Интересные способы умножения чисел

Исследовательская работа на тему:

«Интересные способы умножения чисел»

Оглавление

Введение………………………………………………………………………….....3

Глава I. Теоретические аспекты исследования…………………………………..6

1.1. Немного истории ………….. ………………………………………...6

1.2. Ведический способ умножения..………………………………….....7

1.3 Русский способ умножения………………………………………....12

1.4. Графический способ ……….………………………………………..14

1.5. Метод решетки («ревности»……………………………………….…16

1.6. Умножение крестиком……………………………………………….10

Глава II. Практические аспекты исследования……………………………….....17

Заключение………………………………………………………………………...18

Список литературы………………………………………………………………..19

Приложение №1…………………………………………………………………...20

Что такое умножение?
Это умное сложение.
Ведь умней умножить раз,
Чем слагать все целый час.

А.Усачёв

Введение

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе. На уроках математики учителя подсказывали, как можно проще считать, применяя различные математические хитрости. Привычные и сложные операции можно выполнять существенно быстрее и эффективнее. Однажды, случайно увидев по телевизору передачу о различных способах умножения, захотелось изучить их более подробно, научиться их использовать для вычислений. Ведь оказалось, что можно умножать не только в столбик, как мы умеем, а существуют и другие способы умножения, более интересные и рациональные.

Возник вопрос: а есть ли еще какие-нибудь альтернативные способы вычислений? Мне захотелось изучить их более подробно. В поисках ответа на возникшие вопросы было проведено данное исследование.

Цель работы: изучить необычные способы умножения и создать учебное пособие по данной теме

Объект исследования: математическая операция «умножение».

Предмет исследования: способы умножения чисел.

Актуальность: в школе изучают таблицу умножения, а затем учат умножать числа в столбик. Разумеется, это не единственный способ умножения. На самом деле, существует несколько десятков способов умножения однозначных и многозначных чисел. Исследование различных способов умножения позволит легче считать «в уме», что пригодится как на уроках математики, так и при сдаче экзаменов в 9 и 11 классе, а также в повседневной жизни при покупке товаров, проведении различных подсчётов. данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

Новизна: знакомство с различными способами умножения.

Задачи исследования:

•изучить литературу по данной теме;

• провести анкетирование по теме исследования;

• научиться применять необычные способы умножения;

• научить одноклассников использовать эти способы при вычислениях:

• оформить информацию о необычных способах умножения в виде буклета для учащихся 5-7 классов.

Практическая значимость: пробудить интерес учащихся класса к исследуемой теме, применять полученные знания в повседневной жизни.

Этапы исследования:

- сбор материала о способах умножения чисел;

- систематизация и обобщение результатов исследования;

- вывод.

Методы исследования:

- поисковый;

- описательный;

- метод анализа и обобщения.

Основная часть. Различные способы умножения

Глава I. Теоретические аспекты исследования

1.1. Немного истории

Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».

И все эти приемы умножения - «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.

1.2 Ведический способ умножения

Считается, что основы современной математики были заложены в работах Евклида, Ньютона и Лейбница. Имеется, однако, ряд работ, неизвестных широкому кругу читателей, изложенные в Ведах - древнейшем памятнике человеческой культуры, превосходящем по возрасту, по крайней мере, на несколько тысяч лет все известные древнегреческие труды. Веды, в переводе с санскрита источник знания (ср. с русск. ведать), согласно индийским верованиям, содержат все знания, как научные, так и этические, исходно данные человечеству. Веды, написанные на санскрите в форме коротких изречений (сутр), не содержат теорем и математических выкладок. Вместо этого имеются операционные инструкции - правила решения определенных задач. Интерпретация инструкций требует как глубокого знания ведической культуры, так и профессиональной математической подготовки. В «Ведах» описано быстрое умножение двух двузначных чисел. Этот метод назван «ведическим» и довольно широко применяется в современной Индии.

Допустим, мы хотим умножить числа: 32×12. Сначала умножим цифры, стоящие в старшем разряде (разряде десятков) и запишем на первое место в произведение:

32×12=3…

Далее умножим числа, стоящие в младшем разряде (разряде единиц) и запишем на последнее место в произведении:

32×12= 3… 4.

Теперь перемножим наружные цифры и внутренние цифры, сложим их и запишем в произведение между раннее записанными числами:

32* 12=384

(2*1+3*2=8).

Итак, 32*12=384.

