Свойства функций.

ПРИМЕР № 1.

Исследовать на монотонность функцию

у = – 3х + 7.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

Ограниченность

• Функцию у = f (х) называют ограниченной снизу на множестве Х , если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа .

Функцию у = f (х) называют ограниченной сверху на множестве Х , если все значения функции на множестве Х меньше некоторого числа .

у

у

х

х

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число m называется наименьшим значением функции у = f(x) на множестве X Є D(f) , если:

• Существует число x 0 Є D(f) такое, что f( x 0 ) = M ;
• Для любого значения х Є Х выполняется неравенство f(x) ≥ f(x 0 ) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число m называется наибольшим значением функции у = f(x) на множестве X Є D(f) , если:

• Существует число x 0 Є D(f) такое, что f( x 0 ) = M ;
• Для любого значения х Є Х выполняется неравенство f(x) ≤ f(x 0 ) .

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

Непрерывность

Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на промежутке Х сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.

Задание: Определите, на каком из рисунков изображен график непрерывной функции.

подумай

правильно

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

Выпуклость

• Функция выпукла вниз на промежутке Х , если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
• Функция выпукла вверх на промежутке Х , если соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Перечислите свойства функции:

• Область определения
• Монотонность
• Ограниченность
• Наибольшее, наименьшее значение
• Непрерывность
• Область значения
• Выпуклость

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

• 1. Д ( f) : [ - 2 ; 6 ] 2. f ( x ) убывает на [- 2; 2 ], возрастает на [ 2; 6 ], 3. ограничена снизу
• 1. Д ( f) : [ - 2 ; 6 ]
• 2. f ( x ) убывает на [- 2; 2 ],
• возрастает на [ 2; 6 ],
• 3. ограничена снизу

4. у наимен. = - 1 при х = 2,

у наиб. = 3 при х = - 2

5. f ( x ) непрерывна

• 4. у наимен. = - 1 при х = 2, у наиб. = 3 при х = - 2 5. f ( x ) непрерывна
• 4. у наимен. = - 1 при х = 2, у наиб. = 3 при х = - 2 5. f ( x ) непрерывна

• 6 . Е ( f) : [ - 1; 3 ] 7. f ( x ) выпукла вниз
• 6 . Е ( f) : [ - 1; 3 ]
• 7. f ( x ) выпукла вниз

Тестирование

1. На одном из рисунков изображен график функции, возрастающей на промежутке [- 1;4]. Укажите этот рисунок.

Тестирование 2 На одном из рисунков изображен график функции, убывающей на промежутке [0 ; 3 ]. Укажите этот рисунок.

Тестирование 3. На рисунке изображен график функции у = f(x). Из приведенных утверждений выберите верное.

1. f(-1)

2. функция у = f(x) убывает на промежутке (- ∞ : 3 ]

3. f(0) = 2

4. функция принимает наименьшее значение при х =1.

f(3) 2 функция у = f(x) возрастает на промежутке [2;+  ∞ ) 3. функция принимает наибольшее значение при х = 2 4. f(0) = -1" width="640"

Тестирование 4. Используя график функции у = f(x), определить, какое утверждение верно:

1. f(1) f(3)

2 функция у = f(x) возрастает на промежутке [2;+  ∞ )

3. функция принимает наибольшее значение при х = 2

4. f(0) = -1

f(0) 2 функция у = f(x) возрастает на промежутке [2;+ ∞ )   3. функция принимает наибольшее значение при х = 2 4. f(0) = -1" width="640"

Тестирование 5. Используя график функции у = f(x), определить, какое утверждение верно:

1. f(1) f(0)

2 функция у = f(x) возрастает на промежутке [2;+ ∞ )  

3. функция принимает наибольшее значение при х = 2

4. f(0) = -1

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

Какое число у вас получилось?

12412

№ 10.14

• Область определения
• Монотонность
• Ограниченность
• Наибольшее, наименьшее значение
• Непрерывность
• Область значения
• Выпуклость

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

• 1.. Д ( f ) : (- ∞; + ∞ )
• 2. f ( x ) убывает на (-∞ ; 0 ], возрастает на [ 0; + ∞ )
• 3.ограничена сверху при х ≤ 0 и снизу при х ≥ 0
• 4.у наимен. , у наиб. не существует
• 5. f ( x ) имеет точку разрыва х = 0
• 6.Е ( f ) : (- ∞; + ∞ )
• 7. f ( x ) выпукла вверх

СПАСИБО ЗА УРОК!