Свойства показательной функции

Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы

Основные свойства данного семейства функций:

1. Область определения: ;

2. Область значений: ;

3. Функция возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции ();

4. , все графики проходят через точку (0;1);

Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы :

Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы

Свойства данного семейства функций:

1. Область определения: ;

2. Область значений: ;

3. Функция убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции ();

4. , все графики проходят через точку (0;1);

2. Простейшие показательные уравнения, техника решения, примеры

Свойства показательной функции лежат в основе решения показательных уравнений и неравенств. Рассмотрим показательные уравнения:

Из равенства степеней следует равенство показателей в силу монотонности показательной функции.

Таким образом, методику решения показательных уравнений в общем виде можно представить следующим образом:

1. Уравнять основания степеней;

2. Приравнять показатели степеней;

3. Решить полученное уравнение;

Например:

3. Простейшие показательные неравенства, техника решения, примеры

Рассмотрим методику решения показательных неравенств. Все они в большинстве случаев сводятся к такому типу:

Методика решения подобных неравенств основана на монотонном возрастании показательной функции, когда основание степени больше единицы:

1. Уравнять основания степеней;

2. Сравнить показатели, сохранив знак неравенства;

3. Решить полученное неравенство;

или

Методика решения подобных неравенств основана на монотонном убывании показательной функции, когда основание степени лежит в пределах от нуля до единицы:

1. Уравнять основания степеней;

2. Сравнить показатели, изменив знак неравенства;

3. Решить полученное неравенство;

Например:

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Свойства показательной функции»

0 или f(x ) на заданном промежутке [a;b] f(x) =0 на · 10 ˉ² . ℮ ^x π*cos(π*x) ² +0,5 ² -7/12*y)/(18y+x ² ) ³ +4/9x)/(6x ² -18xy) ³ -5/6y))/(5(x ³ -6y)) π*cos(π*x) π x))^2 √ x π x))^2 √ x ² ²" width="640"

Ф-я 

Ф-я 

Е = …

Д = …

Чётность

Экстремумы

Период

Нули ф-и

Непрерывность

Ф-я 0 или

f(x ) на заданном промежутке [a;b]

f(x) =0 на

· 10 ˉ² .

℮ ^x

π*cos(π*x)

² +0,5

² -7/12*y)/(18y+x ² )

³ +4/9x)/(6x ² -18xy)

³ -5/6y))/(5(x ³ -6y))

π*cos(π*x)

π x))^2

√ x

π x))^2

√ x

С Т Р У К Т У Р А И З У Ч Е Н И Я Т Е М Ы

Показательная

функция

Связь

с жизнью

Понятие

Историческая

справка

Показательные

уравнения

Показательные

неравенства

I Понятие

Определение.
График.
Свойства .

II Показательные уравнения .

III Показательные неравенства .

IV Показательная функция в реальной жизни.

Показательной функцией называется функция вида у = а х (то есть неизвестная переменная «х» находится в показателе степени) Примечание :

Показательной функцией называется функция вида у = а х (то есть неизвестная переменная «х» находится в показателе степени)

Примечание :

a 0

a ≠ 1

 Примеры:

у = 2 х у = 5,3 х

у = 0,6 х у = (11/15) х

у = (5/2) х у = (  3) х

У = 1 х – не существует

у = (-5) х - не существует

Задание – обратите внимание на следующие моменты:

какие значения принимает аргумент «х» ?
какие значения принимает переменная «у» ?
симметричен ли график относительно оси ординат «у» или относительно нач. коорд (0;0) ?
есть ли у графика максимальное или минимальное значения ?
что происходит со значением функции «у», если аргумент функции «х» увеличивается ?
ограничен ли график, есть ли точки разрыва ?
повторяются ли значения функции ?

1  Вопрос : а если 0 ?" width="640"

Основание a 1

 Вопрос : а если 0 ?

Основание 0

1 возрастает  Функция при 0 убывает" width="640"
Д = (- ∞; + ∞)
Е = ( 0; ∞ )
Функция непрерывная
Не периодическая
Функция ни чётная, ни нечётная
Функция не ограничена сверху
Но ограничена снизу ( осью ОХ ).
Функция не имеет экстремумов

 Функция при a 1 возрастает
 Функция при 0 убывает

При любых действительных значениях «х» и «у» справедливы равенства:
а х · а у = а х + у
(а · в) х = а х · в х
(а х ) у = а х · у
а 0 = 1

Определение х
Методы решения уравнений:
 Графический
 Приведение
 Введение
 Вынесение

Алгоритм .
 На обеих частях уравнения задать функцию.
 В одной системе координат построить графики функций.
 Найти точки пересечения графиков функций.
 Определить координату «х» точек пересечения графиков.
 Записать ответ.
a х = f (x)

y = a x y = f (x)

х = ….

