"Задачи на построение"

Разработчик: Кудоспаева Надежда Николаевна, учитель высшей категории средней школы № 1 г. Искитим.

Аннотация Цели урока Задачи урока

Изучение нового материала:

Алгоритм решения задач на построение

Схема решения задач на построение

Построение: отрезка, равного данному; угла, равного данному; биссектрисы угла ; середины отрезка ; перпендикуляр к прямой.

Закрепление нового материала

Лабораторная работа

Физкультминутка

Практическая работа №1 в среде «Живая геометрия»

Практическая работа №2 в среде «Живая геометрия»

Проверь себя

Домашнее задание

Из истории.

Итог урока. Рефлексия.

Литература

Конец урока

Об авторе

Представленный проект рекомендован для учащихся 7 класса общеобразовательных школ, лицеев, изучающих геометрию по учебнику для 7-9 классов общеобразовательных учреждений под редакцией Л.С. Атанасяна и др.

Проект разработан на основе образовательного комплекса 1С:Образование «Живая геометрия 3.1». Эффективность изучения темы достигается за счет использованию средств «Живой геометрии». Алгоритм решения задач на построение сопровождается соответствующим изменением чертежа. Учащиеся имеют возможность, изменяя длины данных отрезков и градусную меру угла, сделать вывод о возможных их значениях и убедиться в единственности существования: отрезка, равного данному; угла, равного данному; биссектрисы данного угла; перпендикуляра к прямой. Через систему пошаговых инструкций лабораторной работы реализуется принцип индивидуализации обучения. Наличие инструкций предоставляет выбор формы урока. Материал может быть изучен самостоятельно полностью или частично.

Образовательные.

Изучение алгоритма решения задач на построение : отрезка, равного данному; угла, равного данному; биссектрисы угла; деления отрезка пополам; перпендикуляра к прямой.

Применение этого алгоритма при решении конкретных задач с числовыми или геометрически заданными условиями.

Развивающие.

Развитие внимания, мышления (умения анализировать, делать выводы).

Формирование навыков исследовательской работы.

Формирование навыков самостоятельной работы, самоконтроля.

Воспитательные.

Воспитание интереса к предмету.

Воспитание таких качеств личности. как ответственность, аккуратность.

1. Организовать наблюдение за решением задач на построение по алгоритму, включить школьников в активную работу над построением.

2. Стимулировать исследовательскую деятельность учащихся.

3. Использовать средства «Живой геометрии» для решения задач на построение.

4.Создать условия для самостоятельной работы учащихся .

В геометрических построениях серединные перпендикуляры приходится проводить очень часто, поэтому стоит обзавестись специальным инструментом ЖГ для его построения. Мы предлагаем вам создать даже два таких инструмента. Первый должен рисовать серединный перпендикуляр к отрезку после указания курсором на сам отрезок (концы отрезка при этом не используются и могут быть скрыты; рис. 1). Второй, наоборот, рисует серединный перпендикуляр к отрезку AB после указания курсором концов A и B отрезка (при этом самого отрезка на картинке может и не быть; рис. 2).

     Постройте инструменты по-разному: первый – используя команды « Середина отрезка » и « Перпендикуляр » меню « Построение »; второй – используя только « Циркуль » и « Линейку » «Живой геометрии».

А теперь перейдите в окно ЖГ, чтобы выполнить эти задания. Там же – пример применения ваших инструментов.           

Задачи на построение – это такие задачи, при решении которых нужно построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую условиям задачи, с помощью циркуля и линейки без делений.

Анализ (рисунок искомой фигуры, устанавливающий связи между данными задачи и искомыми элементами, и план построения).

Построение по намеченному плану.

Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условиям задачи.

Исследование (при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько).

Дано

Построение

Организоение за решением задач

В кружках на рисунках показан порядок построения. В данном задании отрезок можно построить в три этапа

• Провести луч с началом в точке А1;

2. Циркулем измерить заданный отрезок АВ;

3. Провести часть окружности, радиус которой

равен отрезку АВ, с центром в точке А1. Точка пересечения

окружности и луча дадут точку В1.

4.Построен отрезок АВ1, равный отрезку АВ.

Дано

Построение

Организоение за решением задач

В кружках на рисунках показан порядок построения. В данном задании отрезок можно построить в шесть этапов

Чтобы разделить угол AOB пополам, строим окружность w( O , r )до пересечения со сторонами в точках A ' и B ', а затем строим окружности w( A ', r ) и w( B ', r ). Две последние окружности пересекаются в точках O и O ', и OO ' – биссектриса угла AOB .

Организоение за решением задач

Чтобы разделить угол с вершиной O пополам, строим произвольную окружность w с центром O, а затем окружности того же радиуса с центрами в точках пересечения w со сторонами (они просто проходят через O); вторая точка их пересечения P лежит на биссектрисе. Остается провести луч OP.

Чтобы разделить данный отрезок AB пополам, проводим пересекающиеся окружности w(A,r), w(B,r) (одинакового радиуса) и соединяем точки их пересечения C и C'. Точка пересечения CC' и AB – искомая точка.

Чтобы разделить данный отрезок AB пополам, проводим пересекающиеся окружности w(A,r), w(B,r) и строим точку пересечения их общей хорды CD с отрезком AB – она и будет искомой серединой.

1.Построить с помощью циркуля и линейки без делений отрезок М N , равный стороне АВ треугольника АВС

С

2.Разделить данный отрезок пополам с помощью циркуля и линейки.

Организоение за решением задач

А

В

3. Построить с помощью циркуля и линейки угол В1,

равный углу В.

4.Чтобы разделить угол с вершиной O пополам, строим произвольную окружность w с центром O , а затем окружности того же радиуса с центрами в точках пересечения w со сторонами (они просто проходят через O ); вторая точка их пересечения P лежит на биссектрисе. Остается провести луч OP .

