Теория вероятности в школьном курсе математики

Элементы стохастики в базовом школьном курсе

Учитель математики

МБОУ СОШ № 45

БережнаяС.В.

Содержание работы

• Введение

• 5-6 класс (пропедевтический курс по решению задач стохастик и ).
• 7 класс.
• 8 класс.
• 9 класс.

Литература .

Далее

5-6 класс (пропедевтический курс по решению задач стохастик и ).

§1. Комбинаторные задачи.

§2. Элементы статистики.

§3. Случайные события (пропедевтика теории вероятности).

Назад

7 класс.

§1. Статистические характеристики.

§2. Решение комбинаторных задач.

§3. Перестановки.

Пояснительная записка к пункту III .

Назад

8 класс.

§1. Частота случайного события.

§2. Вероятность случайного события.

§3. Вероятность равновозможных событий.

§4. Геометрические вероятности. (Для классов с углубленным изучением математики)

Назад

9 класс.

§1. Размещения с повторениями и без повторений.

§2. Перестановки с повторениями и без повторений.

§3. Сочетания.

§4. Решение задач по теории вероятности.

Назад

Описание работы.

5-6 класс (пропедевтический курс)

§1. Комбинаторные задачи.

Основные типы таких задач.

а) Арифметические упражнения на вычисление рациональным способом.

б) Числовые ребусы .

в) Прикладные и математические задачи на составление комбинаций из нескольких элементов .  

г) Задачи на выявление общего признака некоторого множества чисел , фигур .

д) Перебор элементов заданного множества и выделение тех, которые подчиняются заданному свойству

Далее

Арифметические упражнения на вычисление рациональным способом.

а). Замена нескольких слагаемых их суммой.

187+247+153=187+(247+153)=187+400=587.

б). Перестановка слагаемых.

238+487+362=(238+362)+487=600+487=1087;

в). Прием перемещения единиц.

1347+2235=(1347+33)+2202=1380+2202=3582.

г). Прибавление суммы к числу, числа к сумме.

384+(416+548)=(384+416)+548=800+548=1348;

д). Прибавление к сумме другой суммы.

(327+684+168)+(473+316+132)=(327+473)+(684+316)+(168+132)=800+1000+300=2100.

Арифметические упражнения на вычисление рациональным способом.

е). Округление одного или нескольких слагаемых.

1199+406=(1200+406)-1=1606-1=1605;

ж). Округление уменьшаемого или вычитаемого.

792-246=(800-246)-8=546;

987-192=(987+13)-(192+13)=1000-205=795.

В 6 классе следует повторить рассмотренные выше приемы быстрого счета и дополнить их приемами на умножение и деление.

а). Умножение на 5, 50, 500 и т. д.

б). Умножение на 25, 250, 2500 и т. д.

в). Умножение на 125, 1250, 12500 и т. д.

г). Умножение на 37.

д). Деление на 5, 50 и т. д.; деление на 25, 250 и т.д.; деление на 125, 1250 и т. д.

Назад

Числовые ребусы

I блок : Расшифровать запись.

а). - 4*5* б). А в). + БУЛОК

6*7 + АБ БЫЛО

*193 АБВ МНОГО.

БВБ

II блок : Расшифруйте запись.

а). - ББВЖ АБ

ВД ВГФ

- ЕВ

ДГ - ЕЖ

ЕЖ

-

Назад

Прикладные и математические задачи на составление комбинаций из нескольких элементов

1). Записать все возможные двузначные и трехзначные числа с помощью цифр 8 и 9.

2). Перечислить, в какой последовательности Аня, Боря, Витя могут занять очередь в школьный буфет.

3). Точки М и N разбивают отрезок АВ на три части. Перечислить все отрезки с концами в точках А, В, М и N .

Назад

Задачи на выявление общего признака некоторого множества чисел, фигур

1). Записать еще два члена последовательности:

а). 1,4,7,10,….

б). 1,4,9,16,….

в). 1,4,4,16,….

г). 1 - 2 3 - 4

2, 3, 4, 5,…

2). Выявить правило нахождения числа в средней клетке первой строки на рисунке и по этому правилу заполнить пустую клетку второй строки.

42

3

14

60

15

Задачи на выявление общего признака некоторого множества чисел, фигур

3). Какая фигура должна быть в пустой клетке на рисунке?