Решить уравнение
4 х = 5 – х
у = 4 х

у = 5 – х

Ответ: х = 1
х
у
-2
1/16
-1
0
1/4
1
1
4
2
16
х
у
5
0
0
5

Решить уравнение.
(½) х = х 2
у = (1/2) х

у = х 2

Ответ: х = -2 и х  0,75

х
-3
у
-2
8
-1
4
0
2
1
1
2
1/2
3
1/4
1/8
х
у
-3
-2
9
-1
4
0
1
0
1
2
1
3
4
9
0, a  1) f (x) = g (x) X = …." width="640"

 Обе части уравнения привести к степени с одним и тем же основанием.
Уравнять показатели степеней.
 Решить получившееся уравнение.

Записать ответ.

Уравнение вида

a f(x) = a g(x)

(a 0, a  1)

f (x) = g (x)

X = ….

Решить уравнение 8 2х – 4 = 32 1 – х
Заменим  8 = 2 3 ; 32 = 2 5
Подставим  (2 3 ) 2х – 4 = (2 5 ) 1 – х
Возведём степень  2 6х – 12 = 2 5 – 5х
в степень 
Решим  6 х – 12 = 5 – 5х
линейное 6х + 5х = 5 + 12
уравнение 11х = 17
Найдём корень  Х = 17/11
З апишем ответ  Х = 1 и 6/11

Решить уравнение (0,5) 2х – 3,5 =  0,5
Заменим   0,5 = 0,5 1/2
Подставим  (0,5) 2х – 3,5 = 0,5 0,5
Уравняем показатели 
степеней  2х – 3,5 = 0,5
Решим линейное  2х = 0,5 + 3,5
уравнение 2х = 4
Найдём корень  х = 2

Решить уравнение (5/2) х ² - 3х = (2/5) 8-3х
Заменим  2/5 = (5/2) -1
Подставим  (5/2) х ² - 3х = (5/2) -8 +3х
Уравняем 
показатели  х 2 – 3х = - 8 + 3х
Решим  х 2 – 3х + 8 - 3х = 0
квадратное х 2 – 6х + 8 = 0
уравнение D = (-6) 2 - 4 · 1 · 8 = 4
Запишем х 1 =(6-2)/2=2; х 2 =(6+2)/2=4
ответ  х 1 = 2 х 2 = 4
0; а  1 ) Пусть а х = t  a 2x = t 2  А · t 2 + В · t + С = 0 D = B 2 - 4AC; t 1,2 = (-B ±  D) / 2A a x = t 1 a x = t 2 x 1 = … x 2 = …" width="640"
 Уравнение второй степени
относительно а х .
 Ввести новую
переменную t.
 Заменить а х на t .
 Решить квадратное уравнение.
 Вернуться к подстановке а х = t
 Найти х 1 и х 2.

Уравнения вида
А · а 2х + В · а х + С = 0
( А, В, С – любые числа;А  0; а 0; а  1 )
Пусть а х = t  a 2x = t 2


А · t 2 + В · t + С = 0
D = B 2 - 4AC; t 1,2 = (-B ±  D) / 2A

a x = t 1 a x = t 2
x 1 = … x 2 = …

Решить уравнение 2 2х – 6 · 2 х + 8 = 0
Введём новую  2 х = t
переменную 
Заменим 2 х на t  t 2 – 6 t + 8 = 0
Решим  D = (-6) 2 - 32 = 4
квадратное t 1 = (6 + 2) / 2 = 4
уравнение t 2 = (6 – 2) / 2 = 2
Вернёмся к  2 х = 4 2 х = 2
подстановке 2 х = 2 2 2 х = 2 1
Найдём х 1 и х 2  х 1 = 2 х 2 = 1

Решить уравнение 3 · 9 х – 10 · 3 х + 3 = 0
Введём новую  3 х = t 9 х = (3 2 ) х = (3 х ) 2
переменную 
Заменим 3 х на t  3 · t 2 – 10 t + 3 = 0
Решим  D = (- 10 ) 2 - 3 6 = 64
квадратное t 1 = ( 10 + 8 ) / 6 = 3
уравнение t 2 = ( 10 – 8 ) / 6 = 1 / 3
Вернёмся к  3 х = 3 3 х = 1 / 3
подстановке 3 х = 3 1 3 х = 3 -1
Найдём х 1 и х 2  х 1 = 1 х 2 = - 1

