Уравнения и неравенства с модулем

Пример 3. Решить уравнение х 2 - |х|-6=0 .

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Решим первую систему уравнений:

Решим вторую систему уравнений:

Ответ: -3; 3.

3.Уравнение вида

 f 1 ( x )  +  f 2 ( x )  + …+  f n ( x )  = g ( x )

- Находят нули и точки разрыва функций f 1 ( x ) ,… f n ( x )

- Отмечают эти точки на числовой прямой

- В каждом из интервалов определяют значения этих функций

- Переходят к совокупности уравнений, не содержащих знака модуля

3. Решение уравнений вида

|f 1 (x)|+ |f 2 (x)|+…+ |f n (x)|=g(x)

Для каждой из этих функций находят область определения, ее нули и точки разрыва.

Нули и точки разрыва разбивают общую область определения функции f i (x) (i=1,2,,,,n) на промежутки, в каждом из которых каждая их функций f i (x) сохраняет постоянный знак.

Используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, подлежащее решению.

Алгоритм .

Пусть дано уравнение F(x)=0 такое, что его левая часть содержит модули некоторых функций

|f 1 (x)|, |f 2 (x)|,…, |f n (x)|

1.Решают каждое из уравнений f 1 (x)=0, f 2 (x)=0,…f n (x)=0

2. Вся координатная ось разбита на некоторое число промежутков.

3. На каждом таком промежутке уравнение заменяется на другое уравнение, не содержащее

знаков модуля и равносильно исходному уравнению на этом промежутке.

4. На каждом промежутке отыскиваются корни того уравнения, которое на этом промежутке получается.

5. Отбираются те корни, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут корнями

исходного уравнения на рассматриваемом промежутке.

6. Все корни уравнения F (х)=0 получают, объединяя все корни, найденные на всех

промежутках.

Пример 4.

2|х-2|-3|x+4|=1.

Решение.

Для освобождения от знаков модуля разобьем числовую прямую на три промежутка

x

2

-4

Решение данного уравнения сводится к решению трех систем:

Ответ: -15; -1.8

Задание: Решить самостоятельно(двумя способами):

Ответ:

3. Проверьте свои знания по теме «Модуль»

Вариант – 1

1. Укажите наименьшее по модулю число.

а) – 13,97; б) 6,3; в) 53,8; г) – 2 .

2. Вычислите | 5.2 – 7.7 |

а) – 2,5; б) 2,5; в) 5; г) 1,1.

3. Вычислите

(| - 7.3 | + | - 2.6|) : | - 9 |

а) 13; б) – 1,1; в) 5; г) 1,1.

4. Вычислите

| - 4.5 | : | - 0.9 | + | - 3 | : | 2 |

а) -7,5; б) 3,5; в) 6,5; г) - 6,5.

5. Решите уравнение 2| x – 3 | = 5

а) 5,5 и - 5,5; б) 0,5 и - 0,5;

в) 5,5 и 0,5; г) 3,5 и – 3,5.

Вариант – 2

1.Укажите наибольшее по модулю число.

а) – 91,3; б) 10,8; в) – 3 ; г) 5 .

2. Вычислите | 8,1 – 9,7 |

а) – 1,6; б) 17,8; в) 1,6; г) – 17,8.

3.Вычислите

(| - 14,5 | - | - 4,1|) : | - 8 |

а) 1,3; б) – 1,3; в) 1,6; г) - 2.

4. Вычислите

| - 7,2 | : | - 0,8 | + | 3 | : | - 2 |

а) 6,5; б) 10,5; в) - 10,5; г) 7,5.

5 . Решите уравнение 2| 3 - х | = 7

а) – 0,5 и 0,5; б)- 0,5 и 6,5;

в) - 6,5 и 0,5;г) - 6,5 и 6,5.

Ответы:

Вариант – 1 1.г, 2.б, 3г, 4.в, 5.в Вариант – 2 1.б, 2.в, 3.а, 4.б, 5.б

Решение неравенств, содержащих модуль

А)

-а

а

Б)

Этому неравенству удовлетворяют точки двух лучей:

-а

а

b, a0, b0, то a 2 b 2 . Верно и обратное утверждение, если a 2 b 2 , a0, b0б то ab. Из этих свойств следует, что неравенства |f(x)|≤a (a ≥0; при a|f(x)|≤ |g(x)| - можно заменить равносильными им неравенствами f 2 (x)-a 2 ≤0 и f 2 (x)-g 2 (x) ≤0. Аналогичные рассуждения верны и для неравенств: |f(x)| ≥ a, где a≥0, и |f(x)| ≥ |g(x)|. Заметим, что неравенство |f(x)| ≥ a, где aПример 1. |x 2 -5x|≤6. Данное неравенство равносильно неравенству: (x 2 -5x-6)(x 2 -5x+6) ≤0. Решаем методом интервалов. Ответ: -1≤x ≤2, 3≤x≤6." width="640"

I. Объяснение нового материала

1. Решение неравенств вида |f(x)|≤a и |f(x)|≤ |g(x)|

Напомним, что если ab, a0, b0, то a 2 b 2 .

