Формирование функциональных представлений у младших школьников

МБОУ НОШ №95 г.Челябинск

Жарова Т.Ю.

Формирование функциональных представлений у младших школьников

Рассмотрим основные направления пропедевтической работы на начальной ступени обучения математик. В первых же упражнениях, с которыми встречаются первоклассники, заключена идея функциональной зависимости. Предлагая, например, вписать в свободные клетки нужные числа, обращаю внимание на то, что в каждую свободную клетку можно вписать только одно число, которое зависит от того, какое число имеется в другой клетке.

7			10			10
1			4			5
	3			3		6
5			2			8

В 1 и 2 классах уделяется достаточное внимание рассмотрению упражнений вида:

10 - □ = 5 □ + 3 = 10 5 + □ = 10 (1 класс)

□ + 2 = 50 □ – 8 = 30 87 - □ = 47 (2 класс)

В каждом из этих упражнений неизвестное число определяется однозначно в зависимости от указанного действия и имеющихся данных чисел. В примерах для 1 класса неизвестный компонент выбирается из чисел меньших, чем 10; в первом примере для второго класса – из чисел, меньших 50, во втором примере – из чисел больших 30, в третьем примере – из чисел меньших 87, т.е. в каждом случае конкретно представляется область определения функции.

Идея функционального соответствия хорошо просматривается в упражнениях вида: проведи стрелки от примеров к их ответам.

15 + 6 27

18 + 9 21

21 – 4 19

38 – 19 35

54 – 39 40

19 + 21 15

27 + 8 17

Это упражнение представляем в виде таблицы и предъявляем требование: отметить те клетки, которые находятся на пересечениях строки с каким-либо примером, и столбца, в котором записан ответ:

	27	21	19	36	40	15	17
15+6
18+9
21−4
38−19
54-39
19+21
28+8

Идею изменения маленький школьник может осознать уже на уровне предметных действий, в процессе выполнения упражнений, связанных с переводом различных предметных ситуаций на язык математики, т.е. записывая их в виде выражений: 7 − 3; 7 − 4; 7− 5; 7 − 6;

7 − 7 .

После этого выясняем, чем похожи эти ситуации, чем они отличаются. Дети наблюдают, какие изменения происходят с числовыми выражениями. Для этого целесообразно использовать таблицы.

Например, «В вазе было 10 яблок. Сколько яблок останется в вазе, если возьмут 3 яблока? 5? 8? 6? Запиши решение в таблице»:

Было	10	10	10	10	10
Стало	3	5	2	8	6
Осталось

В этой задаче, по существу, имеем дело с функцией y=a−x. Аналогичные таблицы использую при изучении любого случая табличного сложения или умножения, вычитания или деления.

Например:

Первое слагаемое	1	2	3	4	5	6
Второе слагаемое
Сумма	4	5	6	7	8	9

Функция у=3+х

Первый множитель	18	19	20	21	22	23	24	25
Второй множитель	4	4	4	4	4	4	4	4
Произведение

Функция у=4х

Уменьшаемое	7	7	7	7	7
Вычитаемое
Разность	4	3	2	1	0

Функция y=7-x

Делимое	160	240	360	520	600	3200	3400
Делитель
Частное	40	40	40	40	40	40	40

Функция y=x/40

Идея изменения здесь выражается в том, что если менять один из компонентов действия, а другой оставлять без изменения, то результат действия обязательно меняется.

Упражнения на изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения его компонентов большинство учителей использует для формирования вычислительных навыков. А между тем работа по заполнению таблиц представляет собой ценный материал для ознакомления учащихся с функциональной зависимостью. Покажем, как можно организовать работу в классе с таблицами.

Уменьшаемое	70	70		70
Вычитаемое			38		36
Разность	30	31	32	33	34

После заполнения таблицы задаём вопросы:

• Изменяется ли уменьшаемое, вычитаемое?

• Как изменяется вычитаемое?

• Попробуйте объяснить, почему разность увеличивается на 1?

• Что интересного вы заметили в таблице?

Дети не сразу сформулируют вывод о том, что, если уменьшаемое уменьшается на одно и то же число, то разность будет увеличиваться на это же число (чем меньше вычитаемое, тем больше остаток). Неоднократное обращение к таблицам сложения, умножения и деления даст свои результаты, и дети овладеют умением подмечать, как изменяются сумма, произведение и частное в зависимости от изменения одного из компонентов этих действий. Но цель такой работы не в заучивании правил. Они сами по себе ничего не значат для ребёнка, если не применяются на практике. Их дети запомнят, когда на уроке будут выполнять задания и делать выводы на основе соответственных наблюдений.

Задания могут быть самыми разными. Например, такие:

1.Как изменится уменьшаемое, чтобы разность увеличилась на 3? Уменьшилась на 5?

