Экономические задачи на ЕГЭ

Департамент образования мэрии города Новосибирска

Дворец творчества детей и учащейся молодежи «Юниор»

XXXVIII городская открытая научно-практическая

конференция НОУ «Сибирь»

Секция: математика

Тема: Экономические задачи на ЕГЭ

Авторы:

Галахова Анастасия Александровна,

Прокопенко Анна Павловна

10 класс МБОУ СОШ № 141 с углублённым изучением математики

Первомайского района

города Новосибирска

Научные руководители:

Туленкова Елена Сергеевна,

учитель математики в.к.к.

МБОУ СОШ № 141 с углублённым изучением математики

конт. тел. 8-913-749-25-03,

Петрунина Вера Андреевна,

учитель математики в.к.к.

МБОУ СОШ № 141 с углублённым изучением математики

конт. тел. 8-913-482-02-86

Новосибирск 2018

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………….3

2. Об экономических задачах………………………………………………...4

3. Решение экономических задач…………………………………………...11

4. Заключение………………………………………………………………..18

5. Список литературы……………………………………………………….19

6. Приложение……………………………………………………………….20

Введение

В экзаменационных заданиях по математике (профильный уровень) во II части содержится задание № 17 – задача с экономическим содержанием. Она относится к повышенному уровню сложности и оценивается максимально в 3 балла.

По статистике это задание на 3 балла выполняют только 7,8% учащихся, на 2 балла – 2,4%, на 1 балл – 2,7%.

В следующем году и нам предстоит сдавать экзамен по математике. Чтобы попасть в эти 7,8 %, мы решили уже в 10 классе разобраться, что необходимо знать и уметь для решения экономических задач.

Более того, мы уверены, что умение решать такие задачи поможет нам и в повседневной жизни, например, в управлении личными финансами. Любому человеку необходимо повышать свою финансовую грамотность и разбираться в таких вопросах, как начисление заработной платы, налоговые отчисления, инфляция, потребительские и ипотечные кредиты, кредиты на образование и др. Часто финансово грамотное решение в реальной жизни вырабатывается не методом проб и ошибок, а путём аккуратных расчётов.

Цель нашей работы: выяснить, какие задачи называют экономическими, выявить основные типы задач на ЕГЭ и научиться их решать.

Задачи:

1. Изучить теоретический материал;

2. Проанализировать виды экономических задач;

3. Научиться применять полученные знания на практике.

Объект исследования:

Экономические задачи повышенного уровня сложности.

Методы:

• поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

• исследовательский метод при определении видов задач;

• практический метод решения задач;

• анализ полученных в ходе исследования данных.

План работы:

• Работа с литературой

• Анкетирование учащихся

• Изучение видов задач на проценты

• Изучение способов решения задач

• Выводы

Об экономических задачах

Начиная с 2015 года, в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня появилась новая экономическая задача №17.

Экономические задачи - задачи, решаемые в процессе экономического анализа, планирования, проектирования, связанные с определением искомых неизвестных величин на основе исходных данных. Их решение сопровождается поиском недостающих данных, экспертными оценками, обсуждением, принятием решений.

Мы изучили теоретический материал и выяснили, что эти задачи условно разделяют на два типа: непрерывные модели (производство товаров, протяжённое во времени, оптимизация производства, и т.п.) и дискретные модели (налоги, банковские проценты, вклады, погашение кредитов, и т.п.).

Непрерывные модели

1. Использование свойств функции

Решение различных экономических задач в формате ЕГЭ часто сводится к отысканию экстремальных (минимальных или максимальных) значений некоторой функции на заданном или получаемом из условия промежутке.

Нередко такими функциями являются линейная функция y=px+q(p ≠ 0) или квадратичная функция y= ax²+bx+c (a≠0). Линейная функция принимает экстремальное значение на одном из концов промежутка, которому принадлежат значения х.