Верно и обратное утверждение, если a 2 b 2 , a0, b0б то ab.

Из этих свойств следует, что неравенства |f(x)|≤a (a ≥0; при a

|f(x)|≤ |g(x)| - можно заменить равносильными им неравенствами f 2 (x)-a 2 ≤0 и

f 2 (x)-g 2 (x) ≤0.

Аналогичные рассуждения верны и для неравенств:

|f(x)| ≥ a, где a≥0, и |f(x)| ≥ |g(x)|.

Заметим, что неравенство |f(x)| ≥ a, где a

Пример 1.

|x 2 -5x|≤6.

Данное неравенство равносильно неравенству:

(x 2 -5x-6)(x 2 -5x+6) ≤0.

Решаем методом интервалов.

Ответ: -1≤x ≤2, 3≤x≤6.

2. Решение неравенствa вида |f(x)| ≥ g(x) и |f(x)|≤ g(x)

Неравенство равносильно системе неравенств:

Аналогичные рассуждения верны и для неравенства |f(x)|≥ g(x).

Неравенство |f(x)|≥ g(x) выполняется для всех х из области определения функции f, при которых g(x)

Если же g(x) ≥ 0, то f(x)≥g(x). Отсюда f 2 (x) – g 2 (x)≥0.

Итак, при решении неравенства |f(x)|≥ g(x) необходимо рассматривать два условия.

Пример 2.

Решением неравенства (1) является

Решением исходного неравенства является промежуток

Ответ:

2. ТЕСТ-ЗАДАНИЕ

Решение уравнений и неравенств.

А.

Д.

Б.

В.

Е.

Г.

Решение уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей.

ЦЕЛИ : продолжить решение задач по изучаемой теме; рассмотреть решение более сложных упражнений; проверить усвоение учащимися изученного материала.

ХОД ЗАНЯТИЯ:

I. Решение упражнений.

Пример 1.

Решить уравнение ||||x|-|-2|-1|-2|=2.

Решение.

По определению абсолютной величины, имеем:

Решим первое уравнение:

Решим второе уравнение:

Тогда:

Откуда:

Ответ:

Пример 2.

Решить неравенство:

Воспользуемся соотношением (1):

Ответ:

Метод введение новой переменной.

Пример 3.

Решить уравнение:

Решение: пусть |x+1|=y, тогда |2-y|=3

Вернемся к замене:

Ответ: -6, 4

Можно решить уравнение аналитически

Вариант 1. Вариант 2.

1. | 3 – 3x | = x + 5; 1. | 6x – 24| = x + 1;

2. 3x – 2| x | = 4; 2. | 2 – 2x | = 3 + x;

3. | 7x + 1 | = 2x – 6; 3. 10x – 3| x | = 7.

Ответы:

Вариант 1. 1. х 1 = - 0,5; х 2 = 4 2. х = 4 3. нет решений

Вариант 2 . 1. х = 5 2. х 1 = 5; х 2 = - 1/3 3. х = 1

НА СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА II. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ.

Построение графиков функций: y=f( |x|), y= | f(x)|, y=|f|x||

ЦЕЛЬ: научить учащихся строить графики, содержащие модуль; закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений.

Методические рекомендации:

Когда в «стандартные» функции, которые задают прямые, параболы, гиперболы, включают знак модуля, их графики становятся необычными. Чтобы научить строить такие графики, надо владеть приемами построения графиками элементарных функций, а также твердо знать и понимать определение модуля числа.

Если в модуль берется аргумент функции, график будет симметричен относительно оси ординат.

Если в модуль берется вся функция , график отражается в верхнюю полуплоскость относительно оси абсцисс.

1.

0 y = 0, если x=0 y = - x, если x

2.Рассмотрим функцию у = | x | и построим ее график.

y = x, если x0

y = 0, если x=0

y = - x, если x

3.

y

1

0

1

x

Установив закономерность, постройте графики функций:

4.

y

1

0

1

x

Установив

закономерность,

постройте графики

функций

5. Примеры построения графиков:

1. f ( x )= | x −1| . Вычисляя значение функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из

двух отрезков прямых (см. рис. 1).

2. f ( x ) =| x −1|+| x − 2 | . Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 0, 1, 2, 3, 4

получаем график, состоящий из трех отрезков прямых (см. рис. 2).

3. f ( x ) =| x −1|+| x − 2 |+| x −3 | . Для построения графика «по отрезкам», вычислим значения

функции в точках 1, 2, 3, 0, 4 (см. рис. 3).

4. f ( x ) =| x −1|−| x − 2 | . График разности модулей строится аналогично (см. рис. 4).

