kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

"Теорема Пифагора" презентация к уроку геометрии

Нажмите, чтобы узнать подробности

Теорема Пифагора Пребудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век. Содержание Формулировка теоремы Доказательства теоремы Значение теоремы Пифагора Формулировка теоремы Во времена Пифагора теорема звучала так: « Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» « Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».  Современная формулировка « В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Доказательства теоремы Существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.).
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«"Теорема Пифагора" презентация к уроку геометрии »

Теорема Пифагора Пребудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век .

Теорема Пифагора

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далёкий век .

Содержание

Содержание

  • Формулировка теоремы
  • Доказательства теоремы
  • Значение теоремы Пифагора
Формулировка  теоремы Во времена Пифагора теорема звучала так:  « Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах»  « Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».   или

Формулировка теоремы

Во времена Пифагора теорема звучала так:

  • « Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах»

  • « Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». 

или

Современная формулировка « В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».     

Современная формулировка

« В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».    

Доказательства теоремы  Существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.).

Доказательства теоремы

Существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.).

Самое простое доказательство
  • Самое простое доказательство

Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна a + c .

c

a

c a a c c  В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c .    a В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c .    Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c.

c

a

a

c

c

В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c .

a

В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c .

Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c.

Доказательство Евклида
  • Доказательство Евклида

Дано:

ABC -прямоугольный треугольник

Доказать:

S ABDE =S ACFG +S BCHI

Доказательство:   Пусть ABDE -квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC , а ACFG и BCHI -квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q ; соединим точки C и E , B и G .

Доказательство:

Пусть ABDE -квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC , а ACFG и BCHI -квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q ; соединим точки C и E , B и G .

Очевидно, что углы CAE=GAB(=A+90°) ; отсюда следует, что треугольники ACE и AGB (закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA ; они имеют общее основание AE и высоту AP , опущенную на это основание, следовательно S PQEA = 2S ACE Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, S FCAG =2S GAB Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.

Очевидно, что углы CAE=GAB(=A+90°) ; отсюда следует, что треугольники ACE и AGB (закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA ; они имеют общее основание AE и высоту AP , опущенную на это основание, следовательно

S PQEA = 2S ACE

Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, S FCAG =2S GAB

Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.

Алгебраическое доказательство
  • Алгебраическое доказательство

Дано: ABC -прямоугольный треугольник

Доказать: AB 2 =AC 2 +BC 2

                                         

  Доказательство:

1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С . 2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB , отсюда следует

AB*AD=AC 2 .

3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB , значит

AB*BD=BC 2 .

4) Сложив полученные равенства почленно, получим:

AC 2 +BC 2 = АВ *(AD + DB)

AB 2 =AC 2 +BC 2 . Что и требовалось доказать.

Геометрическое доказательство
  • Геометрическое доказательство

Дано: ABC -прямоугольный треугольник

Доказать: BC 2 =AB 2 +AC 2

Доказательство:

1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC . Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD , равный отрезку AC , соединим точки B и E . 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:

S ABED =2*AB*AC/2+BC 2 /2

3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:

S ABED = (DE+AB)*AD/2.

4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:

AB*AC+BC 2 /2=(DE+AB)(CD+AC)/2

AB*AC+BC 2 /2= (AC+AB) 2 /2

AB*AC+BC 2 /2= AC 2 /2+AB 2 /2+AB*AC

BC 2 =AB 2 +AC 2 .

    Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.

Значение теоремы Пифагора Теорема Пифагора- это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии .

Значение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора- это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии .


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 8 класс

Скачать
"Теорема Пифагора" презентация к уроку геометрии

Автор: Захарова Галина Михайловна

Дата: 21.03.2015

Номер свидетельства: 189434

Похожие файлы

object(ArrayObject)#855 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(71) "Теорема Пифагора (план-конспект урока) "
    ["seo_title"] => string(40) "tieoriema-pifaghora-plan-konspiekt-uroka"
    ["file_id"] => string(6) "147124"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1419330548"
  }
}
object(ArrayObject)#877 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(59) "План-конспект "Теорема Пифагора""
    ["seo_title"] => string(34) "plan-konspiekt-tieoriema-pifaghora"
    ["file_id"] => string(6) "301828"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1456997673"
  }
}
object(ArrayObject)#855 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(75) "Решение задач по теме «Теорема Пифагора»"
    ["seo_title"] => string(40) "reshenie_zadach_po_teme_teorema_pifagora"
    ["file_id"] => string(6) "595272"
    ["category_seo"] => string(9) "geometria"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1639846360"
  }
}
object(ArrayObject)#877 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(76) "Конспект урока  по теме "Теорема Пифагора""
    ["seo_title"] => string(40) "konspiekturokapotiemietieoriemapifaghora"
    ["file_id"] => string(6) "307916"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1458476875"
  }
}
object(ArrayObject)#855 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(111) "технологическая карта урока по геометрии "теорема Пифагора" "
    ["seo_title"] => string(69) "tiekhnologhichieskaia-karta-uroka-po-ghieomietrii-tieoriema-pifaghora"
    ["file_id"] => string(6) "185882"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1426250380"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1750 руб.
2500 руб.
1750 руб.
2500 руб.
1450 руб.
2070 руб.
1850 руб.
2640 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Проверка свидетельства