Если линейная функция рассматривается только на множестве целых чисел, то число из этого промежутка, при котором функция принимает наибольшее или наименьшее значение, будет ближайшим целым числом к тому концу промежутка, на котором она принимает соответствующее экстремальное значение. Это следует из того, что линейная функция при ненулевом значении углового коэффициента является монотонно возрастающей или убывающей.

Пример. Подрядчику выделили 30000 рублей на уборку микрорайона к приезду губернатора. Из этих денег нужно выдать 2000 рублей бригадиру и по 450 рублей зарплаты каждому рабочему. Какую наибольшую сумму может потратить подрядчик на зарплату?

Решение. Пусть всего х рабочих. Зарплата рабочих и бригадира равна 2000+450х, по условию она не должна превышать 30000, т.е. 2000+450х≤30000

x ≤ 62

Линейная функция y = 2000+450х возрастающая, поэтому наибольшее значение она примет на правом конце промежутка. По условию х – число натуральное, значит, наибольшее значение будет достигаться при х = 62, тогда наибольшее значение равно 2000+450×62 = 29900 рублей.

Ответ: 29900 рублей.

Квадратичная функция y=ax²+bx+c принимает экстремальное значение при х₀= - (в вершине параболы). В случае, если требуется найти целое число, при котором квадратичная функция принимает экстремальное значение на множестве целых чисел, то таким числом будет ближайшее к х₀ целое число. Если число х₀ имеет дробную часть, равную 0,5, то экстремальные значения на множестве целых чисел будут достигаться в двух ближайших точках. Например, если х₀ = 2,3, то берём 2, а если х₀ = 2,5, то берём 2 и 3. Это следует из того, что график квадратичной функции симметричен относительно прямой х₀, проходящей через вершину параболы.

Пример. Производительность отдела в зависимости от количества сотрудников х, находящихся в офисе, описывается формулой y = -2х²+25х-8. Найдите, при каком числе сотрудников, находящихся в офисе, производительность отдела наибольшая.

Решение. Графиком функции y = -2х²+25х-8 является парабола, ветви которой направлены вниз. Значит, наибольшее значение она принимает в вершине параболы. Найдём абсциссу вершины

х₀ = = 6,25.

Количество сотрудников – число натуральное, значит наибольшее значение функция будет принимать при натуральном значении х, ближайшем к вершине, в данном случае х = 6.

Ответ:6

1. Применение производной

Для исследования свойств функции используют производную.

Дискретные модели

Некоторые задачи удобно решать с помощью дискретных математических моделей, то есть моделей, переменные в которых могут принимать некоторое, практически всегда конечное число наперед известных значений.

1. Простые экономические задачи. Проценты, доли и соотношения.

Часто такие задачи требуют умения обращаться с процентами - находить процент от числа, число по его процентам, а также величину и изменение величины в процентах. Это объясняется тем, что проценты широко распространены в реальной жизни при проведении различных операций, где возникают банковские проценты, проценты от зарплаты в качестве налога и т.д.

При решении задач на анализ динамики экономических показателей всегда устанавливается взаимно однозначное соответствие между процентами и коэффициентами. Выражение «величина увеличилась (уменьшилась) на x процентов» нужно воспринимать в виде «величина умножилась на коэффициент k» и наоборот. В общем виде это можно представить так:

• увеличился на х% - умножился на коэффициент k = ;

• уменьшился на х% - умножился на коэффициент k = .

Пример. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Николая Ивановича равна 22 500 рублей. Какую сумму он получит после вычета налога на доходы?

Решение. После вычета налога на доходы Николай получит = = 0,87 от начисленной заработной платы.

22 500×0,87 = 19 575 рублей.

Ответ: 19 575 рублей.

Но следует помнить, что если происходит последовательное изменение какой-либо величины, то каждый раз проценты берутся от ее последнего (перед очередным изменением) значения, и на соответствующий коэффициент каждый раз умножается последнее (перед очередным изменением) значение величины.