В случае если при умножении получается двузначное число, то привычно пишем последнюю цифру в результат, а первую прибавляем в уме к предыдущему разряду.

Например:

42*18=4 …

42*18=4…6 (1 в уме)

42*18=4(4*8+2*1+1в уме)6=4(35)8=756

1.3. Русский способ умножения

Весьма отчётливое понимание значения умножения выражено в старинной «Арифметике» Магницкого.

«…Вы не можете выполнить умножения многозначных чисел - хотя бы даже двузначных - если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения». В старинной «Арифметике» Магницкого, о которой мы раньше упоминали, необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких - надо сознаться, чуждых для современного слуха - стихах:

Аще кто не твердит

таблицы и гордит,

Не может познати

числом что множати

И во всей науки,несвобод от муки,

Колико не учиттуне ся удручит

И в пользу не будет аще ю забудет.

Сам Магницкий, автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существует способ перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способ этот, не похожий на наши школьные приемы, употребителен в обиходе великорусских крестьян и унаследован ими с глубокой древности.

Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоений другого числа. Вот пример, необходимо умножить 32×13. Для этого первый множитель будем делить на 2, а второй множитель умножать на 2:

Табл.1

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.

Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение:

(32 × 13) = (1 × 416).

И всё бы в этом объяснении было здорово, если бы оно было исчерпывающим. Но, достаточно взять пару других примеров, с другими числами (см. Табл 2.), как будет нетрудно увидеть недостаточность описания и объяснений действия упомянутого алгоритма русского умножения.

В частности, если какое-либо из чисел будет нечётным…

Если нечётным будет только один из множителей, то делить необходимо чётный множитель, а умножать нечётный. Предположим, нам необходимо умножить 16 на 75. (Табл.2) Делим первый множитель на 2, а второй умножаем на 2, пока первый множитель не станет равным 1.

Табл. 2

Если же оба множителя – нечётные числа, то один из них представляют в виде суммы ближайшего чётного и единицы и производят те же самые операции, а затем добавляется остаток.

Т.е. если в нашем примере вместо 16 взять 17, то 17 = 16 + 1, что даст (16*75) + (1*75) = 1200 + 75 = 1275. Вся эта нехитрая, но довольно изящная арифметика была представлена вот на таком плакате (Рис.1):

Рис.1

Есть ещё одно описание и правила применения данного способа умножения.

В статье М. А. Цайгера «Русский, народный способ умножения» способ «русского умножения» описан так: Итак, пусть нам необходимо умножить два числа. Например, числа: 97 и 19. Одно запишем слева, а второе - справа на одной строчке. Левое число будем делить на 2, а правое - умножать на 2 и результаты записывать в столбик. Если при делении возникнет остаток, то он отбрасывается. Операцию продолжаем, пока слева не останется 1. Затем вычеркнем те строчки, в которых слева стоят четные числа, и сложим оставшиеся числа в правом столбце. Это и есть искомое произведение (см. рис.2).

97	19
48	38
24	76
12	152
6	304
3	608
1	1216

Рис. 2

Итак, 97×19 = 1216 + 608 + 19 = 1843.

Преимущество данного метода в том, что надо знать не всю таблицу умножения, а лишь уметь умножать и делить на два.

1.4. Графический способ умножения

Этот способ известен очень давно. В некоторых источниках его называют «китайским», а в некоторых «японским». Суть графического способа в рисовании линий и нахождении их точек пересечения. Рассмотрим на примере.

Допустим, необходимо умножить 31×12.

В первом множителе в разряде десятков (первая цифра) стоит число 3, а в разряде единиц (второе число) стоит число 1. Рисуем линии, количество которых соответствует этим числам (рис 3):

Рис 3.

Во втором множителе в разряде десятков (первая цифра) стоит число 1, а в разряде единиц (второе число) стоит число 2. Рисуем линии, количество которых соответствует этим числам (рис 4), пересекая уже начерченные раннее линии так, чтобы десятки пересеклись с десятками, а единицы с единицами:

Рис 4.

Теперь считаем точки пересечения начерченных линий (рис. 5):

Рис. 5

В голубом овале получилось 3 точки пересечения, в розовом – 7, а в жёлтом – 2 точки пересечения. Значит искомый результат: 32×12=372.

В случае если при подсчёте точек пересечения получается двузначное число, то привычно пишем последнюю цифру в результат, а первую прибавляем в уме к предыдущему разряду.

