kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Урок геометрии в 10 классе

Нажмите, чтобы узнать подробности

Урок геометрии,
посвященный 220-летию со дня рождения
русского математика Н.И.Лобачевского на районный конкурс
«Лучшая методического разработка урока геометрии,
посвященного  220-летию со дня рождения
русского математика Н.И.Лобачевского».

Когда Евклид формулировал пятый постулат, вряд ли он знал, какую бурю тот вызовет. Когда Лобачевский отказался от пятого постулата, он не знал, что его «воображаемая геометрия» на поверку окажется реальной.

Нельзя сказать, что неевклидова геометрия единственно правильна. На данный момент к ней нет никаких претензий. Но, может быть, через много лет она устареет – или это произойдет быстрее? Так или иначе, но наука никогда не будет стоять на месте, и когда – нибудь и этот проект окажется макулатурой.

Но думаю, что этого времени он успеет исполнить свое предназначение – рассказать и заинтересовать читателя настоящей геометрией нашего мира. Именно из-за популярного характера в нем нет ни строгих доказательств, ни полного описания неевклидовой геометрии. Но для поверхностного ознакомления с ней он вполне годен.

Просмотр содержимого документа
«Урок геометрии в 10 классе »

Урок геометрии,  посвященный 220-летию со дня рождения  русского математика Н.И.Лобачевского на районный конкурс  «Лучшая методического разработка урока геометрии,  посвященного 220-летию со дня рождения  русского математика Н.И.Лобачевского».       Выполнила Сайфутдинова Лариса Григорьевна учитель математики МОБУ СОШ с. Верхние Услы      

Урок геометрии, посвященный 220-летию со дня рождения русского математика Н.И.Лобачевского на районный конкурс «Лучшая методического разработка урока геометрии, посвященного 220-летию со дня рождения русского математика Н.И.Лобачевского».  

Выполнила Сайфутдинова Лариса Григорьевна

учитель математики МОБУ СОШ

с. Верхние Услы

 

 

 

Цель урока: повышение  познавательной активности, расширение кругозора и развитие логического мышления учащихся в области математики; умение быстро ориентироваться в обстановке; привитие любви и интереса к математике.   Лобачевский Николай Иванович - человек, которого называли «Коперником геометрии» 20 ноября (1 декабря) 1792 Нижний Новгород — 12 (24) февраля 1856 Казань  Ход урока: 1. Вступительное слово. Введение

Цель урока: повышение познавательной активности, расширение кругозора и развитие логического мышления учащихся в области математики; умение быстро ориентироваться в обстановке; привитие любви и интереса к математике.

Лобачевский Николай Иванович - человек, которого называли «Коперником геометрии»

20 ноября (1 декабря) 1792 Нижний Новгород — 12 (24) февраля 1856 Казань

Ход урока:

1. Вступительное слово. Введение

  • Биография Николая Ивановича Лобачевского
  • Игра “Звездный час” (в четыре тура).
  • Итог. Награждение победителя.
Происхождение и годы учебы Лобачевского   Николай Лобачевский - будущий великий математик родился в ноябре 1793 г. в Нижегородской губернии в бедной семье мелкого чиновника. Отцом его считают макарьевского землемера отставного капитана Сергея Шебаршина. Брак родителей не был оформлен, и Лобачевский носил фамилию матери Прасковьи Александровны Лобачевской . После смерти в 1797 г. капитана Шебаршина она одна воспитывала троих сыновей.

Происхождение и годы учебы Лобачевского

Николай Лобачевский - будущий великий математик родился в ноябре 1793 г. в Нижегородской губернии в бедной семье мелкого чиновника. Отцом его считают макарьевского землемера отставного капитана Сергея Шебаршина. Брак родителей не был оформлен, и Лобачевский носил фамилию матери Прасковьи Александровны Лобачевской . После смерти в 1797 г. капитана Шебаршина она одна воспитывала троих сыновей.

Стремительная карьера Николая Лобачевского

Стремительная карьера Николая Лобачевского

  • 1811 г. — он магистр
  • в 1814 г. — адъюнкт
  • в 1816 г. — экстраординарный профессор,
  • в 1819 г. его избирают деканом
  • в 1822 г. он становится ординарным профессором
  • в 1827 г., в возрасте всего 34 лет , — ректором Казанского университета .
Создание геометрии Лобачевского   пятая аксиома о параллельных прямых Наглядное представление геометрии Лобачевского: через точку M проходят две прямые, параллельные прямой D  в данной плоскости к данной прямой можно через данную, не лежащую на этой прямой, точку провести только одну параллельную прямую.