4). Сравнить дроби 23 2323 232323

99, 9999, 999999.

Назад

Перебор элементов заданного множества и выделение тех, которые подчиняются заданному свойству

1). Даны числа 251,180,1563,672. Подчеркните те, которые кратны 3.

2). Перечислить все треугольники, изображенные на рисунке.

B

D

E

A

C

F

Перебор элементов заданного множества и выделение тех, которые подчиняются заданному свойству

3). Испеченный пирог четырьмя разрезами по прямым линиям разрезать на 11 частей так, чтобы в каждой части было по одному ореху.

  ( Ответ: пунктирные линии показывают, как следует резать).

Перебор элементов заданного множества и выделение тех, которые подчиняются заданному свойству

5).

а).

в)

б )

г)

?

?

?

?

Назад

Решение задач с помощью построения графа

У ковбоя Джека две лошади: каурой и гнедой масти; два седла: красное и зеленое; две пары шпор: длинные и короткие; два револьвера: один марки “Кольт”, а другой - “Смитт-и-Вессон”. Сколькими способами Джек может экипироваться для конной прогулки по прериям?

Ответ: 16 способов. ( Граф строится в 4 этапа.).

Джек

лошадь

Г

К

седло

Кр

З

З

Кр

шпоры

Д

Д

К

Д

Д

К

К

К

К

С

С

С

С

С

С

С

С

К

К

К

К

К

К

К

револьверы

Решение задач по комбинаторики способом умножения.

1). У Кролика две табуретки: красная и зеленая. К нему в гости пришли Винни-Пух и Пятачок. Сколькими способами он может рассадить гостей?

Решение.

На красную - или Винни-Пух или Пятачок. Тогда на оставшуюся – второй гость. Значит всего 2 способа.

2). Сколькими способами Кролик сможет рассадить пять гостей по пяти табуреткам?

Решение.

5·4·3·2·1=120 способов.

§2. Элементы статистики.

Оценка

Подсчет случаев (частот)

2

Количество оценок (частота М)

111

3

1111 1111 1

4

3

1111 111

5

11

11

8

2

Всего

24(Σ М=24)

а). Предварительный анализ.

Всего –24 ученика

1. 360°:24=15°-градусная мера угла, соответствующая одному ученику.

2. 15°·3=45°- градусная мера угла, соответствующая "двоечникам"

3. 15°·11=165°-"троечники".

4. 15°·8=120°-"4".

5. 15°·2=30°-"5".

По вертикали всего 24 клетки;

1. 3 клетки- "двоечники"

2. 11 клеток - "троечники"

3. 8 клеток - "4"

4. 2 клетки -"5"

Число учащихся

§3. Случайные события (пропедевтика теории вероятности).

Оцените возможность наступления событий, используя для этого слова: " достоверное событие ", " случайное событие ", " невозможное событие ", " очень вероятное событие " и " маловероятное событие ".

А: "завтра будет хорошая погода";

В: "вас пригласят в гости";

С: "в январе в городе пойдет снег";

Д: "в 12 часов ночи в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце";

Е: "на дне рождения вам подарят говорящего крокодила";

F : "вам подарят живого крокодила";

G : "вы получите "5" за контрольную по математике";

Н: "круглая отличница получит двойку";

I : "сорванный цветок погибнет";

J : "вас пригласят сниматься в кино";

К: "камень, брошенный в воду, утонет"

L : "вы выходите на улицу, а навстречу идет слон";

М: "вы купили мороженое и выбросили его";

N : "выпадет желтый снег";

О: "вас изберут президентом США".

7 класс.

§1. Статистические характеристики.

§2. Решение комбинаторных задач.

§3. Перестановки.

Пояснительная записка к пункту III .

§1. Статистические характеристики.

Определение 1.

Мода - это число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто.

Определение 2.

Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных.

1) Найти среднее арифметическое и размах ряда:

А) 12, 38;

Б) 5, 17, 0, 26, 14;

В) 293, 812, 90, 2, 1517, 373, 28;

Г) 7,18, -0,63, -4,55, 6,21, 1,09.