2.Как изменить вычитаемое, чтобы разность увеличилась на 3? Уменьшилась на 4?

3.Как изменится разность двух чисел, если:

а) уменьшаемое увеличить на 3?

б) вычитаемое увеличить на 2?

в) уменьшаемое уменьшить на 5?

г) вычитаемое уменьшить на 4?

4. Что произойдёт с суммой, если одно из слагаемых увеличить на 120, а другое оставить без изменения?

5. Вычисли:

24 − 3 54 * 5 96 : 4

24 − 10 54 * 6 96 : 2

Сравни каждый столбик и скажи: где результат больше? Меньше? Почему? Во сколько раз? На сколько? Можно ли дать ответ, не вычисляя?

6.Как изменится второе слагаемое, если первое останется без изменения, а сумма при этом уменьшится на 130 единиц? Вычисли.

7. Вычисли:

850−590 340−160 420−80 520−50

860−590 340−150 400−80 520−60

870−590 340−140 380−80 520−90

Почему в первых двух столбиках разность увеличивается, а в последних двух уменьшается?

8. Что интересного в этих примерах?

420+10 380−40

420+20 380−30

420+30 380−20

420+40 380−10

9. Составь четыре примера на сложение и вычитание так, чтобы результат каждого следующего примера был на 5 больше, чем результат предыдущего.

10. Пронаблюдай, как изменяется сумма? Разность?

11. Я задумала число, прибавила к нему число на 15 единиц меньше задуманного и сумма стала равна 43. Какое число я задумала?

Решение: если второе слагаемое увеличить на 15 единиц, то оно станет равно первому слагаемому, а сумма при этом увеличится на 15 единиц и станет равна 43+15, т.е. 58. Задуманное число составит половину этой суммы, т.е. 29.

12. Найди частное 894:149. А теперь догадайся, как, пользуясь полученным равенствам, можно найти значение следующих выражений:

1788:149 894:447

Решение:

1) делимое увеличено в 2 раза, значит, частное увеличится в 2 раза, т.е. частное равно 12, т.к .894:148=6

2) делитель увеличен в 3 раза, значит, частное уменьшается в 3 раза, 6:3=2

Сначала дети высказывают догадку, а затем проверяют её, выполняя деление.

Полезными упражнениями по воспитанию функционального мышления, используемые в практике обучения математики младших школьников, являются «занимательные рамки», «лабиринты» и «занимательные» (магические) квадраты.

Заполняя «занимательные рамки», представленные в виде треугольника и квадрата, ученики имеют дело фактически с функциями. Организуем такую фронтальную работу с учащимися, ориентируем их на понимание зависимости неизвестного (искомого) от данных (известных), их диалектической связи и взаимообусловленности. Аналогичная работа проводится и с использованием «лабиринтов» и «занимательных квадратов». Предложив ученикам «лабиринт», объясняю: «пройти через ворота», на которых имеются числа, к центру можно только при условии. Если сумма чисел «в воротах» равна числу, имеющемуся в центре, например 100.

Допустим, ученик « прошёл через ворота», где имеется число 27. Дальше методом проб и ошибок он пытается найти нужные вторые «ворота». Здесь полезно сориентировать его на более рациональный приём, обратив внимание на связи числа в центре с числами « в воротах», т.е. на зависимость y=100−x. Если x=27, то ясно, что у=73, а это показывает, через какие «ворота» надо идти далее.

Все рассмотренные примеры, несомненно, принесут пользу при усвоении младшими школьниками идеи изменения, необходимой при ознакомлении учащихся с функциональной зависимости. Но помимо идей изменения, существует понятие правила (закона) согласно которому происходит это изменение. Изменение, происходящее по какому-то правилу (словесной договорённости), приводит к соответствию между парами чисел. Или, правило, по которому происходит изменение, связывает две величины, делая необходимым присутствие зависимости между ним.

Для того чтобы идея правила была доведена до младшего школьника, целесообразно предусмотреть задания на угадывание закономерностей. Ниже приведём несколько заданий, при выполнении которых дети должны угадывать правила (закономерности) на основе собственных наблюдений. Эти правила могут оказаться и формулами, словесными описаниями, рисунками (по аналогии с различными способами задания функции).

1. В первой и во второй строке записаны некоторые числа. Что нужно сделать с каждым числом первой строки, чтобы получить числа второй строки?

а) 1 2 3 4 5

2 4 6 8 10 (умножить на 2)

б) 3 5 11 9 7

10 16 34 28 22 (умножить на 3 и прибавить 1)

в) 2 31 11111 5 12

2 4 5 5 3 (найти сумму цифр каждого числа первой строки)

2. Дай словесное описание правила:

а) 21 30 7 20 11 13 18

5 10 5 10 5 5 10 (каждому чётному числу соответствует число 10. а каждому нечётному-5)

б) 14 8 9 2 22 10 1 18

10 16 15 22 2 14 23 6 (сумма двух чисел , записанных одно под другим равна 24)

в) 4 2 3 5 12 7

2 1 6 10 6 14 (каждому чётному числу первой строки соответствует его половина, записанная под ним во второй строке, а каждому нечётному – число в 2 раза больше).