0 Запишем ответ  уравнение корней не имеет" width="640"
Решить уравнение 5 2х +1 + 26 · 5 х + 5 = 0
Введём новую  5 х = t ; 5 2х + 1 = 5 2х · 5 1 =5(5 х ) 2 = 5 t 2
переменную 
Заменим 5 х на t  5 · t 2 + 26 t + 5 = 0
Решим  D = 26 2 - 100 = 676–100=576
квадратное t 1 = ( -26 + 24 ) / 10 = -1 / 5
уравнение t 2 = ( -26 - 24 ) / 10 = -5
Вернёмся к  5 х = - 1/ 5 5 х = - 5;
подстановке но при всех «х» а х 0
Запишем ответ  уравнение корней не имеет
0 a  1) A·a x ·a m +B·a x ·a n +C·a x ·a p +.. = D a x (A·a m + B·a n + C·a p + …) = D  Q (Q – число ) a x · Q = D a x = D / Q a x = L ( L - число ) x = … Разложим степени по формуле а х + у = а х · а у .  Вынесем общий множитель за скобку. Вычислим в скобке. Решим линейное ур-е. Найдём «х»." width="640"
Уравнения вида
A ·a x+m + B·a x + n + C·a x +p +…=D
(A,B,C,D; m,n,p – любые числа
a 0 a  1)
A·a x ·a m +B·a x ·a n +C·a x ·a p +.. = D
a x (A·a m + B·a n + C·a p + …) = D

Q (Q – число )
a x · Q = D
a x = D / Q
a x = L ( L - число )
x = …
Разложим степени по формуле
а х + у = а х · а у .
 Вынесем общий множитель за скобку.
Вычислим в скобке.
Решим линейное ур-е.
Найдём «х».

Решить уравнение 3 х + 2 – 3 х = 72
Разложим степень  3 х + 2 = 3 х · 3 2
на множители 3 х · 3 2 – 3 х = 72
Вынесем общий  3 х ( 3 2 – 1 ) = 72
множитель 3 х ( 9 – 1 ) = 72
Вычислим в скобке  3 х · 8 = 72
Найдём 3 х  3 х = 72 / 8
3 х = 9
Найдём « х »  3 х = 3 2 х = 2

Решить уравнение 6 х + 1 +35 · 6 х-1 = 71
Разложим степень  6 х + 1 = 6 х · 6; 6 х-1 =6 х · 6 -1
на множители 6 х · 6 + 35 · 6 х · 1/6= 71
Вынесем общий  6 х ( 6 + 35 · 1/6 ) = 71
множитель 6 х ( 6 + 35/6 ) = 71
Вычислим в скобке  6 х · 71/6 = 71
Найдём 6 х  6 х = 71 / (71/6)
6 х = 71 · (6/71)
Найдём « х »  6 х = 6 х = 1

Решить уравнение 4 · 5 х+2 +5 · 5 х+1 - 6 · 5 х = 23,8
Разложим степень  5 х + 2 = 5 х · 5 2 ; 5 х+1 =5 х · 5 1
на множители 4 · 5 х · 5 2 +5 · 5 х · 5 - 6 · 5 х = 23,8
Вынесем общий  5 х (4 · 25 + 5 · 5 - 6 ) =23,8
множитель 5 х ( 100 + 25 - 6 ) = 23,8
Вычислим в скобке  5 х · 119 = 23,8 / 119
Найдём 5 х  5 х = 0,2
5 х = 1/5
Найдём « х »  5 х = 5 -1
х = - 1