1. Вклады

Вкладом является денежная сумма или другие ценности, которые человек отдает в банк на определенных условиях, подразумевающих начисление процентов за определенный период на вложенную сумму.

Например, если в банк вложена сумма А под p% на некоторый период времени t, то по истечении этого времени вложенная сумма увеличится на р% от числа А, значит, станет равной:

А + А × = А × (1 + )

Другими словами, вклад увеличится в 1 + раз.

Ставка по вкладу с учетом капитализации.

Часто банк применяет ставку по вкладу с учетом капитализации, то есть если в банк была вложена сумма А под р% годовых, то каждый месяц банк увеличивает сумму, находящуюся к этому моменту на счете клиента на %.

Формула расчета суммы вклада, размещенного с учетом ежемесячной капитализации под р% годовых: где n – размещения вклада в месяцах, А – первоначальная сумма.

Пример. Ольга Викторовна поместила 250 000 рублей в банк на 3 месяца под 24% годовых с учетом капитализации процентов, то есть по истечении каждого месяца к ее вкладу были добавлены деньги, начисленные в качестве процентов. Какая сумма будет на счете Ольги Викторовны через 3 месяца? На сколько рублей увеличился ее первоначальный вклад?

Решение. На счете Ольги через 3 месяца будет

250000 × (1 + )³ = 250000 × 1,02³ = 265302 рубля.

Её первоначальный вклад увеличился на 265302 – 250000 = 15302 рубля.

Ответ: 265302 рубля, на 15302 рубля.

1. Кредиты

Кредит – это финансовая сделка, в результате которой кредитор (банк или другое финансовое учреждение) предоставляет на определенный срок деньги заемщику. За пользование деньгами заемщик, кроме погашения основного долга (называемого в финансовой литературе телом кредита), выплачивает также кредитору проценты. Разделение погашающих платежей на две части, отвечающие за погашение долга (тела кредита) и погашение процентных денег, принципиально важно, поскольку от этого зависят уплачиваемые налоги.

Пример. Клиент взял в банке 135000 рублей на год под 12%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Решение. Через год долг увеличится в = 1,12 раз.

Клиент будет должен банку 135000×1,12 = 151200 рублей.

Ежемесячно он будет вносить = 12600рублей.

Ответ: 12600 рублей.

Дифференцированная схема

При дифференцированной (или регрессивной) схеме процент и периодичность обязательных платежей фиксируются (например, ежегодные, ежеквартальные или ежемесячные платежи), а фиксированный процент начисляется на ещё не выплаченную к моменту очередного обязательного платежа часть кредита (долг). В этом случае каждый платёжный период сумма выплат уменьшается, поскольку она состоит из фиксированной части и процентов, начисляемых на остаток долга по кредиту, величина которого каждый платёжный период уменьшается. Таким образом, при схеме с дифференцированными платежами клиент возвращает банку до истечения каждого платёжного периода часть суммы кредита (где n – число платежей, равное числу платёжных периодов) и проценты от ещё не выплаченной на начало этого платёжного периода части кредита.

Пусть S₀ – сумма кредита, который был взят на n лет под k% годовых.

- часть долга

(фиксированная часть)

Процент на остаток долга

(изменяющаяся часть)

Платеж = +

Года	1	2	3	4	…	n
Фиксированная часть (выплаты)					…
Сумма на которую начисляется процент		- =			…
Начисленные проценты	× =				…

Общая сумма начисленных процентов:

+ + + +…+ = (n + (n – 1 + (n – 2) + (n – 3) + … + 1) = × ×n =

Общая сумма S всех выплат по кредиту: S = S₀ +

Пример. Величина предоставленного потребительского кредита – 12000руб. Процентная ставка – 12% годовых, срок погашения – 6 месяцев, схема погашения – рецессивная (т.е. в конце каждого месяца заемщик выплачивает процент на оставшуюся часть долга и одну шестую часть основного долга). Какую сумму выплатит заемщик в итоге банку?
Решение. Воспользуемся формулой, где К=12000, р= =1, m=6, получим

Х=12000 + ×7=12000+60×7=12420.