2) В отделе мужской обуви универмага в течение дня проводится учёт размеров купленной обуви. Были получены следующие результаты: 44, 40, 43, 39, 42, 42, 45, 41, 43, 43, 41, 42, 46, 40, 41, 42, 39, 42, 45, 42, 43, 44, 44, 41, 42. Представьте эти результаты в виде таблицы:

Размер

39

Количество купленной обуви

40

…

Какой размер обуви наиболее распространен (чему равна мода ряда размеров)?

§2. Решение комбинаторных задач.

1) Сколько трёхзначных чётных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторятся?

Решение:

ABC – трехзначное число.

A – любая цифра, кроме 0 (т.е. 6 возможностей).

B – любая цифра (7 возможностей),

C – любая цифра из 0, 2, 4, 6 (4 возможности).

Тогда согласно правилу умножения, имеется 6  7  4=168 способов составить число, удовлетворяющие условие задачи.

§2. Решение комбинаторных задач.

Сколько существует различных вариантов кода, если код состоит из трёх цифр, причём:

а) цифры могут повторяться;

б) все три цифры разные.

Решения:

а) 10  10  10=1000 вариантов.

б) 10  9  8=720 вариантов.

§3. Перестановки.

В турнире участвуют 4 человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?

(Ответ: 4  3  2  1=24 способами.)

Каждое из таких расположений элементов называют перестановкой. Количество всех таких расположений элементов принято обозначать P k .

P k – число перестановок из k элементов.

В нашей задаче P 4 =4  3  2  1=24!, т.е. мы фактически подсчитали число всех перестановок для множества из четырех элементов.

§3. Перестановки.

Сколькими способами можно расставить на полке 10 книг, из которых 4 книги одного автора, а остальные – разных авторов, так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

Ответ: 4 книги одного автора можно расставить 4! способами. Остается 6 книг разных авторов и серия из 4 книг, которые можно расставить 7! способами. Тогда все книги можно расставить 4! ∙ 7! способами

8 класс.

§1. Частота случайного события.

§2. Вероятность случайного события.

§3. Вероятность равновозможных событий.

§4. Геометрические вероятности. (Для классов с углубленным изучением математики)

§1. Частота случайного события.

Существуют эксперименты, точные результаты которых предсказать нельзя.

Их называют экспериментами со случайным исходом или просто – случайными экспериментами.

Определение :

Относительной частотой случайного события называют отношения числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов

§1. Частота случайного события.

1) За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней?

2) За март в г. Барнауле родилось 2348 мальчиков и 2027 девочек. Найти частоту рождения

мальчиков и частоту рождения девочек.

3) Подсчитано, что частота появления “зайца” в трамваях составляет 10%. Известно, что за день 5400 человек купило билеты у кондуктора или предъявило “проездной”. Сколько примерно “зайцев” ехало в трамваях за день?

§2. Вероятность случайного события.

Вероятность случайного события приближенно равна частоте этого события, полученной при проведении большого числа случайных экспериментов.

Обозначение : P – вероятность.

Р(А) – вероятность события А

Вероятность невозможного события равна 0.

Вероятность достоверного события равна 1.

Тогда вероятность случайного события

0  Р(А)  1.

§2. Вероятность случайного события.

1) Бросаем 2 игральных кубика . Найти вероятность событий:

а) А: сумма выпавших очков равна 1;

б) В: сумма выпавших очков равна 2;

в) С: сумма выпавших очков не больше 12;

г) D : произведение выпавших очков больше 40.

2) Какова вероятность, того что в классе, где учится 25 человек:

а) хотя бы двое родились в одном месяце?

б) хотя бы трое родились в одном месяце?

§3. Вероятность равновозможных событий.

Пусть случайный эксперимент может завершится одним из n возможных исходов, причем все эти исходы равновероятны. Пусть ровно m из этих n исходов приводят к наступлению некоторого события А (будем называть такие исходы благоприятными для этого события).

Определение.

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение , где n – число всех возможных исходов

эксперимента, m – число всех благоприятных исходов,

т.е. Р(А)= .

§3. Вероятность равновозможных событий.

Пример. Таня и Ваня договорились встретить Новый Год в компании из 10 человек. Оба они очень хотели сидеть за праздничным столом рядом. Какова вероятность исполнения их желания, если среди их друзей принято места распределять путем жребия?

Решение: 10 человек могут усесться за стол 10! различными способами и все они равновозможны (т.е. n = 10!).