3. Угадай, по какому правилу записаны числа ряда и попробуй продолжить ряд:

а) 1 3 5 7…..

2 4 6 8 …..

(увеличение на 2)

б) 2, 1, 4, 3, 6, 5,…(чередование двух рядов)

в) 5, 10. 15,………(увеличение на 5)

г) 3, 9, 15, 27, 33, ….(увеличение на 6)

д) 9, 1, 8, 2, 7, 3, 6, 4,..(чередование двух рядов -1, +1)

е) 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, …(увеличение на 1. 2, 3. 4. 5, 6, )

4. В каждом ряду из 5 чисел одно лишнее, угадай его:

5, 15, 16, 20, 25 (16)

24, 11. 13, 15, 17 (24)

10. 17, 20, 50, 60 (17)

15. 18, 21, 24, 43 (43)

6. В данных группах чисел скрыто правило, по которому они записаны:

Найди правило, по которому составлена закономерность и запиши недостающее число:

40 20 60

0 90 90

70 30 …. (100)

20 30 50

70 20 90

40 0 …. (400)

(сумма двух первых чисел строки равна третьему числу)

80 10 70

30 20 10

60 20 ….

(разность первых двух чисел равна третьему числу)

Учитывая возрастные особенности детей, полезно предлагать упражнения в игровой (занимательной) форме.

Алёша и Вадим играли в такую игру: поочерёдно записывали числа в ряды, причём Вадим должен по одному и тому же правилу каждый раз отвечать на ход Алёши:

Алёша	9	3	5	8	2
Вадим	7	1	3

Какие числа должен записать Вадим в свободные клетки ?

(в задаче представлена функция у = х − 2)

Основными, базисными понятиями курса математики начальных классов являются понятия «число» и «величина». Это подчёркивается и в программе для начальных классов школы, и в методических пособиях.

Величину, как первоначальное понятие математики, нельзя определить путём указания родового признака и видового отличия.

При знакомстве учащихся с конкретными величинами (масса, длина, время и т.д.) важно, чтобы у них сложилось определённое представление о том, что такое величина вообще и как её измерять. Не менее важно, чтобы представление о величинах связывалось у ученика с предметами и явлениями окружающего мира и, так же понятие числа, понятие величины приобретало для него практическую значимость.

В начальных классах у учащихся формируются некоторые интуитивные представления о величинах и об их измерениях. Т.е. используется интуитивный подход, в соответствии с которым формируется представление о величине как о некотором свойстве предметов и явлений, связанном, прежде всего с измерением. Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для длин он один, для площадей – другой и т. д. Но каким бы ни был этот процесс, в результате измерения величина получает определённое числовое значение при выбранной единице измерения. Итак, результатом измерения является числовое значение величины. Следует отметить, что одна и та же величина может быть измерена различными по величине единицами, то есть более крупными и более мелкими. Например, длина может быть измерена с помощью миллиметра, и с помощью километра – в зависимости от того, что конкретно требуется измерить по условию задачи. Результат измерения величины соответствующей единицей измерения есть то число, которое показывает, сколько раз единица измерения содержится в измеряемой величине. Это число называется числовым значением величины. Для сознательного усвоения основного свойства величины – её измеряемости – необходима большая систематическая работа по изучению метрической системы мер.

В процессе работы с величинами у учащихся должно сформироваться отчётливое понимание, что величине с математической точки зрения присущи те же математические закономерности, что и числу, являющемуся её числовым значением. Поэтому однородные величины можно сравнивать, так как можно сравнивать результаты их измерения – числа. Однородные величины можно складывать, так как можно складывать результаты измерения величин – числа. Постоянное акцентирование внимания учащихся на том, что величинам с математической точки зрения присущи те же закономерности, что и числам, поможет привести учащихся к выводу: в математике говорить о величине – это всё равно, что говорить о её числовом значении, то есть о числе. Поэтому систематическая работа по измерению величин и арифметические действия над их числовыми значениями, кроме содержательного формирования математических отношений и знакомства с идеей изменения и соответствия, ещё помогут осуществить подготовку понятия действительного числа. Для формирования общего представления о величинах и их измерениях необходимо, чтобы деятельность учащихся при изучении конкретных величин характеризовались некоторой общностью.

Основу этой общности составляет как математическая трактовка величины, так и те психологические особенности младших школьников, которые необходимо учитывать при построении обучения. На этой основе можно выделить этапы формирования представлений о величинах, в соответствии с которыми осуществляется деятельность учащихся, направленная на их усвоение:

• Выяснение и уточнение имеющихся у школьников представлений о данной величине (обращение к опыту ребёнка).