1. а)2 – 3 б)3 4 в)( ¼ ) - 2 г)( ½ ) 5 д)( ¾ ) - 1 е) (  2) 0" width="640"
3

1 . Выбрать функции, которые не является показательными.
а) у = х 3 б) у = 4 х + 1 в) у = 1 х г) у = (- 0,4) х
2. Среди указанных функций указать возрастающие и убывающие.
а) у = (  7) х б) у =(  10/4) х в) у = ( ⅝) х г)у =(  ) х
д) у =(  /3) х е) у = (8/3) х ж) у = (  2–1) х
3. Выбрать промежуток, кот. является областью значений показательной ф – и.
а) [0; +∞) б) (-∞; +∞) в) [0;1] г) (0; +∞) д) (0;1)
4. Выбрать выражения, значение кот. 1.
а)2 – 3 б)3 4 в)( ¼ ) - 2 г)( ½ ) 5 д)( ¾ ) - 1 е) (  2) 0
1 . Выбрать функции, которые не является показательными. а) у = х 3 б) у = 4 х + 1 в) у = 1 х г) у = (- 0,4) х 2. Среди указанных функций указать возрастающие и убывающие. а) у = (  7) х б) у =(  10/4) х в) у = ( ⅝) х г)у =(  ) х д) у =(  /3) х е) у = (8/3) х ж) у = (  2–1) х 3. Выбрать промежуток, кот. является областью значений показательной ф – и. а) [0; +∞) б) (-∞; +∞) в) [0;1] г) (0; +∞) д) (0;1) 4. Выбрать выражения, значение кот. 1. а)2 – 3 б)3 4 в)( ¼ ) - 2 г)( ½ ) 5 д)( ¾ ) - 1 е) (  2) 0
1 . Выбрать функции, которые не является показательными. а) у = х 3 б) у = 4 х + 1 в) у = 1 х г) у = (- 0,4) х 2. Среди указанных функций указать возрастающие и убывающие. а) у = (  7) х б) у =(  10/4) х в) у = ( ⅝) х г)у =(  ) х д) у =(  /3) х е) у = (8/3) х ж) у = (  2–1) х 3. Выбрать промежуток, кот. является областью значений показательной ф – и. а) [0; +∞) б) (-∞; +∞) в) [0;1] г) (0; +∞) д) (0;1) 4. Выбрать выражения, значение кот. 1. а)2 – 3 б)3 4 в)( ¼ ) - 2 г)( ½ ) 5 д)( ¾ ) - 1 е) (  2) 0
1. Выберите те, кот. 1 а)а 4 б)а – 5 в)а 0 г)а 1/2 д)(1 / а) 3 е) (1 /а) – 2 ж)(1 / а) 0 5. Выберите те выражения, в которых 0 а ) a 5 7 б) a 9 a 11 в) a  2 a  3 г) a 2/3 3/4" width="640"
1 . Известно, что 3 х = 5. Найдите 3 4х .
а) 20; б) 81; в) 625; г) 125
2. Известно, что (1 / 2) х = 3. Найдите 2 4х .
а) 81; б) 1 / 81; в) 1 / 16; г) 16
3. Найдите наибольшее и наименьшее значение
функции у = 3 х на отрезке [0;2].
[0;8]; б) [0;6] в) [1;8] г) [1; 9]
4 . Известно, что «а» 1. Выберите те, кот. 1
а)а 4 б)а – 5 в)а 0 г)а 1/2 д)(1 / а) 3 е) (1 /а) – 2 ж)(1 / а) 0
5. Выберите те выражения, в которых 0
а ) a 5 7 б) a 9 a 11 в) a  2 a  3 г) a 2/3 3/4

 Какие из данных утверждений о графике функции у = 2 х являются верными ?
1. График пересекает ось «у» в точке (0;1).
2. График пересекает ось «х».
3. График расположен выше оси «х».
4. График пересекает прямую у = 1001.
5. График пересекает прямую у = - 6.
6. График – возрастающий.
7. График – убывающий.
8. График – относится к нечётной функции.
9. График имеет max и min .
10. Какие из утверждений не относятся к графику функции у = ( ½ ) х ?
+
-
+
+
-
+
-
-
-
2
5
6
8
9

1 . На рисунке изображены графики нескольких функций. Выбрать тот, который является графиком показательной функции.

у
1
х
0

2. График, изображённый на данном рисунке, является графиком одной из функций :
а) у = 3 х б) у = (1/3) х в) у = (  3) х г) у = 1,3 х
Укажите эту функцию.
у
1
х
0

3. Один из графиков, показанных на этих
рисунках, является графиком функции у = (  5) х .
Укажите, какой именно.
у
у
а)
б)
0
х
0
х
у
у
в)
г)
2
0
х
х
0

Показательная функция имеет важное значение в науке и технике. Многие явления природы, законы биологи , экономики и физики можно описать посредством функции у = а х (математическая модель).

Примеры
32 ( 1 /5 ) 3 - 2x  125 x + 1 1  ( ⅝ ) 4x – 2 (0,25) x + 3 6 – 2x 1  7 x – 3" width="640"
Определение: неравенство называется показательным, если в одной из его частей или в обеих частях есть функции вида «у = а х »
Примеры:
4 х+2 32
( 1 /5 ) 3 - 2x  125 x + 1
1  ( ⅝ ) 4x – 2
(0,25) x + 3 6 – 2x
1  7 x – 3
Примечание:
а 0 a ≠ 1

 Обе части неравенства привести к степени с одним и тем же основанием.
 Определить монотонность показательной функции, входящей в состав неравенства.
 Если функция возрастающая, то между показателями ставится тот же знак, что и в данном неравенстве.
 Если функция убывающая, то между показателями ставится знак, противоположный знаку данного неравенства.
 Решить получившееся неравенство.
 Решение неравенства отметить на числовой прямой.
 Ответ записать в виде числового промежутка.
a g (x) а 1  функция  f (x) g (x) 0  функция  f (x) a f (x) g (x) а 1  функция  f (x) 0  функция  f (x) g (x)" width="640"
a f (x) a g (x)
а 1  функция 
f (x) g (x)
0  функция 
f (x)
a f (x) g (x)
а 1  функция 
f (x)
0  функция 
f (x) g (x)
4 x – 2 Заменим  4 x – 2 = ((1 / 2) - 2 ) х-2 )=(1/2) -2х+4 Подставим  (1 / 2) 3 х + 1 (1 / 2) – 2х + 4 Определим  а = 1 / 2; 0 монотонность ф – и функция  Поменяем знак нер – ва 3х + 1 между показателями  3x + 2x Решим линейное 5x неравенство  x Отметим решение на числовой прямой  х  ( -  ; 0,6)  0,6" width="640"
Решить неравенство (1 / 2) 3 х + 1 4 x – 2
Заменим  4 x – 2 = ((1 / 2) - 2 ) х-2 )=(1/2) -2х+4
Подставим  (1 / 2) 3 х + 1 (1 / 2) – 2х + 4
Определим  а = 1 / 2; 0
монотонность ф – и функция 
Поменяем знак нер – ва 3х + 1
между показателями  3x + 2x
Решим линейное 5x
неравенство  x
Отметим решение на
числовой прямой  х  ( -  ; 0,6)


