"Числа и их свойства. Задание №19 ЕГЭ по математике"

Числа и их свойства.

Задание №19 ЕГЭ по математике

Оглавление

1. Введение 2

2. Теория чисел 3

2.1. Множества чисел, иерархия множеств 3

2.2. Определение делимости 4

2.2.1. Делимость целых чисел, простые числа, НОД, свойства делимости 4

2.2.2. Чётные и нечётные числа 5

2.2.3. Основная теорема арифметики 6

2.2.4. Признаки делимости целых чисел. 6

2.3. Среднее арифметическое и среднее геометрическое 7

2.4. Прогрессии и их свойства, формулы 8

2.4.1 Арифметическая прогрессия 8

2.4.2 Геометрическая прогрессия 8

3. Методы решения задания № 19 10

3.1. Построение математической модели 10

3.2. Метод кругов Эйлера 10

3.3. Метод математической индукции 10

3.4. Принцип Дирихле 12

3.5. Перебор значений по заданным условиям 12

4. Заключение 13

Источники информации 14

Приложение 15

1. Введение

Понятие числа возникло ещё в древности из практической потребности людей, когда людям были необходимы меры счёта и измерения. Пифагорейцы считали числа «причиной и началом» вещей. Со временем понятие числа стало основным понятием математики.

Свойства чисел - одна из интереснейших тем для изучения. Задание №19 единого государственного экзамена «Числа и их свойства» - одно из самых интересных и сложных заданий второй части. Знания, необходимые для решения данной задачи, ученики получают ещё в средней школе.

Целью работы является

• Изучение алгоритмов и способов решения задания №19 ЕГЭ по профильной математике.

Объект исследования: задание №19 профильного ЕГЭ по математике

Методы исследования:

1. Изучение теоретического материала;

2. Решение задач ЕГЭ прошлых лет.

Поставлены следующие задачи:

1. Изучить теоретический материал для решения задания №19;

2. Научиться решать задание №19 ЕГЭ по математике профильного уровня, изучить основные методы решения;

3. Разобрать задания №19 из вариантов ЕГЭ прошлых лет;

4. Решить и оформить несколько заданий №19 ЕГЭ;

1. Теория чисел

2.1. Множества чисел, иерархия множеств

Число - основное понятие математики, которое используется для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Выделяют следующие множества чисел:

Натуральные числа - числа, используемые при счете (перечислении) предметов:

N = {1 ,2, 3, …}

Целые числа - включают в себя натуральные числа, числа противоположные натуральным (т.е. с отрицательным знаком) и ноль.

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Рациональные числа - числа, представляемые в виде обыкновенной дроби a / b, где a ∈ b, ∈ N, b ≠0

Q = {m / n, m ∈ Z, n ∈ N}

При переводе в десятичную дробь рациональное число представляется конечной или бесконечной периодической дробью.

Иррациональные числа - числа, которые представляются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Обозначается как I. Типичным примером является π.

Действительные (вещественные) числа - объединение рациональных и иррациональных чисел. Обозначается R = {I + Q}

Комплексные числа – множество чисел C.

C = {x + iy, где x ∈ R и y ∈ R}, где i − мнимая единица.

Рис. 1 Иерархия множеств

2.2. Определение делимости 2.2.1. Делимость целых чисел, простые числа, НОД, свойства делимости

Опр. Пусть n – целое число (n ∈ Z), m – натуральное число (m ∈ N). Говорят, что n делится нацело на m, если существует такое целое число p ∈ Z, такое, что

n = mp

m называют делителем числа n, n называют делимым, а p называют частным от деления n на m

Любое целое число n можно представить в виде n = mp + q, где m называют делителем числа n, n называют делимым, а p называют частным от деления n на m, а q – остатком от деления n на m. qm называют делителем числа n, n называют делимым, а p называют частным от деления n на m.

Число q находится на отрезке от 0 до m – 1.

Опр. Натуральное число a1 называется простым, если оно имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Простых чисел бесконечное множество.

Множество простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Опр. Наибольшее натуральное число, являющееся натуральным делителем каждого из натуральных чисел m и n, называют наибольшим общим делителем этих чисел и обозначают НОД (m, n).

Например, если m = 36 и n = 84, то НОД (36, 84) = 12.

Опр. Два числа называются взаимно простыми, если их НОД равен 1.