• Сравнение однородных величин ( визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путём использования различных мерок).

• Знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором.

• Формирование измерительных умений и навыков.

• Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования (при решении задач).

• Знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований.

• Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

• Умножение и деление величины на число.

В процессе работы с математическими величинами и их числовыми значениями необходимо выработать навык оценки реальности значений величины. Если это не будет сделано в младших классах, то в старших классах при решении текстовых задач методом составления уравнения учащиеся иногда записывают ответы вида: 2,4 машины или 13,7 человека. Рассмотрение допустимых значений величины, кроме этого, будет хорошей подготовкой для усвоения в будущем понятия области определения функции. Приведём пример упражнений, которые можно использовать при изучении измеряемости величины в младших классах.

1.Назвать единицы измерения времени, площади, веса, длины.

2.Какую величину можно измерить с помощью см, км?

3.Сколько секунд в сутках, в году?

4.Измерьте в миллиметрах, а затем в сантиметрах длину и ширину страницы ученической тетради.

5.Измерьте толщину листа вашего учебника.

6.Выразите в метрах, дециметрах, сантиметрах, миллиметрах расстояние в 3 километрах?

7.Сколько секунд продолжается урок?

8.Сколько граммов в 28 тоннах?

9.Какую долю часа составляет минута, секунда?

10.Какую долю центнера составляет килограмм?

Уроки, связанные с изменением величин, вызывают у учащихся большой интерес, если использовать на них практические задачи, позволяющие учащимся осознанно усвоить характерные особенности вводимых понятий. Работу на уроке стараемся организовать так, чтобы доля самостоятельности в процессе познания была как можно больше. Более широкие возможности для функциональной пропедевтики открываются в связи с рассмотрением выражений, в особенности выражений с переменными, начиная со второго класса. С введением буквенной символики функциональная зависимость представляется более явно. Формирование сознательного использования буквенной символики в начальных классах ведём в двух направлениях:

• в направлении получения более высокой степени абстракции, позволяющей глубже изучать свойства математических отношений, а следовательно, и свойства реальных процессов;

• в направлении выяснения содержания буквы как математического символа по отношению к ранее изученным математическим символам – числам.

Буквенные выражения, с которыми знакомятся учащиеся начальных классов, состоят из букв, чисел, знаков, действий и скобок. Предполагается, что буквы могут принимать различные числовые выражения, т.е. в выражениях они являются переменными. В общем виде понятие выражения с переменными может быть определено точно так же, как и понятие числового выражения.

Понятие функции – важнейшее понятие в математике. С ним учащиеся знакомятся в среднем звене. Однако в начальных классах можно создать условия для накопления фактов о различных зависимостях между величинами. Курс математики начальных классов представляет для этого возможности. Так, заполнение таблицы:

а	4	6	8	9
а+18

не только способствует отработке вычислительных умений и навыков, но и представляет возможность наблюдать зависимости между изменениями значения переменной а и значении суммы, а+18. В результате такого наблюдения ученики осознают, что каждому значению переменной а соответствует единственное значение суммы а+18. Кроме того, они могут наблюдать и различные свойства функциональных зависимостей: если значения переменной а увеличиваются (возрастают), то увеличиваются (возрастают) и значения суммы а+18; если значение переменной а увеличить на 2, то и значение суммы а+18 также увеличится на 2, и т.д. Работая во втором классе с таблицами вида:

в	72		80	95
с	4	5
в : с		18	20	95

Акцентируем внимание на том, что переменная может принимать различные значения, но в зависимости от того, какое значение придаётся некоторым переменным, другие уже не могут принимать произвольные значения, а зависят от первых. Причём данным значениям двух переменных соответствует только одно значение неизвестной. На такие главные особенности функциональной зависимости каждый раз обращаем внимание учащихся, не удовлетворяясь просто формальным решением таких примеров.

Употребляются буквы для краткой записи законов действий. Буквенная запись законов действий преследует две цели: повторение законов действий и закрепление буквенной символики.

Учащиеся ещё раз убеждаются, что введение буквенной символики даёт возможность коротко записывать большие математические предложения.

Переместительный закон сложения : а + в = в + а , умножения : а* в = в * а и т.д.

Употребляются буквы для записи формул решения задач. Рассматривают сначала простейшие задачи в одно действие, постепенно заменяя числовые данные буквенными. Например:

Скорость пешехода 3 км/ч. Сколько километров он пройдёт за 2 часа, за 6 часов, за 10 часов?

Каким действием решается каждая из этих задач? Сколько километров пройдёт за х часов?

Ответ: Задачи решаются умножением, за х часов пешеход пройдёт 3 * х км.

