Использование опорных схем на уроках математики

Использование опорных схем, справочных таблиц, алгоритмов при изучении отдельных вопросов школьного курса математики.

I. На уроках часто используются всевозможные плакаты, схемы и справочные таблицы. Они предъявляются учащимся по-разному. Одни выдаются в готовом виде (плакаты), другие оформляются постепенно, на нескольких уро­ках, по мере изучения определенного раздела теории. Иногда учащиеся самостоятельно со­ставляют таблицы при выполнении домашне­го задания. И наконец, таблица может быть создана на одном уроке как конспект изло­женного учителем нового материала.

В. Ф. Шаталов и его последователи используют в качестве конспектов листы опорных сигналов, составленные из нескольких блоков. Некоторые математические предложения в этих конспектах заменяются ключевыми словами или рисунками, вызывающими необходимые ассоциации только у тех, кто слушал объяснение.

II. Приветствуя в целом идею опорных сигна­лов, отметим все же, что они, как и любые конспекты, предлагаемые методическими по­добиями, сковывают инициативу учителя, ибопрежде всего отражают индивидуальность автора. Преподавание будет более эффективным и интересным, если учителя станут сами составлять краткие записи, отражающие основ­ные этапы изложения нового. Попробуем высказать ряд рекомендаций по составлению та­ких записей к уроку, когда, учитель планирует, как именно будут ученики фикси­ровать в своих тетрадях излагаемый им мате­риал. Сразу оговоримся, что речьпойдет лишь о тех уроках, где материал изучается крупным блоком, охватывающим несколько параграфов учебника. По форме это может быть лек­ция в общепринятом смысле, беседа или рассказ учителя.

Исходя из того что в конечном счете кон­спект должен стать информационно-справоч­ной таблицей и сыграть свою роль на урокахтематического или итогового повторения, сформулируем некоторые требования к его оформ­лению:

1. Материал в конспекте должен быть разде­лен на несколько самостоятельных, логически связанных между собой блоков. В него же­лательно внести вспомогательные вопросы, с помощью которых готовится введение нового,узловые вопросы темы и ее практическое при­менение.

2. В конспекте неизбежны сокращения и неко­торые произвольные обозначения - шифры. Те и другие должны быть точно оговорены. В прин­ципе, способ шифровки материала у каждого учителя может быть свой. Но учащиеся должны отличать, где используется общепринятая символика, а где введён произвольный шифр. Путаница в этих вещах недопустима.

Созданный по методу укрупнения дидакти­ческих единиц конспект может стать формой записи учащимися нового и позднее использо­ваться на уроках итогового повторения.

III. Теперь нужно подчеркнуть, что если учитель будет рисовать на доске таблицу-конспект во время лекции, а ученики переписывать ее в тетрадь, то эффективной эта работа не будет. Одни ребята быстро скопируют конспект, не вникая в суть дела, другие будут медленно заниматься конспектом и совсем не услышат разъяснений. В целом же класс останется пассивным. Таким образом, с одной стороны, в конце урока желательно иметь кон­спект, в котором выделено главное. А с дру­гой — запись этого конспекта не должна занимать много времени урока. Эти два требования помогает примирить своего рода заго­товка для конспекта. Мы имеем в виду таб­лицу с пропусками. В нее нужно внести лишь фрагменты необходимых записей. Например, рисунки без подписей, частично выписанные условия теорем, некоторые пункты алгорит­мических предписаний и т. п.

Учитель сначала разрабатывает конспект полностью на листе бумаги стандартного размера. На другом таком же листе он выписывает фрагменты-заготовки в строгом соответствии с расположением текста на основном конспекте. Этот фрагментарный конспект кто-либо из учащихся должен размножить, что­бы к лекции такой конспект-заготовку имел каждый ученик. Точно такой конспект с про­пусками учитель должен заранее написать на доске перед началом лекции. Подготовительной работы мно­го. Но она проводится не для каждого урока, а только для того, на котором будет сразу рас­смотрена большая группа вопросов, состав­ляющих теоретический материал примерно 6— 8 уроков. Кроме, того, конспекты, с которыми учащиеся уходят после такой лекции, служат им потом очень долго, вплоть до экзаменов в 11 классе.

Проиллюстрируем заполнение фрагментар­ной таблицы-конспекта во время лекции, ко­торая охватывает сразу несколько тем: «Воз­растание и убывание функции», «Экстремумы функции», «Применение производной к пост­роению графиков», «Наибольшее и наимень­шее; значение функции».