Сколько же из этих 10! способов благоприятны для Тани и Вани? Таня и Ваня, сидя рядом, могут занять 2 ∙10=20 разных позиций. В это же время 8 их друзей могут сесть за стол 8! разными способами, поэтому m = 20 ∙8! (по правилу умножения).

Поэтому Р (исполнение желания Тани и Вани) равна

§4. Геометрические вероятности. (Для классов с углубленным изучением математики)

Пример 4. Фигура Ф задана на координатной плоскости следующими условиями: |x| ≤5 и |y| ≤5 . Известно, что центр квадрата со сторонами, параллельными осям координат, принадлежит фигуре Ф. Сторона квадрата равна 2. Какова вероятность того, что квадрат целиком содержится в фигуре Ф?

Решение

Фигура Ф – квадрат ABCD, площадь которого 100. Так как центр квадрата MNKP находится внутри фигуры Ф, то для того, чтобы MNKP целиком содержался в фигуре Ф, его центр может находиться лишь внутри квадрата , показанного пунктиром. А его площадь 64. Тогда вероятность равна .

C

B

5

N

M

P

K

5

-5

1

D

-5

A

9 класс.

§1. Размещения с повторениями и без повторений.

§2. Перестановки с повторениями и без повторений.

§3. Сочетания.

§4. Решение задач по теории вероятности.

§1. Размещения с повторениями и без повторений.

Определение.

Пусть дано конечное множество М, состоящее из m элементов. Размещением из m элементов (без повторений) по k элементов называют всякое упорядоченное подмножество множества М, состоящее из n элементов.

Обозначение : - размещение из m элементов по k элементов.

§1. Размещения с повторениями и без повторений.

Пример . В высшей лиге по футболу 18 команд. Идет борьба за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?

Решение

§1. Размещения с повторениями и без повторений.

Определение.

Размещениями с повторениями из m элементов по k элементов называют все подмножества длины k , составленные из элементов m – элементного множества М.

Обозначение: - размещения с повторениями из m элементов по k элементов.

§1. Размещения с повторениями и без повторений.

Пример . Сколькими способами можно разделить 6 различных конфет между тремя детьми?

Решение

Т.к. детей трое, то количество способов раздела конфет между детьми есть

§2. Перестановки с повторениями и без повторений.

Определение.

Перестановкой без повторений из m элементов называют размещение без повторений из этих элементов по m.

Обозначение: - перестановки из m элементов.

§2. Перестановки с повторениями и без повторений.

Пример. На собрании должны выступить 5 человек: А,Б,В,Г,Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов, если Б не может выступить до того, как выступил А ? Решите эту же задачу, если Б должен выступать сразу после А. (60; 24)

Решение

А) Пронумеруем каждое место в списке ораторов: I , II , III , IV , V .

Так как Б не должен выступать раньше А, то возможно несколько случаев:

Если А – I , то I II III IV V

А любой из 4 оставшихся, Т.е. возможностей. Значит, 1·4!=24 случая.

Если А – II , то I II III IV V

3 А любой из 3 оставшихся

(или В, или Г , или Д)

Значит, 3·1·3!=18 случаев

Если А – III , то I II III IV V

3 2 А Значит, 3·2·1·2!=12 случаев.

§2. Перестановки с повторениями и без повторений.

Если А – IV , то I II III IV V

3 2 1 А Б

Значит, 3·2·1·1·1=6

На V месте А не может быть! Тогда всего 24+18+12+6=60 способов.

Б) Если Б выступает сразу после А:

Если А – I , то I II III IV V

А Б , т.е. 1·1·3!=6 способов.

Если А – II , то I II III IV V

3 А Б , т.е. 3·1·1·2!=6 способов.

Если А – III , то I II III IV V

3 2 А Б 1, т.е. 3·2·1·1·1=6 способов.

Если А – IV , то I II III IV V

3 2 1 А Б, т.е. 3·2·1·1·1=6 способов.

Всего 6+6+6+6=24 способа.

§2. Перестановки с повторениями и без повторений.

Определение.

Кортеж – любое упорядочение множества из m элементов, среди которых есть совпадающие.

Определение.

