябрь», 1999.

11. Шварцбурд С. И. Системы уравнений. – М.: Академия педагогических наук РСФСР, 1955.

12. http://alexlarin.net/ege16.html.