0,6
1 монотонность ф – и функция  Знак прежний между -10х + 15  - 2 показателями  -10 x  -2 - 15 Решим линейное -10 x  -17 : (-10) неравенство  x  1,7 Отметим решение х  (1,7;  ) 1,7" width="640"
Решить неравенство 32 2х + 3  0,25
Заменим  32 -2 x + 3 = (2 5 ) -2х +3 =2 -10х + 15
0,25 = (0,5) 2 = (1 / 2) 2 = 2 -2
Подставим  2 -10х + 15  2 – 2
Определим  а = 2; a 1
монотонность ф – и функция 
Знак прежний между -10х + 15  - 2
показателями  -10 x  -2 - 15
Решим линейное -10 x  -17 : (-10)
неравенство  x  1,7
Отметим решение х  (1,7;  )
1,7
10 Заменим  3 x – 3 = 3 x · 3 – 3 = 3 x · (1 / 27) Подставим  3 х · (1 / 27) + 1 / 3 · 3 х 10 Вынесем общий множ.  3 х · (1 / 27+1 / 3) 10 Вычислим в скобке  3 х · (10 / 27) 10 Разделим обе части  3 х 10 : (10 / 27) Знак прежний между 3 х 27; 3 х 3 3 показателями  а = 3 1  функция  Отметим решение х 3 на числовой прямой  Запишем ответ х  ( 3 ;  ) 3" width="640"
Решить неравенство 3 х – 3 + 1/3 · 3 х 10
Заменим  3 x – 3 = 3 x · 3 – 3 = 3 x · (1 / 27)
Подставим  3 х · (1 / 27) + 1 / 3 · 3 х 10
Вынесем общий множ.  3 х · (1 / 27+1 / 3) 10
Вычислим в скобке  3 х · (10 / 27) 10
Разделим обе части  3 х 10 : (10 / 27)
Знак прежний между 3 х 27; 3 х 3 3
показателями  а = 3 1  функция 
Отметим решение х 3
на числовой прямой 
Запишем ответ х  ( 3 ;  )
3
0 показателями знак 2 – 3  - х 0 - 3 Переносим число «3»  - 1  - х - 3 Умножим нер - во на (- 1)  1  х Отметим решение  на числовой прямой x  [ 1; 3 )  1 3" width="640"
Решить неравенство 0,49  0,7 3 – х
Заменим  1 = (0,7) 0 0,49 = (0,7) 2
Подставим  (0,7) 2  0,7 3 – x 0
Определим  а = 0,7; 0
монотонность функция 
Изменим между  2  3 – х 0
показателями знак 2 – 3  - х 0 - 3
Переносим число «3»  - 1  - х - 3
Умножим нер - во на (- 1)  1  х
Отметим решение 
на числовой прямой x  [ 1; 3 )

1
3
1  функция  Между показателями знак  2 х 2 + 3 х  2 неравенства не меняем 2 х 2 + 3 х – 2  0 Решим квадратное  2 х 2 + 3 х – 2 = 0 уравнение D = 25 x 1 = -2 x 2 = ½ Решим квадратное  неравенство Запишем ответ  х  [ -2; ½] _ + + ½ -2" width="640"
Решить неравенство 11 2 х ² + 3х  121
Заменим  121 = 11 2
Подставим  11 2 х ² + 3х  11 2
Определим монотонность  а=11;а 1  функция 
Между показателями знак  2 х 2 + 3 х  2
неравенства не меняем 2 х 2 + 3 х – 2  0
Решим квадратное  2 х 2 + 3 х – 2 = 0
уравнение D = 25 x 1 = -2 x 2 = ½
Решим квадратное 
неравенство
Запишем ответ  х  [ -2; ½]
_
+
+
½
-2

Решить неравенство 2 х + 2 3 – х  9
Заменим  2 3 – х = 2 3 : 2 х = 8 / 2 х
Подставим  2 х + 8 / 2 х  9
Заменим  Пусть 2 х = у  у + 8 / у  9
Умножим обе части на «у»  у 2 + 8  9y
Решим квадратное  у 2 – 9у + 8  0
неравенство у 2 – 9у + 8 =0 D=49 y 1 =8 y 2 =1

Вернёмся к подстановке  2 х  1 2 х  8
Запишем ответ 2 х  2 0  х  0 ; 2 х  2 3  х  3
+
+
-
у  1 и у  8
1
8

?
 Что значит – решить уравнение ?
При каком условии уравнение называется показательным?
 Перечислить методы решения показательных уравнений.
В чём заключается графический метод решения показательного уравнения?
Вид показательного уравнения, который решается графическим методом.