В приведённой ниже таблице мы почти не употребляем шифра (кроме волнистых стрелок-указателей). В то же время в таблице много сокращений: «О.» означает слово «определение», «Т.» — «теорема», «т.» — точка. Записьозначает: «х принадлежит об­ласти определения функции f». Условие теоремы записывается в таблице до →, а заклю­чение – после →. Рядом с краткой символи­ческой записью какого-либо положения дана его графическая интерпретация.

В целях краткости нам приходится изобра­жать на одной таблице и то, что в ней было первоначально до урока, и то, что появилось в ходе лекции. Текстовой материал, предъяв­ляемый с самого начала, выделен жирным шрифтом, а записанный в ходе лекции — свет­лым.

I. О. Точка экстремума а) б) O. Точка максимума О. Точка минимума		II. д) е)
Для всех х . Т. (необходимое условие экстремума): определена в окрестности т. существует - точка экстремума → или не существует.	Для всех х . О. Стационарная т. Корень	T. → f(x) возрастает на (a; b)	T. → f(x) убывает на (a; b)
		III. ж) з)
в) г)
		Т. (достаточное условие экстремума) 1)
		2) Слева от , справа от . → - т.минимума	2) Слева от , справа от . → - т.максимума

В начале урока учитель объясняет, что по­нятие точки экстремума объединяет два поня­тия, и подчеркивает это, проведя две сплош­ные линии к определениям точки максимума и минимума. Эти определения иллюстрируют­ся графиками а) и б) из I блока таблицы. На рисунках учитель выделяет некоторые ок­рестности точки х₀и проводит к ним пунктирные линии от х в записях определений. Так шифруются слова: «для всех х из некоторой окрестности точки». По рисункам учитель обсуждает с классом, какой знак «» следует поставить между выделенными в определениях значениями и.

По графикам в) иг) учащиеся находят значения производной в точках максимума и минимума. Появляются записи:. После таких наблюдений учащиеся формулируют теорему Ферма. Заканчивается I часть лекции определением стационарной точки.

Теперь учитель обращает внимание учащихся на IIблок таблицы, на графики д) и е) и ставит задачу выявить связь между возра­станием (убыванием) функции на (а; b) и знаком производной на (а; b).В записях соответствующих теорем под чертой появляется слово «возрастает» (или «убывает»).

В III блоке таблицы-конспекта зашифрова­но достаточное условие того, что стационар­ная точка является точкой экстремума. Рас­сматривая рисунки ж) из), учащиеся уста­навливают знаки производной слева и спра­ва от точки х₀ и записывают эти слова в нуж­ных местах пункта 2).

Следующие блоки конспекта опишем от­дельно.

По рис. в) и г) учитель показывает после­довательность действий при построении графи­ка. Эта последовательность действий в зашиф­рованном виде и фиксируется в блоке IV.

Построение графиков.

	5.
	6
	7. Дополнительные точки
	8. График

В п.1 и 2 блока IV имеется в виду, что не­обходимо найти область определения и производную ; уравнение или неравенст­во в п. 3,4 означает, что требуется решить данное уравнение или неравенство.

Последняя часть лекции отражена в блоке V, который мы приводим ниже. Предвари­тельно подчеркнем, что излагаемый вопрос мы подразделяем на 3 пункта: А.1—А.3. В п. А.1 после условий, налагаемых на рассматриваемую функцию, следует (в зашифрованном виде) указание последовательности дей­ствий, необходимых для определения наибольшего (наименьшего) значения функции. В п. А.2, А.3 в таких указаниях нет необходимости.

Наибольшее и наименьшее значения функции.

А.1.	а) непрерывна на, б) дифференцируема на .
	- стационарная точка, , Сравнить: .
А.2.	а) дифференцируема на, б) - единственная точка экстремума (максимума или минимума) на.
	- наибольшее (наименьшее).
А.3.	а) на, б) в) дифференцируема на.
	- наибольшее (наименьшее) тогда и только тогда, когда - наибольшее (наименьшее.)

В этом блоке много текстового материала, но учащимся не придется много переписывать, так как большая часть блока заготовлена в конспекте заранее. Она, повторяем, выделена жирным шрифтом.