Мы получили общую формулу решения задачи. Если время движения будет выражено числом, то можно найти длину пути. Так, если х = 4 час, то 3х = 3*4 =12 (км). Число 4 называют числовым значением буквы х, а число 12 – числовым значением выражения 3*х

Каждому числовому значению х соответствует определённое числовое значение выражения 3х. Составим таблицу, в которой под числовым значением х расположим соответствующее числовое значение выражения 3х.

Х (час)	0	2	6	10	4
3х (км)	0	6	18	30	12

Особое внимание следует обратить на допустимые значения букв в данной задаче.

Отец старше сына в 4 раза. Сколько лет отцу, если сыну х лет?

Ответ: 4 * х лет.

Вопросы: может ли х быть равен 1? Почему?

(Нет, не может, потому что отцу не может быть 4 года.)

Какое самое маленькое число можно поставить вместо х? Почему? А самое большое?

Здесь прослеживается задача нахождения наибольших и наименьших значений функции, а также области определения и области значений функций у=4х; на них указывают конкретные условия задачи.

Существует несколько способов введения буквенных обозначений:

1. Составление числовых выражений при решении однотипных задач и обобщение решения с помощью букв.

Трудность здесь в том, что ученикам надо хорошо знать зависимость между нужными для решения задач величинами, а так же в том, что при решении задачи основное внимание учеников направленно на процесс решения, а это отвлекает их от целей, преследуемых уроком. Кроме того, данные в задаче числа ученики часто воспринимают как количества. Поэтому в момент обобщения (переход от числовой формулы решения к буквенной) к представлению «буква – любое число» могут примениться представление «буква – количество».

2. Составление алгебраических формул для решения однотипных задач.

Применяя этот способ, приходиться преодолевать те же трудности, что и в предыдущем случае, и при этом нужно ввести ещё понятие равенства.

3. Запись законов арифметических действий с помощью букв.

Введение буквенных обозначений этим способом сравнительно не трудно для учеников, так как в самой формулировке законов действий речь идёт о любых числах. И запись законов действий с помощью букв носит естественный характер. Но такой способ введения для учащихся формален и скучен, они не видят перспективы его применения.

4. Решение задач с помощью составления уравнения.

При введении буквенных обозначений во время решения задач с помощью составления уравнений можно использовать конкретный материал, но это познакомит только с буквой, выражающем конкретное число (говорить, сто неизвестное в уравнении – величина переменная, преждевременно).

5. Способ введения буквенных обозначений с помощью « чистого бланка» ( пропуск , место для заполнения).

Каким бы образом не вводилось буквенное обозначение чисел, нужно познакомить учащихся и с другими приёмами, проделав соответствующие упражнения.

Уяснению функциональной зависимости способствует работа даже с такими простейшими уравнениями, как: 21-х = 18 , 7 + х =63, а : 4 = 8.

Этой же цели служит и такой материал программы 2 и 3 класса, как увеличение числа и уменьшения в несколько раз, нахождение части числа.

В осуществлении функциональной пропедевтике особую роль играют задачи на зависимости между величинами: ценой, количеством и стоимостью; скоростью, временем и расстоянием при равномерном прямолинейном движении; производительностью труда, временем работы и выполненной работой; площадью прямоугольника и длинами его сторон.

Такие задачи в основном рассматривается в 3 классе.

Представление этих задач в виде табличной записи подчёркивает выраженную в них функциональную зависимость:

Изготавливали в час	Время работы	Всего изготовлено
12 деталей 15 деталей	3 ч. 3 ч.	? ?

После решения задачи внимание учащихся обращаем на то, что время работы в обоих случаях одинаково, а изготовлено деталей во втором случае больше, чем в первом. В чём причина?

Оказывается, она в том, что изготавливали в час во втором случае больше, чем в первом, говорят, что производительность труда больше. Значит, чтобы вырабатывать продукции больше, надо повышать производительность труда. Здесь мы имеем дело с прямо пропорциональной зависимостью.

Идея зависимости наиболее полно прослеживается при решении текстовых задач. В практике работа над задачей обычно сводиться к вычислению ответа и не используется потенциал, связанных с идеей функциональной зависимости.

Раскрытию идей зависимости при решении текстовых задач могут способствовать дополнительные вопросы, которые носили бы функциональный характер: изменяли бы данные в условии задачи или дополняли бы их новыми данными и ограниченно вплетались бы в сюжет задачи. При решении задач приведённых ниже важно обратить внимание на понимание способов словесного выражения изменения величин и фиксацию этих изменений.

На первых двух полках по Н книг на каждой,

а на третьей – М книг. Сколько книг на трёх полках? (2Н + М книг).

Вопросы:

• какие числа можно поставить вместо букв М и Н?