 Сколько корней имеет уравнение вида а х = в ? Рассмотрите все возможные случаи.
 Указать уравнения, которые решаются графическим методом?
2 х = 1; (1 / 2) х = 10; 3 х = 2 – х; 2 х = х 2 ; (0,5) х = 8
 Какие из уравнений не имеют корней?
3 х = 2; 3 х = - 9; 3 х = 1; 3 х = 0; 3 - х = 2
 Сколько корней имеет уравнение? (1 / 3) х = - х 2 + 6 3 х = - х 2 4 х = х 3 + 1

у
У =(1/3) х
х
0
У = 3 х
у
У = -х 2 +6
0
у
х
У = 4 х
х
0
у = - х 2
у = х 3 + 1

Из данных рисунков выберите тот, на котором показано решение уравнения
2 х = - х + 5
у
Б
х
0
у
А
у
В
х
х
0

 В чём заключается метод – приведение обеих частей уравнения к степени с одним и тем же основанием?  Определите общий вид уравнения, которое решается таким методом.  Укажите, к какому основанию надо привести обе части данного уравнения. 3 х ² - 2х = 1 25 х = 1 / 125 8 2х + 3 = 0,25  Решите уравнения: 1) 2 х = (1 / 2) 5 х – 6 2) (1 / 3) х + 2 = 3 х 3) (0,2) х + 1 = 1 4) (6 / 5) х + 6 = (5 / 6) 3х – 2 Ответы: а)х = -1 ; б) х = 1 .

 В чём заключается метод – введение новой переменной?  К какому уравнению сводится показательное уравнение в этом случае?  Сформулировать алгоритм решения уравнения вида А ∙ а 2х + В ∙ а х + С = 0 .  Какой метод также используется при решении такого вида уравнений?  Решить уравнение 4 х – 6 ∙ 2 х + 8 = 0 Пусть ……. Д = ……. У 1,2 = …….
2 х = ……. → х 1 = …; 2 х = …… → х 2 = …

 В чём заключается метод – вынесение общего множителя за скобки?  Какие две формулы используются для разложения степени на множители?  Сформулировать алгоритм решения показательного уравнения этим методом.  Решить уравнение методом вынесения общего множителя за скобки. 3 х + 2 – 5 ∙ 3 х = 36 Как разложить 3 х + 2 ? Какой общий множитель выносится за скобку? Чему равен корень уравнения?

 Систематизировать данные уравнения по методам решения:
А) графический метод;
Б) метод приведения обеих частей уравнения к степени с одним и тем же основанием;
В) метод введения новой переменной;
Г) метод вынесения общего множителя за скобку.

А) 9 2х = 3 х ² - 6
Б) 3 ∙ 3 2х + 3 х – 4 = 0
В) (2 / 3) 5х + 4 = (3 / 2) 2 - х
Г) 4 х + 1 = 6 - х
Е) 2 х + 3 +2 х + 1 –7 ∙ 2 х = 48
Д) 16 х + 4 = 5 ∙ 4 х
З) 5 х – 1 = 0
Ж) 7 х + 2 – 14 ∙ 7 х = 5
И) 3 –х = - 3 / х
К) 9 ∙ 81 1 – 2х = 27 2 - х
Л) 0,01 х + 9,9 ∙ 0,1 х – 1 = 0
М) 0,5 х = 2 2 – 3х
Н) 2,5 х = х 2 - 4
О) 3 х + 2 – 3 х = 72
0 ? Почему «а» ≠ 1? 0 х = 0 0 0 не имеет смысла 1 х = 1 при любом «х» Почему «а» ≠ 0 ?" width="640"
При а
выражение
может не иметь
смысла
(-7) ½
Почему «а» 0 ?
Почему «а» ≠ 1?
0 х = 0
0 0
не имеет
смысла
1 х = 1
при
любом «х»
Почему
«а» ≠ 0 ?

Процесс распада радиоактивных веществ (уран, радий, радон) осуществляется по формуле
m = m 0 ·(1/2) t/T .
изменение атмосферного
давления с изменением
высоты;
охлаждение тела;
ток самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения;
при завязывании шнурков на ботинках, узлов на верёвках сила трения изменяется по показательной функции;
удержание корабля тросом.
в физике

Рост колоний живых организмов (в частности, бактерий).
в биологии
Размножение живых организмов (отсутствие в Австралии крупных хищников привело к национальному бедствию).
Рост народонаселения со временем.

цепные реакции.
в химии
И так далее …
в медицине
выброс адреналина в кровь и его разрушение.