Этот метод позволяет перемножать не только многозначные числа (что почему-то акцентируют), но и однозначные. Допустим, вы забыли, сколько будет пятью семь. Нарисуйте пачку из пяти параллельных отрезков и другую пачку из семи параллельных отрезков, пересекающих первую пачку. Посчитайте точки пересечения - получите 35. На рисунке 6 видна тождественность ведического метода и стандартного умножения столбиком.

Рис.6

Теперь вопрос - а что, если в записи числа присутствует ноль? В этом случае для него не рисовать линию? Линию рисовать нужно, но ее надо пометить (например, сделать пунктирной) и число пересечений между ней и другими линиями (в том числе, другими пунктирными) всегда считать равным нулю.

На рисунке 7 приведён пример умножения чисел, в записи которых присутствует ноль: 203х31:

Рис. 7

Преимущество графического метода умножения в том, что он позволяет умножать числа, не зная таблицы умножения вообще. Нужно уметь только складывать.

1.5. Метод «решетки» (метод «ревности»)

Этот способ носит романтическое название «ревность», или «решётчатое умножение.

Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, - пишет Пачиоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь». Итальянский математик Лука Пачиоли является основателем данного способа умножения.

«Метод решетки» («ревность») описал в своей «Книге об индийском счете» выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми.

Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

Рассмотрим пример: перемножим 987 и 12:

- рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);

- затем квадратные клетки делим по диагонали;

- вверху таблицы записываем число 987;

- слева таблицы число 12 (см. рисунок );

- теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр – сомножителей, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки выше диагонали, единицы ниже;

- после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали;

- результат записываем справа и внизу таблицы (см. рисунок);

987 ∙ 12=11844

Этот алгоритмом умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и в Италии.

Неудобство этого способа мы отметили в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

1.6. Умножение крестиком

В одной старинной русской рукописи описывается интересный прием «умножения крестиком», применявшийся еще в древней Индии под названием «молниеносного».

Пример: 24 х 32 = 768 2 4

X

3 2

Последовательно производим следующие действия:

1. 4 х 2 = 8 – это последняя цифра результата.

2. 2 х 2 = 4; 4 х 3 = 12; 4 + 12 = 16.

6 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.

3. 2 х 3 = 6, 6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе.

Ответ – 768.

Нами рассмотрены лишь некоторые необычные способы умножения. Используя некоторые из этих них на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Глава II. Практические аспекты исследования

С этими интересными способами умножения мы поделились с учащимися своего класса на уроке математики. Верность умножения проверяли привычными действиями в столбик. Все ребята с интересом слушали и вникали в суть каждого способа. Большинству одноклассников они понравились и им pахотелось научиться умножать необычным способом, что привело на мысль о создании учебного пособия для учащихся 5-6 классов о необычных способах умножения.

Несколько человек стали применять эти способы умножения при вычислениях, что повысило их технику счёта.

Заключение

В истории математики есть много интересных событий и открытий, к сожалению не вся эта информация доходит до нас, современных учеников. Этой работай, мы хотели хоть чуть - чуть заполнить этот пробел и донести до наших сверстников информацию о необычных способах умножения.

В ходе исследования были изучены различные источники информации по теме, анализ которых показал, что существуют различные необычные способы умножения, достаточно быстрые и надежные. В результате исследования подтвердилась его актуальность: существует потребность учащихся в ознакомлении с другими способами умножения и применении их при вычислениях.

Результатом нашей работы стал буклет «Необычные способы умножения». Смело, рекомендуем его вниманию любителей арифметики.

Список литературы

1. Катлер Э., Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. Просвещение, 1967.

2. Перельман Я.И. Быстрый счёт. Ленинград, 1941. 12 с.

3. Депман И. «Рассказы о математике». – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.

4. Корнеев А.А.  Феномен русского умножения. История. http://numbernautics.ru/

5. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.

Интернет – источники:

1. http://kids.to-var.com/index.php/sunduchok/stihi-i-pesni/292

2. http://anovichkov.msk.ru/?p=1699

3. http://www.numbernautics.ru/content/view/278/44/

4. http://www.tower-libertas.com/showthread.php?t=3917

5. http://lib.rus.ec/b/193685/read

6. http://www.school.edu.ru/attach/8/573.pdf

7. http://www.altai.fio.ru/projects/group1/potok33/site/proekt1/travel/umnozenie.htm