• Может ли Н быть равной 2000 , если на полках в шкафу книг:

а)30? Б)100?

Рассуждая и анализируя ответы, дети приходят к выводу, что в зависимости от конкретного условия вместо букв не всегда можно поставить любое число, эти выводы могут явиться прообразом области определения и области значения функции.

Решение задач с помощью таблиц позволяет более наглядно установить правило соответствия между величинами и тем самым на конкретных примерах готовить введение понятия функции.

Особенно важно с помощью таблиц решать простейшие задачи на движение. Например: велосипедист ехал со средней скоростью 12 км/ч. Какой путь он пройдёт за 2 часа? За 3 часа? За 5 часов? и т.д.

Скорость	Время	Расстояние
12 км/ч	2 ч.	?
12 км/ч	3 ч.	?
12 км/ч	5 ч.	?

Велосипедист проехал за некоторое время 20 км. Сколько километров он бы проехал, если бы ехал в 2 раза быстрее? В 4 раза быстрее? В 5 раз быстрее? В 2 раза медленнее? В 4 раза медленнее?

Время	Изменение скорости	Расстояние
Постоянно	Увеличилась в 2 раза Увеличилась в 4 раза Увеличилась в 5 раз Уменьшилась в 2 раза Уменьшилась в 4 раза	40 км 80 км 100 км 10 км 5 км

Анализ первой таблицы приводит к следующему выводу: если время увеличивается, а скорость остаётся постоянной, то и путь увеличивается. В 3 классе, в котором данная задача может быть решена, очевидно, вести разговор о пропорциональности увеличения ещё рано, но готовить к этому выводу учащихся необходимо.

Анализ второй таблицы приводит к следующему выводу: при постоянном времени с увеличением скорости увеличивается пройденный путь, причём, во сколько раз увеличивается скорость, во столько раз увеличивается и расстояние. Аналогичный вывод можно сделать и при уменьшении скорости.

Систематическое знакомство с изменением величин и закономерностями этого изменения составляет значительную часть работы на уроках математики в начальной школе.

При формировании функциональных представлений полезно готовить младших школьников к изучению прямоугольной системы координат. Этому способствует построение диаграмм, шкал, таблиц. При подготовке к работе необходимо учесть умение детей играть в шашки, шахматы, «морской бой»: во всех этих играх дети интуитивно чувствуют расположение объектов на координатной плоскости. Можно начинать с несложных заданий вида:

1. Лёва сделал 10 шагов вперёд, потом повернул направо и делал ещё 6 шагов. Покажи на рисунке, как Лёва может вернуться на прежнее место.

2. Володя сделал 5 шагов вперёд, повернул на право и сделал еще 5 шагов, Андрей с того же места, что и Володя, повернул направо и сделал 5 шагов, затем 5 шагов вперёд. Окажутся ли ребята в одном месте? Проверь, взяв условно 1 шаг за одну клетку.

Полезны также упражнения следующего типа: даны числа в строке и в столбце. Сколько различных примеров можно составить. Если первый компонент брать из чисел строки, а второй из чисел столбца? Число из строки и из столбца можно брать лишь один раз.

	2 4 6 8 10
3 5 7 9

Можно предложить изображать числа на числовом луче. Если это будет введено, то можно для некоторых задач дать арифметическое решение с помощью очень простых монограмм (этот термин детям не сообщают). Например: цена лука 12 рублей за килограмм. Сколько стоит 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, 6 кг, 7 кг, 8 кг?

Решение будет в виде таблицы:

Цена	12	12	12	12	12	12	12	12
Масса (кг)	1	2	3	4	5	6	7	8
Стоимость(р)	12	24	36	48	60	72	84	96

Такие упражнения, давая понятие переменной величины, однако, не готовят учеников к графикам, выполненным на координатной плоскости. Для такой подготовки полезно вычерчивать столбчатые диаграммы. Учащиеся должны их выполнять на бумаге в клетку. Диаграммы в виде вертикальных столбиков или отрезков прямой особенно следует рекомендовать, так как от них проще всего перейти к координатной системе.

Включение в программу элементов алгебраической пропедевтики позволяет повысить уровень формируемых обобщений, способствует развитию абстрактного мышления у младших школьников.

Изучение начального курса математики должно создать прочную основу для дальнейшего обучения этому предмету. Поэтому важно не только вооружить учащихся предусмотренным программой кругом знаний, умений и навыков, но и обеспечить необходимый уровень их общего и математического развития. Важнейшее значение придаётся постоянному использованию сопоставления, сравнения, противопоставления связанных между собой понятий, действий и задач, выяснению сходства и различия. Проанализировав содержание и организацию функциональной подготовки, выделяем следующие виды упражнений, направленных на подготовку к изучению функций:

• Состав чисел

• Примеры с окошечками

• Система примеров с идеей изменения

• Таблицы с одной постоянной

• Неравенства

• Числовые закономерности

• Занимательные рамки

• Магические квадраты

• Изменения членов выражения

• Буквенные выражения

• Множество допустимых значений

• Задачи:

а) с окошечками

б) какой смысл имеют выражения

в) измени условие, вопрос

г) зависимость между величинами

• Упражнения, подготавливающие к изучению прямоугольной системы координат.