Например: 14 и 25, так как НОД (14, 25) = 1

Пусть a ∈ Z, b ∈ Z, m ∈ N, то справедливы следующие свойства делимости:

1.Если a и b делятся на m, то числа a - b и a + b также делятся на m.

2. Если a и b делятся на m, то при любых целых числах k и l число ak + bl также делится на m.

3. Если a делится на m, а b не делится на m, то числа a + b и a - b также не делятся на m.

4. Если a делится на m, а m делится на k ∈ N, то число a также делится на k.

5. Если a делится на m, а b не делится на m, то число ab делится на m.

6. Если a делится на каждое из чисел m и k, причем НОД (m, k) = 1, то a делится на произведение mk.

7. Если a делится на m, то ak делится на mk при любом k ∈N.

8. Если ab делится на m и b взаимно просто с m, то a делится на m.

9. В ряде из n подряд идущих целых чисел хотя бы одно делится на n нацело.

2.2.2. Чётные и нечётные числа

Опр. Целое число называется чётным, если оно делится на 2 без остатка

a – чётное число, если a = 2n, где n ∈ Z {…, -4, -2, 0, 2, 4, …}

Опр. Целое число называется нечётным, если при делении на 2 оно даёт остаток 1

a – нечётное число, если a = 2n – 1, где n ∈ Z {…, -3, -1, 1, 3, …}

2.2.3. Основная теорема арифметики

Для каждого натурального числа n 1 существует единственное разложение на простые множители. Это значит, что для любого натурального числа два разложения на простые множители могут отличаться только порядком этих множителей.

2.2.4. Признаки делимости целых чисел.

Признак делимости на 2.

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётна.

Признак делимости на 10.

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0.

Признак делимости на 5.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0 или 5.

Признак делимости на 3.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 9.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 4.

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами (в том же порядке), делится на 4.

Признак делимости на 8.

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда трёхзначное число, образованное тремя его последними цифрами (в том же порядке), делится на 8.

Признак делимости на 11.

У данного числа найдём сумму цифр, стоящих на чётных местах, и сумму цифр, стоящих на нечётных местах. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность этих сумм делится на 11 (в частности, равна нулю).

Признак делимости на 13.

Число делится на 13, если знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 13.

2.3. Среднее арифметическое и среднее геометрическое

Опр. Среднее арифметическое множества чисел — число, равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество.

Пусть задано множество чисел A = {a₁, a₂, a₃, …, a_n}, тогда среднее арифметическое этого множества (Q) равно Q = (a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n) / n

Среднее арифметическое множества, в котором все числа равны, является каждое число этого множества.

Опр. Средним геометрическое нескольких положительных вещественных чисел – такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось

Пусть задано множество чисел B= {b₁, b₂, b₃, …, b_n}, тогда среднее арифметическое этого множества (M) равно M =

Опр. Среднее геометрическое двух чисел называется их средним пропорциональным.

2.4. Прогрессии и их свойства, формулы

Опр. Прогрессия — последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

2.4.1 Арифметическая прогрессия

Опр. Арифметическая прогрессия - прогрессия, каждый следующий член которой равен предыдущему, увеличенному на фиксированное для прогрессии число.

Общий вид арифметической прогрессии:

a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …, a₁ + (n - 1)d

Рекуррентная формула n – го члена арифметической прогрессии:

a_n= a_n-1 + d

Формула n – го члена арифметической прогрессии:

a_n= a₁ + (n – 1)d

Заметим, что если d0, то прогрессия возрастает, если d

d = an – an-1

Сумма n первых членов арифметической прогрессии (S_n):

S_n =

S_n =

2.4.2 Геометрическая прогрессия

Опр. Геометрическая прогрессия – прогрессия, в которой каждый следующий член больше предыдущего в фиксированное количество раз.

Общий вид геометрической прогрессии: b₁, b₁q, b₁q², b₁q³, …, b₁q^n-1

Рекуррентная формула n члена геометрической прогрессии:

b_n = b_n-1q

Формула n члена геометрической прогрессии: b_n =b₁q^n-1

Если b₁ 0 и q 0, то прогрессия является возрастающей, если 0qqq = 0 – стационарной

q =

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии (S_n):

S_n =

Сумма всех членов бесконечно убывающей прогрессии: (S):

S =

1. Методы решения задания № 19

3.1. Построение математической модели

Опр. Метод построения математической модели – главная составляющая решения любой математической задачи. Суть метода заключается в переходе от бытового языка (например, русского) к языку математическому. Так, например, запись «у Пети было 12 яблок» можно представить, как «П = 12». То есть мы переходим к уравнениям, системам уравнений, решение которых приводит к решению данной задачи.