Ответ: 12420 рублей.

Но следует заметить, что чтобы использовать данную формулу на экзамене, ее нужно будет вывести самостоятельно, используя приведенные в условии данные. Но вывод формулы довольно сложный и не каждый ученик сможет его воспроизвести, поэтому существует ещё один способ решения таких задач – таблица

Месяц	Долг	Процентный платеж	Выплата долга	Месячный взнос
	Д	П=0,01Д	В	П+В
1	12000	120	2000	2120
2	10000	100	2000	2100
3	8000	80	2000	2080
4	6000	60	2000	2060
5	4000	40	2000	2040
6	2000	20	2000	2020
Всего		420	12000	12420

Ответ:12420 рублей.

Аннуитетная схема

На сегодняшний день большим спросом среди заёмщиков пользуется аннуитетная схема: заёмщику удобно, когда сумма ежемесячного (ежеквартального, ежегодного) платежа фиксируется на весь срок кредитования.

Пусть кредит в размере S₀ рублей выдан на n лет под k% годовых и пусть х рублей – ежегодный платеж. Тогда полная выплата по кредиту составит Х = nx рублей. Ежегодное начисление р% на остаток долга соответствует умножению этого остатка на коэффициент m=1+0,01k. Тогда

S₁ = S₀m – x;

S₂ = mS₁ – x = m²S₀ – mx – x;

S₃ = mS₂ – x = m³S₀ – m²x – mx – x;

S_n = mS_{n - 1} – x = mⁿS₀ – m^{n - 1}x – mx – x.

Поскольку по истечении платёжного периода долг равен 0, то S_n = 0, т.е.

mⁿS₀ – m^{n - 1}x – …–mx – x = 0.

Отсюда m^{n - 1}x + …+ mx + x = mⁿS₀, а после вынесения общего множителя

x(m^{n - 1} + …+ m + 1) = mⁿS₀. Сумма m^{n - 1} + …+ m + 1 вычисляется формуле суммы s первых n членов геометрической прогрессии {b_n}: S = b₁× . В данном случае b₁ = 1, q = m. Поэтому S_n= .Таким образом, = mⁿS₀, откуда х = S₀. (1)

m=1+0,01k, 0,01k часто обозначают буквой p. Тогда m = 1+p, формула (1) примет вид х = S_0.

Пример. Клиент взял 15960000рублей в кредит под 30% годовых. По истечению каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 30%), затем клиент переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение. Используем формулу

S=15960000, n=3, q=1+ =

x= = 8788000

Ответ: 8788000 рублей.

2-й способ. Эту задачу также можно решить без использования формулы.

Пусть ежегодный платеж составляет х рублей. Тогда

1-й год: 1,3×15960000-х=20748000-х

2-й год: 1,3(20748000-х)-х=26972400-2,3х

3-й год: 1,3(26972400-2,3х) –х= 35064120-3,99х.

По условию клиент должен выплатить кредит тремя равными платежами, т.е. в конце третьего года его долг составит 0 рублей. Тогда 35064120-3,99х=0. Решим уравнение и получим х=8788000.

Ответ: 8788000 рублей.

Решение экономических задач

Дискретные модели

Задача №1. Взяли кредит в банке на сумму 250000 рублей под р% годовых и выплатили за 2 года платежами 150000 рублей в первый год и 180000 рублей- во второй. Найдите р.

Решение. 1-й год: 250000 + 250000×0,01р – 150000 =100000+2500р.

2-й год: 100000+2500р + (100000+2500р)0,01р – 180000 = 25р²+3500р-80000.

Решим уравнение 25р² + 3500р – 80000 = 0 и получим р₁=20%

р₂= -160% - п.к., т.к. р≥0.