В традиционной системе обучения много упражнений с примерами, таблицами, с буквенными выражениями и с задачами. Таким образом, в начальном курсе математики значительная роль должна отводиться функциональной пропедевтике, которая предусматривает подготовку учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии, а также воспитывает у них диалектический характер мышления, понимание причинных связей между явлениями окружающей действительности. Для лучшей подготовки к изучению функций во внеурочное время необходимо уделить внимание числовым закономерностям, играм на передачу изображений, задачам по комбинаторике, построению диаграмм, а также ознакомить учащихся с графиками движения, шкалой, координатным лучом и координатным углом .

Приложение 1

Магические квадраты

Первые сведения о магических квадратах встречаются в литературе, написанной задолго до нашей эры. Старейший магический квадрат в современной записи выглядит следующим образом.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Основное свойство магического квадрата состоит в том, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой из диагоналей одинаковы. В рассмотренном квадрате в девяти клетках размещены девять чисел: 1,2, 3, 4,5,6,7,8,9. Суммы чисел в строке, столбце и диагонали равны 15.

1. Составьте магический квадрат, состоящий из девяти клеток, в которых были бы записаны числа 2, 4, 6, 8, 10, 12,14, 16, 18 так, чтобы в любом направлении получилось одно и то же число 30.

8	18	4
6	10	14
16	2	12

2. В клетках квадрата переставьте числа так, чтобы по всем направлениям их сумма была равна 33.

3	5	7	Ответ:	17	7	9
9	11	13		3	11	19
15	17	19		13	15	5

3. Даны числа 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45. Впиши их в клетки квадрата так, чтобы в любом направлении получилось в сумме одно и то же число 75.

Ответ:

20	45	10
15	25	35
45	5	30

4. Поставьте по клеткам квадрата недостающие числа, если при сложении по строкам, столбцам и диагонали должно получиться число 18.

5			Ответ:	5	10	3
	6			4	6	8
		7		9	2	7

5. Расставьте числа, помещённые в квадратах так, чтобы сумма по любой горизонтали, вертикале и диагонали были одинаковы.

1	1	1	Ответ:	3	1	2
2	2	2		2	2	3
3	3	3		1	3	1

6. Числа 2, 3,4,5, 6, 7, 8,9, 10 требуется разместить так, чтобы сумма чисел по любой её горизонтали, вертикали и диагонали были одинаковы и составляли каждый раз 18.

Ответ:

5	10	3
4	6	8
9	2	7

7. Число 6.

В этом квадрате нужно разместить ещё числа 2, 2, 2, 3, 3, 3 так, чтобы по всем линиям получить сумму 6.

	1		Ответ:	3	1	2
1				1	2	3
		1		2	3	1

8. Число 15.

Расставьте числа 1,4, 6, 7, 8, 9 так, чтобы в любом направлении получить в сумме 15.

			Ответ:	6	1	8
	5	3		7	5	3
2				2	9	4

9. Число 21.

Числа 3, 4, 5,6, 8, 9 расставьте так, чтобы в любом направлении в сумме получить 21.

10			Ответ:	10	3	8
	7			5	7	9
	11			6	11	4

10. Число 24.

В клетках поставить числа 4, 6, 7, 9,10,11,12 так, чтобы в любом направлении получить в сумме 24.

			Ответ:	11	4	9
	8			6	8	10
		5		7	12	5

Приложение 2

Закономерности

1.Найди неизвестное число:

7	16	9
5	21	16
9	?	4

(13=9+4)

2.

2	5	9
4	7	5
6	12	?

(14=9+5)

3.

14	9	5
24	19	5
21	7	?

(14=21-7)

4.

2	4	8
3	6	?

(18=3*6)

5.

1	в	5	?
а	3	д	?

(Ё)

(7)

6.

5	7	10	14	?
8	10	13	17	?

5+2=7 7+3=10 10+4=14 14+5=19

8+2=10 10+3=13 13+4=17 17+5=22

7. Продолжи числовой ряд:

129, 138, 147… (156, 165)

8. Найди закономерность и запиши зависимость между x и y.

x	1	2	3	4	5
y	3	6	9	12	15

(умножение числа на 3)

x	1	2	3	4	5
y	5	6	7	8	9

( увеличение числа на 4)

x	1	2	3	4	5
y	1	4	9	16	25

(умножение вида а*а)

Продолжи ряд:

0, 36, 72,108…( увеличение на 36)

Приложение 3

Морской бой

Правила игры. В эту игру всегда играют двое. Каждый игрок чертит два квадрата со стороной 10 клеток. В первом квадрате игроки располагают свои «корабли»: один авианосец (4 клетки) два линкора (3 клетки) три эсминца (две клетки) и 4 торпедных катера (1 клетка). Во втором квадрате – восстанавливают расположение флота противника. Корабли располагаются произвольно, но не касаются друг друга.