3.2. Метод кругов Эйлера

Опр. Диаграмма Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Первое их использование приписывают Леонарду Эйлеру. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Диаграммы Эйлера используются при решении задач на множества.

Рис 2. Диаграмма Эйлера

3.3. Метод математической индукции

Опр. Математическая индукция - метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — базис индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n +1 - шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Докажем формулу суммы натуральных чисел от 1 до n, обозначим её как S(n):

• Базовый случай n = 1, сумма чисел от 1 до 1 равна 1, проверим формулу подставив в неё n = 1:

• Значит, наше утверждение верно для базового случая n.

• Докажем истинность для утверждения n +1:

• Подставим n + 1 в исходную формулу:

• Заметим, что:

• Тогда:

• Вынесем n + 1 за скобку:

• Мы доказали истинность формулы для n + 1, а значит она верна для любого натурального числа n.

3.4. Принцип Дирихле

Опр. Принцип Дирихле — утверждение, сформулированное немецким математиком Дирихле в 1834 году, устанавливающее связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий.

Формулировка принципа Дирихле также может пригодиться при решении задачи № 19 ЕГЭ по математике:

Если кролики рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика.

3.5. Перебор значений по заданным условиям

Перебор значений по заданным условиям также является методом решения задачи. Иногда задание №19 можно решить подбором, пункты «а» и «б» можно доказать, попросту приведя примеры и дав ответ «да» / «нет».

1. Заключение

Результатом работы стала собранная в одном месте теория, необходимая для решения задания №19 профильного ЕГЭ по математике. Также были решены задания ЕГЭ прошлых лет, задания с сайта РЕШУ ЕГЭ и сборника ЕГЭ по профильной математике 2020 года. Всего было решено10 задач №19 второй части профильного ЕГЭ по математике.

Поставленные задачи работы выполнены: теория для решения задания изучена, задания №19 ЕГЭ прошлых лет разобраны и оформлены в соответствии с требованиями экзамена.

Источники информации

1. «Задачи на целые числа» Корянов А.Г., Прокофьев А.А. - Р. на Д.: 2016. - 272 с.

2. «Математика абитуриенту», В. В. Ткачук 4-е изд., испр. и доп. - М.: МЦНМО, 2007. - 976с.

3. «Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты 2020», И. В. Ященко М.: Издательство «Национальное образование», 2020 – 256 с. – (ЕГЭ.ФИПИ – школе)

4. «Математика: Новый полный справочник школьника для подготовки к ЕГЭ», А. Г. Мордкович, В. И. Глизбург, Н. Ю. Лаврентьева – Москва: Издательство АСТ, 2018 – 351 с.

5. Борис Трушин [Электронный ресурс], URL: https://www.youtube.com/user/trushinbv

6. Википедия – свободная энциклопедия [Электронный ресурс], URL: https://ru.wikipedia.org/ (дата обращения: 19.01.2020)

7. Высшая математика [Электронный ресурс], URL: http://www.math24.ru/ (дата обращения: 19.01.2020)

8. Подготовка к олимпиадам и ЕГЭ по математике и физике [Электронный ресурс], URL: http://mathus.ru/ (дата обращения 06.01.2020)

9. Публичная страница канала «Wild Mathing» «ВКонтакте» [Электронный ресурс], URL: https://vk.com/wildmathing (дата обращения 08.01.2020)

10. Сдам ГИА: РЕШУ ЕГЭ [Электронный ресурс], URL: https://ege.sdamgia.ru/

Приложение

1. З адание №19 демоверсии ЕГЭ 2020 года

1. Задание №19 реального ЕГЭ 2017 года

1. З адание №19 реального ЕГЭ 2018 года

1. Задание №19 реального ЕГЭ 2018 года

1. Тренировочный вариант Ларина №42 с сайта РЕШУ ЕГЭ.

1. Тренировочный вариант Ларина №42 с сайта РЕШУ ЕГЭ.

1. З адание №19 из сборника И. В. Ященко 2020 год (вар. 35).

1. Задание №19 из сборника И. В. Ященко (вар. 20)

1. Задание №19 из демоверсии ЕГЭ 2018 года.

1. Задание №19 с сайта РЕШУ ЕГЭ № 514744