Ответ: 20

Задача №2. 31 декабря 2014 года Евгений взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на а%), затем Евгений переводит очередной транш. Евгений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 540 тыс. рублей, во второй 649,6 тыс. рублей. Найдите а.

Решение. Евгений выплатил кредит за два транша, т.е. за два года. Тогда

31.12.15. 1000000 + 1000000×0,01а – 540000 = 460000+10000а

31.12.16. 460000+1000а+(460000+1000а)0,01а– 649600 = 100а²+14600а -18900.

Решим уравнение 100а²+14600а-18900=0 и получим а₁=12%

а₂= -158%, п.к., т.к. а≥0.

Ответ: 12

Задача №3. Банк выдал заемщику кредит в размере 30000 рублей, ежегодная выплата по кредиту составляет 10000 рублей (последний платеж может отличаться от стальных в меньшую сторону), процентная ставка – 20% годовых. Через сколько лет кредит будет погашен? Сколько составит переплата?

Решение. Решим с помощь таблицы

Сумма по кредиту А	Процент по кредиту 0,2А	Ежегодная выплата	Погашение тела кредита В=1000-0,2А	Тело кредита на начало след.года А-В
30000	6000	10000	4000	26000
26000	5200	10000	4800	21200
21200	4240	10000	5760	15440
15440	3088	10000	6912	8528
8528	1705,6	10000	8294,4	233,6
233,6	46,72	280, 32	233,6	0
Итого		50280,32	30000

Кредит будет погашен через 6 лет. Переплата составит 50280,32-30000=20280,32 рублей.

Ответ: 6 лет; 20280,32 рублей.

Задача №4. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4290000 рублей в кредит по 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года в банк начисляется проценты на оставшуюся сумму долга, затем Дмитрий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Решение. 31.12.15 - 4290000×1,145 – х=4912050 – х.

31.12.16 – (4912050 – х)1,145 – х= 5624297,25 – 2,145х.

Т.к. долг погашен за два года то 5624297,25 – 2,145х=0

х=2622050 рублей.

Ответ: 2622050 рублей.

Задача №5. 15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение. Пусть S₀ – сумма кредита. Составим схему выплат:

1-й месяц: + 0,01S₀

2-й месяц: + 0,01(S₀ - ) = + 0,01 S₀

3-й месяц: + 0,01 S₀

…

8-й месяц: + 0,01 S₀

Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей, значит

+ 0,01 S₀ = 108

(1 + 0,08) = 108

1,08 = 108

S₀ = = 1500 тыс. рублей – сумма кредита. По выведенной нами формуле:

S = S₀ + , в данном случае k = 1, n = 15, S₀ = 1500 тогда

S = 1500 + = 1500 + = 1500 + 120 = 1620 тыс. рублей = 1620000рублей.

Ответ: 1620000 рублей.

Задача №6. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Решение. Пусть S – сумма, которую планируется взять в кредит, Х - сумма на которую уменьшается основной долг, Х = 30 (тысяч рублей). После каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в 1,03 раза, т.е. k = 1,03.

Рассмотрим схему

После первого начисления процентов сумма долга равна kS. Затем, после первой выплаты, сумма долга равна S – X, где Х = 30 (тысяч рублей).

Значит, первая выплата равна kS – (S – X)

Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X).

…

Последняя выплата: k ( S – 20 X).

Найдём общую сумму выплат: kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – 20X) =

= k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X).

Упростим выражения в скобках:

k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20))

Используя сумму арифметической прогрессии найдём ;

Получим:

k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 Х = 1604

Осталось подставить числовые значения.

1,03(21S – 210×30) – 20S + 210×30 = 1604

1,63S = 1793

S = 1100 тысяч рублей = 1 100 000 рублей.

Ответ: 1100000 рублей.

Непрерывные модели

Задача №7. По бизнес-плану предполагается вложить в четырехлетний проект 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 13% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвертый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

Решение. 1-й год: 20×1,13 + n = 22,6 + n.