Устный счёт
2 0 ; (1 / 2) 3

(1 / 2) -1 ; (3 / 5) -1 ;

9 ½ ; (- 8) ½ ; 2 -1 ; 3 0 ;

4 1 ; (1 / 3) -2 ; (4 / 9) 0 ;

3 - 4 ∙ 81; 2 - 3

Построить графики функций, предварительно задав таблицу значений.
У = 2 х
У = (3,5) х
У = (1,2) х
У = 3 х

У = 2 х
х
у
- 3
1 / 8
- 2
1 / 4
- 1
1 / 2
0
1
1
2
2
3
4
8
У = 2 х
у
х

У = (3,5) х
у = (3,5) х
х
- 3
у
0,02
- 2
0,08
- 1
0,3
0
1
1
3,5
2
3
12,25
42,875
у
х

У = 3 х
х
- 3
у
1/27
- 2
- 1
1/9
1/3
0
1
1
3
2
9
3
27
У = 3 х
у
х
Вывод

У = (1,2) х
х
- 3
у
0,58
- 2
- 1
0,69
0,83
0
1
1
1,2
2
3
1,44
1,728
у
У = (1,2) х
х

Построить графики функций, предварительно задав таблицу значений.
У = (1 / 2) х
У = (0,15) х
У = (0,9) х
У = (2/5) х

У = (1 / 2) х
х
у
- 3
8
- 2
4
- 1
2
0
1
1
1 / 2
2
1 / 4
3
1 / 8
У = (1/2) х
у
х

У = (0,15) х
х
- 3
у
296
- 2
- 1
44
6,7
0
1
1
0,15
2
0,0225
3
0,0034
у
У = (0,15) х
х

У = (0,9) х
х
- 3
у
1,37
- 2
1,23
- 1
1,11
0
1
1
0,9
2
3
0,81
0,729
у
У = (0,9) х
х

У = (2/5) х
х
- 3
у
15,625
- 2
- 1
6,25
2,5
0
1
1
2 / 5
2
4 / 25
3
8 / 125
у
У = (2/5) х
х
Вывод

?
Что значит решить неравенство?
При каком условии неравенство называется показательным?
Какое свойство необходимо учитывать при решении показательных неравенств?
Сформулировать алгоритм решения показательного неравенства, если «а» 1
Сформулировать алгоритм решения неравенства, если 0 « a » .
(9/4) n (0,7) m (0,7) n ? Какое заключение можно сделать относительно основания «а»" width="640"
Сравните числа:
5 2 и 5 4 ; (3/7) - 6 и (3/7) 6 ; (9/4) 6 и (9/4) 9
Какое заключение можно сделать относительно m и n , если:
(3/7) m n (1,2) m n (9/4) m (9/4) n (0,7) m (0,7) n ?
Какое заключение можно сделать относительно основания «а» (а 0), если:
a 3/7 a 5/7 a 2/3 a 1/3 ?

Решить неравенства:
2 х 1
2 х
У=2 х
У=2 х
у
У=2 х
у
У=4
У=1
х
х
Х …..  х  (…;…)
Х …..  х  (…;…)

Решить неравенства:
( ¼ ) х 1
( ¼ ) х
у
У=( ¼ ) х
У=( ¼ ) х
у
У=4
У=1
х
х
Х …..  х  (…;…)
Х …..  х  (…;…)

Определите монотонность функции
Установите основание «а»
Сравните «х 1 » и «х 2 »
Сравните «у 1 » и «у 2 »
у
у 2
у 1
У = а х
х
х 1
х 2
Вывод Х 2 ? Х 1  у 2 ? у 1

Определите монотонность функции
Установите основание «а»
Сравните «х 1 » и «х 2 »
Сравните «у 1 » и «у 2 »
у
у 1
у 2
У = а х
х
х 1
х 2
Вывод Х 2 ? Х 1  у 2 ? у 1

Понятие о степени с натуральным показателем возникло в Древней Греции . Но современные обозначения в XVII веке ввёл Декарт .
Степенью с «0» показателем стал пользоваться первым ал – Коши в начале XV века.
Немецкий математик Штифель (1487 – 1567) ввёл название показатель ( в переводе с немецкого Exponent )
Дробные показатели степени и наиболее простые правила действий над степенями встречаются в XIV в. у французского математика Орема (1323 – 1382).
Степени с отрицательными и нулевыми показателями рассматривал Шюке(1445 – 1500).
Стевин предложил понимать под «а 1/ n » корень « n  а» .
Валлис в 1665 г . впервые рассмотрел вопрос о целесообразности употребления отрицательных и дробных показателей.
Систематически рациональные показатели первым стал употреблять Исаак Ньютон .

Построение графика
функции по точкам
Что

надо

повторить?