IV. После оформления отдельного блока, в котором в явном или неявном виде содержится способ решения определенного круга задач, полезно показать образец их выполнения. За­писать решение можно на обороте таблицы.

Заполненная учениками таблица постепен­но превращается в конспект. В конце урока учитель еще раз проговаривает новый мате­риал, делая акцент на главном и показывая, как это главное выделено в конспекте.

Использование конспектов изменяет харак­тер домашнего задания. Например, учащимся можно предложить сделать дома следующее: сопоставить таблицу с содержанием соответ­ствующего раздела учебника; пересказать кон­спект; научиться воспроизводить его вместе с графиками; придумать упражнения, соответствующие каждому блоку таблицы.

V. Лекции часто предполагают нетрадиционное построение и последующих уроков. Так, урок, закрепления материала лекции целесообразно построить с учетом групповой формы деятель­ности. План урока может быть таким:

1. Пересказ нового материала по таблице. Лидер каждой группы распределяет блоки конспекта между ее членами и определяет оче­редность сообщений. Учитель следит за рабо­той групп. Подходит то к одной, то к другой, слушает, помогает, направляет. Если в какой-то группе допущена ошибка, искажающая смысл математического утверждения, то она обсуждается всем классом.

2. Фронтальная устная работа с теоретическим материалом. Приведём примеры устных заданий по указанному выше конспекту.
   а) Можно ли, используя график, производ­ной некоторой функции, найти стационарные точки и точки экстремума? Ответ обоснуйте.
   б) Укажите последовательность действий при отыскании промежутков монотонности функции.
   в) . Являются ли корни этого урав­нения точками экстремума? Ответ обоснуйте.

3. Классификация упражнений. Учитель вы­писывает на доске несколько заданий (от 5 до 10) и предлагает учащимся, не решая их, указать, каким блокам таблицы они соответ­ствуют, а затем некоторые из них подробно разобрать со всем классом.

4. Обмен заданиями. Группы составляют уп­ражнения по теме и обмениваются ими. Задачи ребята тут же решают.

Только лишь на третьем уроке после лек­ции — назовем его практикумом — можно приступить к решению содержательных задач. Здесь опять ребята работают в группах. Груп­па рассматривает большой список задач на нахождение наибольшего и наименьшего зна­чений функции, анализирует их и, руководст­вуясь блоком V, определяет, к какому из п. А.1.—А.3. ее следует отнести. Затем из проанализированного списка каждая группа вы­бирает 2—3 задачи и решает их.

Следующие уроки можно проводить в фор­ме консультаций.

VI. Карточка-консультант.

В своей работе с учащимися я часто использую карточки-консультанты, которые при самостоятельной работе, при выполнении домашнего задания, при ответе у доски, помогают ученику решить задачу. В этой карточке содержатся все узловые моменты изучаемой темы, а также алгоритм решения задания. Сначала карточки составляет учитель, а затем привлекает к этому и учащихся. В процессе работы они приобретают ряд полезных навыков, например учатся выделять узловые вопросы в прочитанном тексте, составлять алгоритмы (пусть пока в самом простом виде) для решения задач. Работа по составлению карточек прививает интерес к предмету, учит творчески воспринимать учебный материал. Наиболее удачную карточку-консультанта оценивает не столько учитель, сколько сами ученики.

Для иллюстрации приведем пример карточки-консультанта по алгебре при изучении те­мы «Решение систем линейных уравнений» в VI классе.

Карточку-консультанта можно использовать и во время ответов на вопросы учителя. При­ведем вопросы, которые были заданы учащимися.

1. Что значит решить систему линейных уравнений с двумя неизвестными?

2. Что называется решением системы ли­нейных уравнений с двумя неизвестными?

3. Сколько способов решения системы ли­нейных уравнений мы знаем? Какие?

4. В чем заключается графический способ?

5. Что можно сказать о решении системы линейных уравнений, если графики уравнений не пересекаются?

6. Что можно сказать о решении системы! линейных уравнений, если графики уравнений совпадают?

7. В чем заключается способ подстановки?

8. В чем заключается способ сложения?

1. В каком случае оба уравнения системы почленно складывают?

2. В каком случае оба уравнения системы почленно вычитают?

3. Чем неудобен графический способ решения системы линейных уравнений с двумя не­известными?

4. В каком случае удобно применять спо­соб сложения?

5. В чем заключается геометрический смысл решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными?

1