В

ВЕТЕР ТИХО КЛЕН КАЧАЕТ,

ВПРАВО, ВЛЕВО НАКЛОНЯЕТ,

РАЗ – НАКЛОН,

И ДВА – НАКЛОН,

ЗАШУМЕЛ ЛИСТВОЮ КЛЕН.

Организоение за решением задач

Самостоятельная работа

Вариант 1

Построить с помощью циркуля и линейки без делений отрезок М N , равный стороне АВ треугольника АВС

В

А С

Прочитать п. 23.

Ответить на вопросы 17; 18; 19; 20;21 стр. 50.

Решить задачу № 180; № 185.

Составить алгоритм построения треугольника по двум сторонам и углу, заключенному между ними

Задачи на построение вошли в практику задолго до того, как геометрия и вообще математика стала настоящей теоретической наукой. И в Вавилоне, и в Древнем Египте в IV–II тысячелетиях до н.э. уже существовала практическая математика (в виде правил записи чисел, т. е. системы счисления, и правил различных вычислений), и практическая геометрия – геометрия в изначальном смысле слова: измерение земли. Но и при измерениях, и при строительных работах нужны были построения.

Линейка считается не имеющей делений и лишь с одним прямолинейным краем – с ее помощью, имея на плоскости две точки, A и B, можно провести прямую AB. Никаких других построений с помощью линейки делать нельзя (скажем, нельзя приложить ее к двум окружностям и провести их общую касательную).

Циркуль предназначен для единственной цели – если на плоскости заданы отрезок AB и точка O, то с помощью циркуля можно провести окружность с центром O радиуса R = AB.

Организоение за решением задач

Название «циркуль» позднего происхождения – оно происходит от лат. circulus – круг .

«Линейка» также происходит от лат. linea, linum – лен, льняная нить .

Владеть алгоритмами решения основных задач на построение.

РЕФЛЕКСИЯ:

1.Научился ли ты строить угол, равный данному?

2.Сумеешь ли ты построить перпендикуляр к прямой?

3.Знаешь ли ты, как построить середину отрезка?

4.Сможешь ли ты построить биссектрису угла?

5.Сколько шагов необходимо, чтобы построить отрезок, равный данному?

6.Больше всего мне понравилось………

7.Трудности возникли при построении…….

8.Хотелось ли бы тебе узнать другую тему с помощью «Живой геометрии»

И.И.Александров: « Искусство решать задачи на построение слагается главным образом из уменья читать чертежи, из находчивости в проведении вспомогательной линии и, наконец, равным образом, из знания и уменья применять методы ».

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и другие. Геометрия: учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М: Просвещение 2002 г.

Атанасян Л. С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Методические рекомендации к учебнику: Кн. Для учителя. М: Просвещение 2003 г.

Математика, 5- 11 классы Практикум-1С: Образование, «Живая геометрия

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и другие. Геометрия: учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М: Просвещение 2002 г. Атанасян Л. С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Методические рекомендации к учебнику: Кн. Для учителя. М: Просвещение 2003 г. Математика, 5- 11 классы Практикум-1С: Образование, «Живая геометрия

Автор проекта: Кудоспаева Надежда Николаевна,

учитель высшей квалификационной категории, МБОУ - Средняя общеобразовательная школа № 1

Задача №1

Задача № 2

Задача № 3

Задача № 4

3. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Дано

Требуется построить

Построение

1. Построить угол А, равный заданному углу. 2. На одной стороне угла отметить точку С так, чтобы отрезок АС был равен заданному отрезку b. 3. На другой стороне угла отметить точку В так, чтобы отрезок АВ был равен заданному отрезку с. 4. Соединить с помощью линейки точки В и С.

Построен треугольник АСВ по двум сторонам и углу между ними.

Самостоятельная работа №1 .

Вариант 1. Построить треугольник ВСН, если ВС = 3 см, СН = 4 см, ∟ С = 35 °

Вариант 2. Построить треугольник СДЕ, у которого ДС = 4 см, ДЕ = 5 см, ∟ Д = 110 °

Подсказка . Перед построением треугольника необходимо сделать «от руки» чертеж треугольника, где показаны все заданные элементы.

4. Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

Дано

Требуется построить

Построение

1. Произвольно начертить отрезок АВ, равный заданному отрезку c. 2. Построить угол А, равный заданному. 3. Построить угол В, равный заданному.

Точка пересечения двух сторон углов А и В – вершина треугольника С.

Построили треугольник АСВ по стороне и двум заданным углам.

Самостоятельная работа №2.

Вариант 1

Построить треугольник КМО, если КО = 6 см, ∟ К = 130 ° , ∟ О = 20 ° .

Вариант 2

Построить треугольник ВСР, если ∟ С = 15 ° , ∟ Д = 50 ° , СД = 3 см.

Самостоятельная работа №3.

Вариант 1. Построить треугольник ОДЕ, если ОД = 4 см, ДЕ = 2 см, ЕО = 3 см.

Вариант 2 Построить треугольник МНО, если МН = 1 см, НО = 4 см, ОМ = 3 см.

После построения любого треугольника, самостоятельно провести доказательство того, что получившийся треугольник – искомый, и по возможности провести исследование.

• Построение треугольника по трем сторонам.

Дано

Требуется построить

Построение

1. Построить отрезок АВ, равный заданному отрезку c. 2. Из точки А провести часть окружности, радиус которой равен заданному отрезку b. 3. Из точки В провести часть окружности, радиус которой равен заданному отрезку a, обе окружности пересекаются в точке С.

Построили треугольник АСВ по трем сторонам.

тест