2-й год: (22,6+n)1,13+n = 25,538+2,13n.

По условию 25,538+2,13n ≥ 2×20

25,538+2,13n ≥ 40

n 6,78…

Наименьшее целое решение n=7.

3-й год (25,538+2,13n)1,13 + m=(25,538+2,13×7)1,13 + m=45,70624 + m

4-й год (конец проекта): (45,70624 + m)1,13 + m=51,6480512 + 2,13m

По условию 51,6480512 + 2,13m≥3×20

51,6480512 + 2,13m≥60

m≥3,92…

Наименьшее целое решение m=4.

Ответ: 7 млн рублей; 4 млн рублей.

Задача №8. По бизнес-плану предполагается вложить в четырехлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начисления процентов нужна дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвертый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше 125 миллионов, а за четыре года станут больше 200 миллионов рублей.

Решение. Пусть х млн рублей – первоначальные вложения. Тогда

1-й год: 1,2х + 20.

2-й год: (1,2х + 20)1,2 + 20=1,44х + 44.

По условию 1,44х + 44˃125

х˃56,25

Наименьшее целое решение х=57.

3-й год: (1,44х + 44)1,2+10=1,728х+62,8

4-й год (конец проекта): (1,728х+62,8)1,2+10=2,0736х+85,36

По условию 2,0736х+85,36˃200

х˃55,28…

Наименьшее целое число (также удовлетворяющее условию на два года) х=57.

Ответ: 57 млн рублей.

Задача №9. Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой q=280-2p. Выручка предприятия за меся r ( в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=qp. Определите цену, при которой месячная выручка r(p) будет наибольшей. Найдите наибольшую возможную выручку.

Решение. r = qp = (280-2p)p = 280p - p². Графиком полученной функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Значит, наибольшее значение она принимает при p₀ = = 70.

При цене 70 тыс. рублей выручка будет наибольшей и будет равна

(280-2×70)70=140×70=9800 тыс. рублей.

Ответ: 70тыс. рублей; 9800 тыс. рублей.

Задача №10. Вклад в размере 6 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 15 млн рублей.

Решение. Пусть искомая сумма равна х рублей.

1-й год: 1,1×6=6,6 млн рублей.

2-й год: 1,1×6,6=7,26млн рублей.

3-й год: 1,1×7,26+х=7,986+х

4-й год: 1,1(7,986+х)+х=8,7846+2,1х.

По условию 8,7846+2,1х≥15

х≥2,95…

Наименьшее целое число х=3.

Ответ: 3 млн рублей.

Задача №11. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t2 у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Решение: Пусть I объект - х рабочих, суточная зарплата: f₁(x) = 4x².

Тогда II объект 24 – x рабочих — суточная заработная плата: f₂(24 – x)² = 576 – 48x + x².

В день начальник будет должен платить рабочим

f(x) = f₁(x) + f₂(x) = 4x² + 576 – 48x + x² = 5x²- 48x + 576, 0 є N.

Квадратичная функция f(x) принимает наименьшее значение при

х₀ = = = 4,8. Число х является натуральным числом, поэтому функция достигает наименьшего значения в точках 4 или 5. Найдем и сравним эти значения:

f(4) = 5×16 – 48×4 +576 = 80 – 192 + 576 = 464

f(5) = 5×25 – 48×5 + 576 = 125 – 240 + 576 = 461

Наименьшее значение функции достигается в точке 5. Поэтому необходимо направить 5 рабочих на первый объект, 24 – 5 = 19 рабочих — на второй объект. Зарплата рабочих составит 461 у. е.

Ответ: I объект – 5 рабочих, II объект – 19 рабочих, 461 у.е.

Задача №12. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 500 ц/га.

Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение. Продавать свеклу более выгодно, поэтому второе поле, где ее урожайность выше, следует засадить только свеклой. Она принесет доход 10 га · 500 ц/га · 8000 руб/ц = 40 млн руб.