Перестановкой с повторениями состава ( k 1 ,k 2 ,...,k m ) из букв (a 1 ,a 2 ,...,a m ) называют любой кортеж длины k= k 1 +k 2 +...+k m , в который буква a 1 входит k 1 раз,…, буква a m входит k m раз. Число таких перестановок обозначают P ( k 1 ,k 2 ,...,k m )

§2. Перестановки с повторениями и без повторений.

Пример . Сколькими способами можно разложить 28 различных предметов по 4 различным ящикам (разного цвета) так, чтобы в каждом ящике оказалось по 7 предметов?

Решение

Число способов равно

§3. Сочетания.

Определение.

Пусть дано конечное множество М, состоящее из m элементов. Сочетанием из m элементов по k называется любое подмножество М, содержащее k элементов.

Обозначение: - сочетания из m элементов по k .

§3. Сочетания.

Пример 1. Сколькими способами можно составить команду из 4 человек для соревнований по бегу, если имеется 7 бегунов?

Решение

Число выборов равно .

Замечание. Если бы команда выбиралась для эстафетного бега (на 100, 200, 400, 800 метров), то число способов было бы равно , т.е. было бы в 4! раза больше, т.к. играл бы роль порядок спортсменов – кто на какую дистанцию будет бежать.

§4. Решение задач по теории вероятности.

Задача 1 . Из 16 собранных велосипедов 4 оказались с дефектами. Какова вероятность того, что 2 выбранных наугад велосипеда будут без дефектов?

Решение

Пусть событие А – 2 выбранных велосипеда будут без дефектов. Любой выбор 2 велосипедов из 16 есть равновозможный исход, а количество таких исходов равно .

Исправных велосипедов всего 16 – 4 = 12. Тогда исходов, благоприятных для события А будет .

Отсюда получаем, что

§4. Решение задач по теории вероятности.

Задача 2 . На 4 карточках написаны буквы «О», «Т», «К», «Р». Карточки перевернуты и перемешаны. Открывают наугад одну за другой эти карточки и кладут их в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «КРОТ»?

Решение

Любое расположение букв О, Т, К, Р на последовательно открытых карточках является равновозможными исходами. Число всех таких исходов равно

Событие А – получится слово «КРОТ».

Благоприятным исходом для события А будет 1 исход. Значит,

Литература

1) Ткачева М.В. Домашняя математика. – М.: Просвещение, 1993г.

2) Игнатьев Е.И. Математическая смекалка. – М.: Омега, 1994г.

3) Уроки занимательной математики. Составитель Лупина С.Ю. , Колосова Е.Н. – Кафедра математики школы – гимназии № 40, г. Барнаул, 1994г.

4) Чилингирова Л., Спиридонова Б. Играя, учимся математике. – М.: Просвещение,1993г.

5) Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. – М.: Просвещение,1992г.

6) Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. – М.: Просвещение,1988г.

7) Аменицкий Н.Н. , Сахаров И.§ Забавная арифметика. – М.: Наука, гл.ред. физ. – мат. лит., 1991г.

8) Сергеев И.Н., Олехник С.Н. , Гашков С.Б. Примени математику. - М.: Наука,, 1990г.

9) Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. Математика 5. – М.: Просвещение,2000г.

10) Дорофеев Г.В., и др. Математика 6. – М.: Просвещение,2001г.

Литература

11) Гусев В.А. , Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6 – 8 классах. – М.: Просвещение,1977г.

12) Лютикас В.С. Школьнику о теории вероятностей. – М.: Просвещение,1983г.

13) Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко Задачи по математике. Алгебра. – М.: Наука, гл.ред. физ. – мат. лит., 1987г.

14) Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Математика (Алгебра. Арифметика. Анализ данных). 7 класс. – М.: Дрофа, 1997г.

15) Сборник задач по математике (для факультативных занятий в 9 – 10 классах). Под ред. З.А. Скопеца. – М.: Просвещение,1971г.

16) Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др. Математика. (Алгебра. Функции. Анализ данных). 8 класс. – М.: Дрофа, 1999г.

17) Виленкин Н.Я. , Гутер Р.С., Шварцбурд С.И. и др. Алгебра. – М.: Просвещение,1972г.

18) Математика в школе. № 5 за 2003г.

19) Математика в школе № 3 за 2003г.

20) Математика в школе № 4 за 2002г.

21) Математика в школе № 7 за 2004г.