Методическая разработка "Решение экономических задач по математике, дифференциальные платежи. ЕГЭ 2020 год".

5

Экономические задачи

«Табличное задание долга или условий начисления процентов»

Работа учитель математики

высшей квалификационной категории

МКОУ «Кумылженская СШ № 1 им. Знаменского А.Д.»

Пономарёвой Ольги Фёдоровны

1. 15 января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивается на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Решение

Пусть взятый полугодовой кредит на развитие бизнеса равен S. По условию задачи заполним таблицу:

Общая сумма платежей составила: 0,15S+0,145S+0,14S+0,135S+0,13S+0,525S=1,225S

Общая сумма выплат больше суммы самого кредита на 1,225S ‒ 1S = 0,225S или на 22,5%.

Ответ: 22,5%.

2. Лидия положила некоторую сумму на счёт в банке на полгода. По этому вкладу установлен «плавающий» процент, то есть число начисленных процентов зависит от числа полных месяцев нахождения вклада на счёте. В таблице представлены условия начисления процентов.

На сколько процентов сумма на счёте Лидии при таких условиях больше суммы, положенной на счёт, если каждый месяц, за исключением последнего, после начисления процентов она добавляет на счёт такую сумму, чтобы за месяц вклад увеличился на 10% от первоначального вклада?

Решение

Решаем по простому проценту. Если первые два месяца по 6% годовых, то 6:12=0,5% в месяц, следующие два месяца по 18% годовых, то 18:12=1,5% в месяц, следующие два месяца по 12% годовых, то 12:12=1% в месяц.

Если каждый месяц, за исключением последнего, после начисления процентов Лидия добавляет на счёт такую сумму, чтобы за месяц вклад увеличился на 10% от первоначального вклада, то: пусть изначально Лидия внесла S, тогда каждый месяц прибавляется 0,1S.

Заполним таблицу:

Итого банк начислит: (0,005 + 0,0055 + 0,018 + 0,0195 + 0,014 + 0,015)S = 0,077 S

Данная сумма составит: 0,077 S : S • 100 = 7,7%

На 7,7% сумма на счёте Лидии при таких условиях больше суммы, положенной на счёт.

Ответ: 7,7%.

3. Оксана положила некоторую сумму на счёт в банке на полгода. По этому вкладу установлен «плавающий» процент, то есть число начисленных процентов зависит от числа полных месяцев нахождения вклада на счёте. В таблице представлены условия начисления процентов.

На сколько процентов сумма на счёте Оксаны при таких условиях больше суммы, положенной на счёт, если каждый месяц, за исключением последнего, после начисления процентов она добавляет на счёт такую сумму, чтобы за месяц вклад увеличился на 5% от первоначального вклада?

Решение

Решаем по простому проценту. Если первые два месяца по 12% годовых, то 12:12=1% в месяц, следующие два месяца по 15% годовых, то 15:12=1,25% в месяц, следующие два месяца по 18% годовых, то 18:12=1,5% в месяц.

Если каждый месяц, за исключением последнего, после начисления процентов Оксана добавляет на счёт такую сумму, чтобы за месяц вклад увеличился на 5% от первоначального вклада, то: пусть изначально Оксана внесла S, тогда каждый месяц прибавляется 0,05S.

Заполним таблицу:

Итого банк начислит: (0,01 + 0,0105 + 0,01375 + 0,014375 + 0,018 + 0,01875)S = 0,085375 S

Данная сумма составит: 0,085375 S : S • 100 = 8,5375%

На 8,5375% сумма на счёте Оксаны при таких условиях больше суммы, положенной на счёт.

Ответ: 8,5375%.

4. Егор взял кредит 1 марта 2017 года на сумму S млн. рублей. Условия его возврата таковы:

– 15 апреля каждого года сумма долга увеличивается на 20% по сравнению с началом предыдущего года;

– с 1 июня по 1 июля каждого года необходимо выплатить часть долга;

– 1 августа каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Начиная с 2023 года, долг равномерно уменьшается на 100 000 рублей в год. Определите сумму кредита S, если общая сумма выплат равна 4,72 млн. рублей.

Решение

Сумму кредита S.

Заполним таблицу:

S + 0,2 • (S + (S – 0,3) + (S – 0,5) + (S – 1) + (S – 1,4)) + 0,2 • ((S – 1,7) + (S – 1,8) + (S – 1,9) +…+ 0,1) = 4,72

Арифметическая прогрессия: (S – 1,7); (S – 1,8); (S – 1,9);…;0,1

а₁ = (S – 1,7); а_k = 0,1; d = ‒ 0,1

а_k = а₁ + d • (k ‒ 1); S_k = (а₁ + а_k) : 2 • k

k = (а_k ‒ а₁ + d) : d; k = (0,1 + 1,7 – S – 0,1) : (– 0,1) = 10S – 17;

S_k = (S – 1,7 + 0,1) : 2 • (10S – 17) = (0,5S – 0,8) • (10S – 17);

S + 0,2 • (5S – 3,2) + 0,2 • (0,5S – 0,8) • (10 S – 17) = 4,72;

выполнив преобразования, получим квадратное уравнение: S² ‒ 1,3S ‒ 2,64 = 0;

умножим на 50, имеем: 50S² ‒ 65S ‒ 132=0;

D = 4225 + 26400 = 30625,

S₁ = (65 ‒ 175) : 100 = ‒1,1; S₁

S₂ = (65 + 175) : 100 = 2,4; S₂0.

Сумму кредита 2,4 млн. руб.

Ответ: 2,4 млн. руб.