«Чтение» графика функции
Понятие степени и
действия над
степенями
1 У У = а х 0 1 х 0" width="640"
График показательной
функции
У = а х
a 1
У
У = а х
0
1
х
0

?
Блок I  оценка «3»
Блок II  оценка «4»
Блок III  оценка «5»
Проверочный блок
1 D (обл. опр.) E (обл. изм.) 0 Непрерывность Монотонность Нули функции Чётность Периодичность Экстремумы Знакопостоянс. ( - ∞; +∞ ) ( 0 ; +∞ ) Непрерывная Возрастает Убывает Нет (график не пересекает ось «х») Ни чётная, ни нечётная Не периодическая Нет f(x) 0 при всех «х»  D" width="640"
Свойства
a 1
D (обл. опр.)
E (обл. изм.)
0
Непрерывность
Монотонность
Нули функции
Чётность
Периодичность
Экстремумы
Знакопостоянс.
( - ∞; +∞ )
( 0 ; +∞ )
Непрерывная
Возрастает
Убывает
Нет (график не пересекает ось «х»)
Ни чётная, ни нечётная
Не периодическая
Нет
f(x) 0 при всех «х»  D

Электронная тетрадь по алгебре 9 класс...

Алгебра 8 класс ФГОС

Электронная тетрадь по математике 5...

Электронная тетрадь по геометрии 9...

Геометрия 8 класс ФГОС

Математика 6 класс ФГОС

Алгебра 7 класс

Электронная тетрадь по математике 6...

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 11 класс

Скачать
Свойства показательной функции

Бесплатное скачивание файла

Введите Ваш Email

Автор: Трушникова Галина Петровна

Дата: 06.03.2016

Номер свидетельства: 302603

Похожие файлы

Разработка урока "Показательная функция, ее свойства и график"

object(ArrayObject)#865 (1) { ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) { ["title"] => string(114) "Разработка урока "Показательная функция, ее свойства и график"" ["seo_title"] => string(66) "razrabotka_uroka_pokazatiel_naia_funktsiia_ieie_svoistva_i_ghrafik" ["file_id"] => string(6) "389696" ["category_seo"] => string(10) "matematika" ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki" ["date"] => string(10) "1486614217" } }

Презентация по алгебре 11 класс "Показательная функция, ее свойства и графики"

object(ArrayObject)#887 (1) { ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) { ["title"] => string(141) "Презентация по алгебре 11 класс "Показательная функция, ее свойства и графики"" ["seo_title"] => string(89) "priezientatsiia-po-alghiebrie-11-klass-pokazatiel-naia-funktsiia-ieie-svoistva-i-ghrafiki" ["file_id"] => string(6) "248849" ["category_seo"] => string(10) "matematika" ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii" ["date"] => string(10) "1446797261" } }

презентация и конспект урока по теме "Показательная функция"

object(ArrayObject)#865 (1) { ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) { ["title"] => string(112) "презентация и конспект урока по теме "Показательная функция" " ["seo_title"] => string(69) "priezientatsiia-i-konspiekt-uroka-po-tiemie-pokazatiel-naia-funktsiia" ["file_id"] => string(6) "124665" ["category_seo"] => string(10) "matematika" ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii" ["date"] => string(10) "1414763623" } }

Показательная функция, её свойства и график

object(ArrayObject)#887 (1) { ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) { ["title"] => string(80) "Показательная функция, её свойства и график" ["seo_title"] => string(54) "urok-pokazatiel-naia-funktsiia-ieio-svoistva-i-ghrafik" ["file_id"] => string(6) "226255" ["category_seo"] => string(10) "matematika" ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii" ["date"] => string(10) "1440155349" } }

ЛЕКЦИОННО-СЕМИНАРСКИЕ ЗАНЯТИЯ КАК СРЕДСТВО ПОВЫШЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТИВНОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В СТАРШИХ КЛАССАХ (на примере темы «Показательная функция»)

object(ArrayObject)#865 (1) { ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) { ["title"] => string(282) "ЛЕКЦИОННО-СЕМИНАРСКИЕ ЗАНЯТИЯ КАК СРЕДСТВО ПОВЫШЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТИВНОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В СТАРШИХ КЛАССАХ (на примере темы «Показательная функция») " ["seo_title"] => string(171) "liektsionno-sieminarskiie-zaniatiia-kak-sriedstvo-povyshieniia-riezul-tativnosti-obuchieniia-matiematikie-v-starshikh-klassakh-na-primierie-tiemy-pokazatiel-naia-funktsiia" ["file_id"] => string(6) "214753" ["category_seo"] => string(10) "matematika" ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki" ["date"] => string(10) "1432462607" } }

Подтверждение авторства

Пожалуйста, введите ваш Email.

Email

Если вы хотите увидеть все свои работы, то вам необходимо войти или зарегистрироваться

Свойства показательной функции

Просмотр содержимого документа «Свойства показательной функции»

Похожие файлы

Полезное для учителя

Просмотр содержимого документа
«Свойства показательной функции»