Создание геометрии Лобачевского

пятая аксиома о параллельных прямых

Наглядное представление геометрии Лобачевского: через точку M проходят две прямые, параллельные прямой D

в данной плоскости к данной прямой можно через данную, не лежащую на этой прямой, точку провести только одну параллельную прямую.

Оценка трудов Лобачевского Гауссом   Титульный лист книги Лобачевского «Воображаемая геометрия»

Оценка трудов Лобачевского Гауссом

Титульный лист книги Лобачевского «Воображаемая геометрия»

  • В 1837 г. «Воображаемая геометрия» Лобачевского была опубликована в одном из французских научных журналов. В 1840 г. в Берлине на немецком языке вышли его «Геометрические исследования по теории параллельных линий».
Семейная жизнь Лобачевского

Семейная жизнь Лобачевского

  • В октябре 1832 г. он женился на молодой девушке Варваре Алексеевне Моисеевой, принадлежавшей к одной из наиболее видных и богатых фамилий Казанской губернии. Семейная жизнь принесла ему много огорчений. Старший сын, очень похожий на отца, совсем молодым умер от чахотки. Другой сын бросил университет не доучившись. Самый младший из его сыновей вообще родился неполноценным. Жизнь дочери Лобачевского сложилась очень неудачно. Его самого к старости стали преследовать финансовые неурядицы. Он разорился, имение его жены было продано за долги.
Годы потрясений и удары судьбы

Годы потрясений и удары судьбы

  • Летом 1846 г. вследствие каких-то темных интриг Лобачевского уволили с должности ректора, а весной 1847 г. — с должности профессора. Он тяжело переживал этот страшный удар. За роковыми годами потрясений наступили годы увядания. Пришла старость — преждевременная, гнетущая, с усиливавшимися признаками парадоксально раннего одряхления. Здоровье Лобачевского быстро разрушалось, он стал терять зрение и к концу жизни совершенно ослеп. Разбитый жизнью и больной, он умер в феврале 1856 г., совсем чуть-чуть не дожив до признания своей теории.
Восторженные отзывы математиков о Лобачевском

Восторженные отзывы математиков о Лобачевском

  • Когда в 1855 г. умер Гаусс, были опубликованы его дневники и письма. Множество восторженных отзывов о Лобачевском , рассыпанных в них здесь и там, взбудоражили математиков. О Лобачевском заговорили, стали искать его работы, — из всех европейских университетов в Казань полетели просьбы прислать его сочинения. Потребовалось срочное переиздание всех его геометрических трудов. Позже из журналов были извлечены статьи Лобачевского, касающиеся разных областей математики. Оказалось, что, несмотря на свою огромную загруженность, он написал немало — набралось пять объемистых томов. Сейчас приоритет Лобачевского в создании неевклидовой геометрии признается во всем мире. Английский математик Клиффорд назвал его «Коперником геометрии». Так же, как Коперник разрушил казавшуюся незыблемой догму о неподвижной Земле, Лобачевский первым подверг сомнению наши обыденные представления о свойствах окружающего нас пространства.
Мартин Бартельс

Мартин Бартельс

  • В феврале 1808 года приехал профессор чистой математики Мартин Бартельс , друг и учитель великого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса , превосходный педагог. 2 марта он открыл курс лекций по чистой математике. В сентябре того же года в Казань приезжает математик Каспар Реннер, а в 1810 году — профессор теоретической и опытной физики Броннер и профессор астрономии Литров .
М. Н. Мусин-Пушкин в 1830 г.

М. Н. Мусин-Пушкин в 1830 г.

  • Сразу после воцарения Николая I , в 1826 году , Магницкий был смещён с должности попечителя за обнаруженные при ревизии злоупотребления и предан суду сената [20] . Новым попечителем стал граф М. Н. Мусин-Пушкин , в молодости (1810) сдавший экзамены (на чин) в Казанском университета, после чего много лет служил командиром в казачьих войсках, участвовал в Отечественной войне 1812 года . По отзывам современников, отличался жёсткостью, но вместе с тем неукоснительной справедливостью и честностью, и был далёк от неумеренной религиозности [21] . 3 мая 1827 года 35-летний Лобачевский тайным голосованием был избран ректором университета (11 голосами против 3). Вскоре Мусин-Пушкин надолго уехал в Петербург и в деятельность Лобачевского не вмешивался, всецело ему доверяя и изредка обмениваясь дружескими письмами [21] .
Ректор (1827—1845)   Казанский университет в 1830-е годы  Новый ректор, со свойственной ему энергией, сразу погрузился в хозяйственные дела — реорганизация штата, строительство учебных корпусов, механических мастерских, лабораторий и обсерватории, поддержание библиотеки и минералогической коллекции, участвует в издании «Казанского Вестника» и т. п. Многое делал собственными руками. За время работы в университете он вёл курсы по геометрии, тригонометрии, алгебре, анализу, теории вероятностей, механике, физике, астрономии и даже гидравлике, часто замещал отсутствующих преподавателей. Одновременно с преподаванием Лобачевский читал научно-популярные лекции для населения. И одновременно он неустанно развивал и шлифовал главное дело своей жизни — неевклидову геометрию . Первый набросок новой теории — доклад «Сжатое изложение начал геометрии» Лобачевский сделал 11 (23) февраля  1826 года, дата этого выступления считается днём рождения неевклидовой геометрии.