6. Построить график функции у = | x 2 – 6x + 3 |

При построении этого графика можно использовать принцип «зеркального отражения». Строим параболу у = x 2 – 6x + 3 по всем правилам:

х 0 = 3, у 0 = 9 – 18 + 3 = - 6,

А (3; - 6) — вершина параболы, ветви направлены вверх.

Строим параболу и отображаем часть графика, расположенного ниже оси Ох, в верхнюю полуплоскость.

7. Построить график функции у = | x 2 – 6|x| + 3 |

Шаг №1 Строим параболу

у = x 2 – 6x + 3

по всем правилам

Шаг №2 Если в модуль берется аргумент функции, график будет симметричен относительно оси ординат

Шаг №3 Если в модуль берутся значения функции , график будет симметричен относительно оси абсцисс

2. Попробуйте решить самостоятельно!

Решить уравнения

х 2 = | 2 - х|

|x 2 -3x|=2x-4

x 2 +|x-1|-5=0.

!!! Придумать и решить аналогичные уравнения

Занятие 4.

Решение уравнений и неравенств графическим способом

ЦЕЛЬ: научить учащихся решать уравнения и неравенства, содержащие модуль, графическим способом.

Методические рекомендации:

Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль является графический способ .

Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики функций, составляющих уравнение. В случае, если графики пересекутся, абсциссы точек пересечения данных графиков будут являться корнями уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет.

Графический способ определения числа корней уравнения является более удобным, чем аналитический.

НА СОДЕРЖАНИЕ

1. Объяснение нового материала.

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛИ

(линейное)

y

x

• |х+3|=|x-4|

Построим графики функций:

у =|х+3| и у =|x-4|. Абсцисса точки пересечения графиков является корнем уравнения

Ответ: х=0,5

0,5

2. Сколько корней имеет уравнение |x+3|-| x 2 – 6|x| + 3 |=0 ?

Преобразуем уравнение: |x+3|=| x 2 – 6|x| + 3 |

Построим графики функций у=|x+3| и у = | x 2 – 6|x| + 3 |

Найдем количество точек пересечения.

у

3

х

-3

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛИ и ПАРАМЕТРЫ.

3. Решить уравнение: | x - a| = | x - 4|

Решение: Строим графики функций y =|x - a| и y = |x - 4|.

При движении мы будем наблюдать два случая: 1.Построенные графики совпали. При a =4 решением уравнения служат все действительные числа.

2. Данные графики имеют одну

точку пересечения.

х = ( а + 4):2.

Ответ: если а = 4,то х - любое число;

если а 4, то х = ( a + 4) : 2

2. Самостоятельная работа

Вариант А

Вариант В

Сколько корней имеют уравнения

Вариант С

• |x-5| = x

Решите уравнения

• |2x-4| = |4-x|

• |2x-4| = 4-x

Найдите произведение корней уравнения на их количество

• -2x 2 = |x+1|

• |x+1| = |x 2 -3|

• -2x 2 = |x+1|

• |x+4| = |x-2|

Найдите наименьший корень уравнения

• |x+1| = |x 2 -3|

• При каком значении параметра a уравнение имеет четыре корня.

|x 2 +2|x|-5| =a

ОТВЕТЫ

1. 2;

2. 2;

3. 4

1. 0 и ;

2. Ø;

3. -2

1. 0

2. -1

3. a € [5;6]

ГЛАВА III. НЕРВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ, НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ.

Занятие 1, 2.

Геометрическая интерпретация уравнений вида |x-a|+ |x-b|=c и |x-a|-|x-b|=c. Изображение фигур на плоскости, задаваемых неравенствами.

ЦЕЛЬ: научить изображать на плоскости фигуры, расширить представления учащихся о взаимосвязи между алгебраическими соотношения и их геометрическими образами на координатными плоскостями.

Методические рекомендации:

Необходимо использовать рассматриваемый материал, включающий эстетический компонент, для развития интереса к предмету, а также для более глубокого усвоения базовых знаний. Кроме того, важно, чтобы учащимися были предложены задания, аппелирующие к воображению, фантазии.

1. Объяснение нового материала

Уравнения |х-а|+|х-в|=с и |х-а|-|х-в|=с имеют простую геометрическую интерпретацию.

Рассмотрим уравнение|х-2|+|х+3|=7.

Решить это уравнение - значит найти все такие точки на числовой оси ОХ, для каждой из которых сумма расстояний до точек с координатами (2) и (-3) равна 7.

Внутри отрезка [-3;2] таких точек нет, так как длина отрезка |2-(-3)|=5

Легко видеть, что эти точки (-4) и (3).Следовательно,х=-4,х=3-корни уравнения.

Изображение решений неравенств с двумя переменными на координатной плоскости:

Примеры:

1.

2.

3.

4.

2.

НА СОДЕРЖАНИЕ