Пусть на первом поле – х га свеклы, тогда картофеля 10 – х га, составим функцию: f(x) = x×300×8000 + (10 – x)500×5000 = 2400000x + 25000000 – 2500000x = -100000x + 25000000 = -x + 250, х є [0; 10].

Линейная функция убывающая, значит, наибольшее значение она будет принимать на левом конце промежутка, т.е. при х = 0, значит, первое поле нужно засадить только картофелем.

Тогда доход составит: 10×500×500 = 25 млн руб.

Общий доход: 40 + 25 = 65 млн. рублей.

Ответ: 65 млн руб.

Задача №13. Подрядчику выделили 30000 рублей на уборку микрорайона к приезду губернатора. Из этих денег нужно выдать 2000 рублей бригадиру и по 450 рублей зарплаты каждому рабочему. Какую наибольшую сумму может потратить подрядчик на зарплату?

Решение. Пусть всего х рабочих. Зарплата рабочих и бригадира равна 2000+450х, по условию она не должна превышать 30000, т.е. 2000+450х≤30000

x ≤ 62

Линейная функция y = 2000+450х возрастающая, поэтому наибольшее значение она примет на правом конце промежутка. По условию х – число натуральное, значит, наибольшее значение будет достигаться при х = 62, тогда наибольшее значение равно 2000+450×62 = 29900 рублей.

Ответ: 29900 рублей.

Задача №14. Производительность отдела в зависимости от количества сотрудников х, находящихся в офисе, описывается формулой y = -2х²+25х-8. Найдите, при каком числе сотрудников, находящихся в офисе, производительность отдела наибольшая.

Решение. Графиком функции y = -2х²+25х-8 является парабола, ветви которой направлены вниз. Значит, наибольшее значение она принимает в вершине параболы. Найдём абсциссу вершины

х₀ = = 6,25.

Количество сотрудников – число натуральное, значит наибольшее значение функция будет принимать при натуральном значении х, ближайшем к вершине, в данном случае х = 6.

Ответ:6

Заключение

В процессе нашей работы мы узнали, какие задачи относятся к экономическим, каких типов они бывают. В результате решения таких задач, мы поняли, что главное - это ориентироваться в базовых экономических понятиях и уметь составить математическую модель задачи. Таким образом своей цели мы достигли.

Результатами нашей работы мы планируем поделиться с учащимися 10 классов. Надеемся, что наш опыт поможет им в освоении экономических задач.

Список литературы

1. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень : типовые экзаменационные варианты : 36 вариантов / под ред. И.В.Ященко. – М. : Издательство «Национальное образование», 2019.

2. ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов типовых тестовых заданий/ И. В. Ященко, М. А. Волчкевич, И. Р. Высоцкий, Р. К. Гордин, П. В. Семёнов, О. Н. Косухин, Д. А. Фёдоровых, А. И. Суздальцев, А. Р. Рязановский, И. Н. Сергеев, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Д. Э. Шноль; под ред. И. В. Ященко. – М. : издательство «Экзамен», 2017.

3. Математика. ЕГЭ. Алгебра; задания с развернутым ответом: учебно – методическое пособие/ Под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2016.

4. Математика. ЕГЭ. Задача с экономическим содержанием: учебно – методическое пособие/ Под. ред. Ф. Ф. Лысенко и С. Ю. Кулабухова. – Изд. 2 – е., перераб. и доп. – Ростов н/Д: Легион, 2016.

5. Ященко И. В. Я сдам ЕГЭ! Математика. Курс самоподготовки. Технология решения заданий. Учеб. пособие для общеобразоват. организаций. Проф. Уровень. В 3 ч. Ч. 2. Алгебра и начала математического анализа/ И. В. Ященко, С. А. Шестаков. – М. : Просвещение, 2018.

6. http://www.fipi.ru

7. https://ege.sdamgia.ru

8. https://dic.academic.ru/dic.nsf/dic_economic_law/

22