Ректор (1827—1845)

  • Казанский университет в 1830-е годы

Новый ректор, со свойственной ему энергией, сразу погрузился в хозяйственные дела — реорганизация штата, строительство учебных корпусов, механических мастерских, лабораторий и обсерватории, поддержание библиотеки и минералогической коллекции, участвует в издании «Казанского Вестника» и т. п. Многое делал собственными руками. За время работы в университете он вёл курсы по геометрии, тригонометрии, алгебре, анализу, теории вероятностей, механике, физике, астрономии и даже гидравлике, часто замещал отсутствующих преподавателей. Одновременно с преподаванием Лобачевский читал научно-популярные лекции для населения. И одновременно он неустанно развивал и шлифовал главное дело своей жизни — неевклидову геометрию . Первый набросок новой теории — доклад «Сжатое изложение начал геометрии» Лобачевский сделал 11 (23) февраля 1826 года, дата этого выступления считается днём рождения неевклидовой геометрии.

Герб Лобачевского

Герб Лобачевского

  • В 1836 году университет посетил царь Николай I , остался доволен и наградил Лобачевского престижным орденом Анны II степени, дававшим право на потомственное дворянство . 29 апреля 1838 года «за заслуги на службе и в науке» Н. И. Лобачевскому было пожаловано дворянство и дан герб, в описании которого сказано: Щит пересечен. В первой, червленой части, золотая о шести лучах, составленная из двух трехугольников звезда и золотая пчела. Во второй, лазурной части, серебряная опрокинутая стрела, над такою же опрокинутою подковою. Щит увенчан дворянскими шлемом и короною. Нашлемник: три серебряных страусовых пера. Намет справа – червленый, с золотом, слева – лазурный, с серебром. Ректор Императорскаго Казанскаго Университета Николай Лобачевский в службу вступил в 1814 году; 1818 Декабря 31 произведен в Надворные Советники и, состоя в чине Статскаго Советника, 29 Апреля 1838 года получил диплом на потомственное дворянское достоинство . [23] Герб Лобачевского внесен в Общий гербовник дворянских родов Всероссийской империи (часть 11, стр. 127).
Другие научные достижения

Другие научные достижения

  • Лобачевский получил ряд ценных результатов и в других разделах математики: так, в алгебре он разработал, независимо от Ж. Денделена, метод приближённого решения уравнений ( англ. ), в математическом анализе получил ряд тонких теорем о тригонометрических рядах , уточнил понятие непрерывной функции , дал признак сходимости рядов и др. В разные годы он опубликовал несколько содержательных статей по алгебре, теории вероятностей, механике, физике, астрономии и проблемам образования [33] .
Награды и звания

Награды и звания

  • 1818 — как профессор получил чин надворного советника .
  • 1824 — орден Святого Владимира IV степени, чин коллежского советника .
  • 1831 — личная благодарность царя за успешную борьбу с эпидемией холеры и перстень с бриллиантом. Царский подарок Лобачевский был вынужден в годы нужды продать [34] .
  • 1833 — орден Святого Станислава III степени, чин статского советника .
  • 1836 — орден Святой Анны II степени, звание потомственного дворянина (утверждено в 1838 году).
  • 1838 — чин действительного статского советника [35] .
  • 1841 — звание заслуженного профессора по выслуге 25 лет.
  • 1842 — по рекомендации Гаусса избран членом-корреспондентом Гёттингенского королевского научного общества .
  • 1842 — орден Святого Владимира III степени.
  • 1844 — орден Святого Станислава I степени.
  • 1852 — орден Святой Анны I степени, к 60-летию.
  • 1855 — по случаю столетия Московского университета избран его почётным членом, с вручением серебряной медали.
В честь Лобачевского названы:

В честь Лобачевского названы:

  • Малая планета № 1858.
  • Кратер на обратной стороне Луны (9,9°N, 112,6°E).
  • Научная библиотека Казанского университета.
  • Улицы Лобачевского в различных населённых пунктах государств бывшего СССР .
  • Один из самолётов Аэрофлота [37] .
  • Школа № 52 во Львове , Украина .
  • Лицей им. Н. И. Лобачевского при КФУ ( Казань ).
  • 20 марта 1956 года вышел указ Президиума Верховного Совета СССР о присвоении Горьковскому ( Нижегородскому ) университету имени Н. И. Лобачевского. Казанский университет, который намного больше заслуживал этой чести, не получил имя Лобачевского, потому что в 1925 году ему было присвоено имя В. И. Ульянова-Ленина (Ленин учился там в 1887 году ).
Юбилейные медали, монеты и марки     вского , 1991 год 1956 год 1992 год 1895 год 1951 год Медаль к премии  Лобачевского , 1991 год

Юбилейные медали, монеты и марки

вского , 1991 год

1956 год

1992 год

1895 год

1951 год

Медаль к премии Лобачевского , 1991 год

В литературе и искусстве

В литературе и искусстве

  • Велемир Хлебников в поэме «Ладомир» использовал образ «новой геометрии» как символ революционной переделки мира [38] :
  • Это Разина мятеж, Долетев до неба Невского, Увлекает и чертеж И пространство Лобачевского.
  • В фантастическом романе Пола Андерсона «Операция „Хаос“» призрак Лобачевского был призван героями для помощи в измерении, подчиняющемся законам неевклидовой геометрии.
  • В 1950-х Том Лерер написал песню, в которой шутливо рассказывается, что Николай Иванович был склонен к плагиату, а также призывал к этому и других учёных. Однако позже Лерер признался, что не собирался обвинять русского математика в чём-либо, а фамилию Лобачевского упомянул просто потому, что ему понравилось её звучание [39] .
  • В 1965 году татарский учёный и писатель Джавад Тарджеманов опубликовал документальный роман «Юность Лобачевского (Рождение гения)» (Казань: Татарское книжное издательство), посвящённый годам обучения в университете и нелёгким взаимоотношениям с Яковкиным и Магницким. Роман переиздавался в 1968 году , а в 1987 году вышел под названием «Юность Лобачевского. Старт гения».
Интересный факт о Н.И. Лобачевском

Интересный факт о Н.И. Лобачевском

  • Лобачевский пытался проверить свою геометрию в космосе, измеряя
  • астрономические звездные расстояния, он пытался открыть для этого специальный
  • семинар в университете, вести высшую геодезию и теорию фигуры земли, но ученые
  • мужи отклонили это ходатайство. На эвклидову-то геометрию времени не хватает, а
  • тут еще какая-то воображаемая! На могиле Лобачевского в Казани и сегодня можно
  • прочесть чугунную эпитафию: «Член общества Геттингенских северных антиквариев,
  • ректор Казанского университета, многих орденов кавалер…» Чего только не
  • перечислено! О геометрии Лобачевского ни слова. Ни слова о том, что сделало имя
  • этого человека бессмертным.
  • Может показаться странным, но космологический смысл
  • открытия Лобачевского раньше ученых осознали писатели:
  • Достоевскому принадлежит
  • первое слово художника о неэвклидовом космосе Лобачевского.
  • Глубину этого образа понял только Эйнштейн.
  •  
Памятник Лобачевскому

Памятник Лобачевскому

  • Здесь, в уютном уголке Казани на пересечении улиц Лобачевского и Кремлевская, все напоминает о великом сыне земли русской Николае Ивановиче Лобачевском. Памятник ему воздвигнут на одном меридиане с городской астрономической обсерваторией. На трехметровом колоннообразном постаменте из полированного черного гранита установлен бронзовый бюст гениального математика.
  • Первоначально постамент был украшен накладными бронзовыми деталями: эмблемой геометрии — треугольником, циркулем и лавровой ветвью. Торжественное открытие памятника состоялось в 1896 году, и поэт сказал о нем так:
  • Высокий лоб, нахмуренные брови. В холодной бронзе отраженный луч, Но даже неподвижный и суровый Он, как живой, спокоен и могуч. Пусть новых линий не начертят руки, Он здесь стоит, взнесенный высоко, Как утверждение бессмертья своего, Как вечный символ торжества науки.
  • Столетие со дня рождения Н. И. Лобачевского широко отмечалось в Казани. Тогда было решено соорудить памятник.
Игра “Звездный час”

Игра “Звездный час”

I тур ( 1821-1894); (1863-1945); (1792-1856); (1905-1938); (1850-1891) Москва, Санкт-Петербург, Саратов, Н.Новгород, Казань, Екатеринбург Индия,Греция, Россия, Египет, Англия, Германия, Италия Толстой, Бунин, Аксаков, Тургенев, Пушкин, Лермонтов  9; 14; 23; 10; 19; 34;