Бой состоит из поочерёдных «выстрелов» игроков. Выстрелом является название какой-нибудь клетки квадрата. Попадание в корабль противника даёт право следующего выстрела, промах – передаёт ход. Сражение выигрывает тот игрок, который первым потопит чужой флот.

Играющий должен суметь объяснить противнику, в какую клетку произведён выстрел. Как это сделать?

Чтобы обозначить клетки квадрата можно поступить так: столбцы обозначить буквами – а,б,в,г,д,е,ж,з,и,к (слева на право), а строчки обозначить цифрами от 1 до 10 (снизу вверх). Тогда любую клетку можно обозначить соответствующими ей буквой и числом. При этом первой всегда называется буква, а число стоит на втором месте.

1. Запишите координаты

   5						(б;5)
   4
   3
   2
   1
   	а	б	в	г

2. Построй фигуры

   5						(г;3)
   4						(б;4)
   3						(а;2)
   2						(в;1)
   1						(а;5)
   	а	б	в	г

3. Восстанови рисунок по его коду

а) 6
5
4
3
2
1
	1	2	3	4	5

(2;5), (3;2), (3;3)

(3;4), (3;5), (4;5)

б) 6
5
4
3
2
1
	1	2	3	4	5

(1;2), (1;5), (2;2),

(2;3), (3;6), (4;2),

(4;3), (5;2), (5;5)

Список использованной литературы

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах. / Под ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. – М.: Педагогика, 1977. – 262 с.

2. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. – М.: Педагогика, 1984. – 301 с.

3. Брейтнгам Э.К. Обучение математике в личностно-ориентированной модели образования. // Педагогика. – 2000. - № 10. – С. 45-48.

4. Волошкина М.И. Активизация познавательной деятельности младших школьников на уроке математики. // Начальная школа. – 1992. - № 9/10. – С. 15-18.

5. Давыдов В.В. Психическое развитие в младшем школьном возрасте. / Под ред. А.В. Петровского. – М.: Педагогика, 1973. – 167 с.

6. Доронина И.М. Использование методики УДЕ на уроках математики в III классе. // Начальная школа. – 1999. - № 11. – С. 29-30.

7. Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников. – М.: Вагриус, 1994.

8. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.: Издательский центр «Академия», 1998. – 288 с.

9.Клименченко Д.В. Развитие функционального мышления в начальных классах./ Начальная школа – 2007. -№6

10. Концепция математического образования (в 12-летней школе) // Математика в школе. - 2000- № 2. - С.13-18.

11.Кретинин О.С. О функциональной пропедевтике в 5 -6 классах// Математика в школе. – 2005.-№6

12..Лебедева Н.В. Преемственность в учебно - воспитательной работе учителей начальных классов и учителей-предметников.// Начальная школа -1997 -№12-с.60

13.. Мартынова О.А. Из опыта обучения математике по системе УДЕ. // Начальная школа. – 1993. - ; 4. – С. 29-31.

14.. Моро М.И. и др. Математика: Учебник для 3 класса трехлетней начальной школы и 4 класса четырехлетней начальной школы. / Под ред. Калягина Ю.М. – М.: Просвещение, 1997. – 240 с.

15. Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1-3 классах. – М.: Педагогика, 1978. – 312 с.

16. Пентегова Г.А. Развитие логического мышления на уроках математики. // Начальная школа. – 2000. - № 11. – С. 74-77.

17. Петерсон Л.Г. Математика, 3 класс. Ч. 1, 2. Учебник для 4-летней начальной школы. – М.: «Баласс», 2001.

18. Тестов В. А. Стратегия обучения математике. М.: ГШБ, 1999. - 304 с.

19. Укурчиева Т.А. Актуализация резервов мыслительных операций при обучении математике. // Начальная школа. – 1999. – № 11. – С. 17-18.

20.Цыдыпова Е.Д. Некоторые пути ознакомления школьников с функциональной зависимостью.// Начальная школа. -2004 - №1

21. Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение. Психологические основы развивающего обучения. – М.: Альматея, 1995. – 244 с.

22. Шикова Р.Н. Решение задач на движение в одном направлении. // Начальная школа. – 2000. - № 12. – С. 48-52.

23. Эльконин Д.Б. Психологические исследования в начальной школе. // Советская педагогика. – 1961. - № 9. – С. 22-31.