I тур

( 1821-1894); (1863-1945); (1792-1856); (1905-1938); (1850-1891)

Москва, Санкт-Петербург, Саратов, Н.Новгород, Казань, Екатеринбург

Индия,Греция, Россия, Египет, Англия, Германия, Италия

Толстой, Бунин, Аксаков, Тургенев, Пушкин, Лермонтов

9; 14; 23; 10; 19; 34;

II тур. Кубики “Составь слово”

II тур. Кубики “Составь слово”

III тур. “Исправь логическую цепочку” Рене Декарт Франсуа Виет Крылов И.А.

III тур. “Исправь логическую цепочку”

Рене Декарт Франсуа Виет Крылов И.А.

Исаак Ньютон Архимед Н.И.Лобачевский 1.Дискант. 2. Отрезок . 3.Точка

Исаак Ньютон Архимед Н.И.Лобачевский

1.Дискант. 2. Отрезок . 3.Точка

Финал

Финал

  • Лобачевский”
Итог урока.

Итог урока.

  • Когда Евклид формулировал пятый постулат, вряд ли он знал, какую бурю тот вызовет. Когда Лобачевский отказался от пятого постулата, он не знал, что его «воображаемая геометрия» на поверку окажется реальной.
  • Нельзя сказать, что неевклидова геометрия единственно правильна. На данный момент к ней нет никаких претензий. Но, может быть, через много лет она устареет – или это произойдет быстрее? Так или иначе, но наука никогда не будет стоять на месте, и когда – нибудь и этот проект окажется макулатурой.
  • Но думаю, что этого времени он успеет исполнить свое предназначение – рассказать и заинтересовать читателя настоящей геометрией нашего мира. Именно из-за популярного характера в нем нет ни строгих доказательств, ни полного описания неевклидовой геометрии. Но для поверхностного ознакомления с ней он вполне годен.
Как показали исследования, геометрия Лобачевского (в то числе и 5-ый постулат) совершенно верна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло). Как показали исследования, геометрия Лобачевского (в то числе и 5-ый постулат) совершенно верна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло).  Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.  Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки

Как показали исследования, геометрия Лобачевского (в то числе и 5-ый постулат) совершенно верна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло).

Как показали исследования, геометрия Лобачевского (в то числе и 5-ый постулат) совершенно верна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло).

Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.

Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 10 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Урок геометрии в 10 классе

Автор: Сайфутдинова Лариса Григорьевна

Дата: 15.02.2015

Номер свидетельства: 173512

Похожие файлы

object(ArrayObject)#862 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(155) "КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ   УРОКОВ ГЕОМЕТРИИ   9 кл НА 2014 – 2015 УЧЕБНЫЙ ГОД "
    ["seo_title"] => string(93) "kaliendarno-tiematichieskoie-planirovaniie-urokov-gieomietrii-9-kl-na-2014-2015-uchiebnyi-god"
    ["file_id"] => string(6) "154963"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1421230783"
  }
}
object(ArrayObject)#884 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(199) "Метод проектов как эффективное средство реализации требований ФГОС учащихся 7-11 классов на уроках геометрии"
    ["seo_title"] => string(112) "mietodproiektovkakeffiektivnoiesriedstvoriealizatsiitriebovaniifgosuchashchikhsia711klassovnaurokakhghieomietrii"
    ["file_id"] => string(6) "268663"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1450678316"
  }
}
object(ArrayObject)#862 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(78) "Повышение  эффективности уроков геометрии"
    ["seo_title"] => string(47) "povyshieniie-effiektivnosti-urokov-ghieomietrii"
    ["file_id"] => string(6) "274763"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "meropriyatia"
    ["date"] => string(10) "1452439397"
  }
}
object(ArrayObject)#884 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(171) "Использование информационно-коммуникационных технологий на уроках геометрии в 10 -11классах "
    ["seo_title"] => string(102) "ispol-zovaniie-informatsionno-kommunikatsionnykh-tiekhnologhii-na-urokakh-ghieomietrii-v-10-11klassakh"
    ["file_id"] => string(6) "215667"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1432749376"
  }
}
object(ArrayObject)#862 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(156) "Авторская разработка урока геометрии в 7 классе по теме "Смежные и вертикальные углы" "
    ["seo_title"] => string(96) "avtorskaia-razrabotka-uroka-ghieomietrii-v-7-klassie-po-tiemie-smiezhnyie-i-viertikal-nyie-ughly"
    ["file_id"] => string(6) "136608"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1417153217"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства